Perkalian: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
||
| (16 revisi perantara oleh 9 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 8:
[[Berkas:Multiplication scheme 4 by 5.jpg|thumb|right|4 × 5 = 20. Persegi panjang besar terdiri dari 20 kotak, masing-masing memiliki dimensi 1 kali 1.]]
[[Berkas:Multiply field fract.svg|thumb|right|Luas sehelai kain {{nowrap|1=4,5m × 2,5m = 11,25m<sup>2</sup>}}; {{nowrap|1=4½ × 2½ = 11¼}}]]
'''Perkalian''' atau '''pendaraban''' (dilambangkan dengan [[Tanda perkalian|simbol silang]] {{char|'''×'''}}, oleh garis tengah [[#Notasi dan terminologi|operator titik]] {{char|'''⋅'''}}, oleh [[penjajaran]], atau, pada [[komputer]], dengan [[asterisk]] {{char|'''*'''}}) adalah salah satu dari empat [[Aritmetika dasar|dasar]] [[Operasi (matematika)|operasi matematika]] dari [[aritmetika]], dengan yang lainnya adalah [[penambahan]], [[pengurangan]] dan [[pembagian (matematika)|pembagian]]. Hasil dari operasi perkalian disebut '''hasil kali''', '''[[darab (matematika)|darab]]''', atau '''kinali'''.
Perkalian [[Bilangan asli|bilangan bulat]] dapat dianggap sebagai [[Perkalian dan penjumlahan berulang|penjumlahan berulang]]; yaitu, perkalian dua bilangan sama dengan menjumlahkan sebanyak mungkin salinan salah satunya, ''perkalian'', sebagai kuantitas yang lain, "pengganda". Kedua angka tersebut dapat disebut sebagai ''faktor''.
Baris 15:
Misalnya, 4 dikalikan 3, ditulis sebagai <math> 3 \times 4 </math> dan diucapkan sebagai "3 dikali 4", dapat dihitung dengan menambahkan 3 salinan dari 4 secara bersamaan:
:<math>3 \times 4 = 4 + 4 + 4 = 12</math>
Maka, 3 (''pengganda'') dan 4 (''pengganda'') adalah ''faktor'', dan 12 adalah ''produk''.
Salah satu [[#Sifat|sifat]] utama dari perkalian adalah [[sifat komutatif]], yang menyatakan dalam hal ini bahwa menambahkan 3 salinan dari 4 memberikan hasil yang sama dengan menambahkan 4 salinan dari 3:
Baris 22:
Dengan demikian penunjukan pengali dan pengali tidak mempengaruhi hasil perkalian.<ref name="Devlin">{{cite web |last=Devlin |first=Keith |url=http://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_01_11.html |title=What Exactly is Multiplication? |author-link=Keith Devlin |publisher=[[Mathematical Association of America]] |date=January 2011 |quote=Dengan perkalian Anda memiliki pengali (ditulis kedua) dikalikan dengan pengali (ditulis pertama) |access-date=May 14, 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170527070801/http://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_01_11.html |archive-date=Mei 27, 2017 |url-status=live }}</ref>
Perkalian [[bilangan bulat]] (termasuk bilangan negatif), [[bilangan rasional]] (pecahan) dan [[bilangan riil]] didefinisikan oleh [[
Perkalian juga divisualisasikan sebagai menghitung objek yang disusun dalam [[persegi panjang]] (untuk bilangan bulat), atau mencari [[luas]] persegi panjang yang sisi-sisinya memiliki [[panjang]] tertentu. Luas persegi panjang tidak bergantung pada sisi mana yang diukur terlebih dahulu—konsekuensi dari sifat komutatif.
Baris 46:
* Perkalian juga dilambangkan dengan tanda titik,<ref>{{Citation |last=Khan Academy |title=Mengapa kita tidak menggunakan tanda perkalian? {{!}} Pengantar aljabar {{!}} Aljabar I {{!}} Khan Academy |date=2012-09-06 |url=https://www.youtube.com/watch?v=vDaIKB19TvY |access-date=2017-03-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170327163705/https://www.youtube.com/watch?v=vDaIKB19TvY |archive-date=2017-03-27 |url-status=live }}</ref> biasanya titik posisi tengah ([[pemberhentian penuh|titik]]):
:{{math|5 ⋅ 2}} atau {{math|5 . 3}}
:Notasi titik tengah, dikodekan dalam Unicode sebagai {{unichar|22C5|operator bintik}}, adalah standar di Amerika Serikat dan negara lain dimana periode digunakan sebagai [[pemisah desimal|titik desimal]]. Jika karakter operator titik tidak dapat diakses, [[sela]]
* {{anchor|Implisit|Eksplisit}}Dalam [[aljabar]], perkalian yang melibatkan [[Variabel (matematika)|variabel]] ditulis sebagai [[wikt:penjajaran|penjajaran]] (misalnya, ''xy'' untuk ''x'' kali ''y'' atau 5''x'' untuk lima kali ''x''), juga disebut ''perkalian tersirat/implisit''.<ref>{{cite book |title=Announcing the TI Programmable 88! |publisher=[[Texas Instruments]] |date=1982<!--atau 1983--> |url=http://www.datamath.net/Leaflets/TI-88_Announcement.pdf |access-date=2017-08-03 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20170803091337/http://www.datamath.net/Leaflets/TI-88_Announcement.pdf |archive-date=2017-08-03}}</ref> Notasi juga dapat digunakan untuk besaran yang diapit [[tanda kurung]] (misalnya, 5(2) atau (5)(2) untuk lima kali dua). Penggunaan perkalian implisit ini disebabkan ambiguitas ketika variabel gabungan kebetulan cocok dengan nama variabel lain, ketika nama variabel di depan tanda kurung dapat dikacaukan dengan nama fungsi, atau dalam penentuan [[urutan operasi]] yang benar.
* Dalam [[perkalian vektor]], terdapat perbedaan antara simbol tanda silang dan titik. Simbol silang umumnya menunjukkan pengambilan [[perkalian silang]] dari dua [[vektor (matematika)|vektor]], menghasilkan vektor sebagai hasilnya, sedangkan titik menunjukkan pengambilan [[produk titik]] dari dua vektor, menghasilkan [[skalar (matematika)|skalar]].
Baris 58:
[[Berkas:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|The Educated Monkey – mainan kaleng tertanggal 1918, digunakan sebagai “kalkulator” perkalian. <small>Misalnya: atur kaki monyet ke 4 dan 9, dan dapatkan produk – 36 – di tangannya.</small>]]
Metode umum untuk mengalikan angka menggunakan pensil dan kertas memerlukan [[tabel perkalian]] hasil perkalian bilangan kecil yang dihafal atau dikonsultasikan (biasanya dua angka dari 0 hingga 9), namun satu metode adalah algoritma [[perkalian Mesir Kuno|perkalian petani]].<!--Banyak kurikulum matematika yang dikembangkan menurut standar 1989 [[NCTM]] tidak mengajarkan metode aritmatika standar, alih-alih membimbing siswa untuk menemukan metode perhitungan mereka sendiri. Meskipun secara luas diadopsi oleh banyak distrik sekolah di negara-negara seperti Amerika Serikat, mereka menghadapi perlawanan dari beberapa orang tua dan ahli matematika, dan beberapa kabupaten sejak itu meninggalkan kurikulum tersebut demi [[matematika tradisional]].-->
Mengalikan angka ke lebih dari beberapa tempat desimal dengan tangan membosankan dan rawan kesalahan. [[Logaritma umum]] diciptakan untuk menyederhanakan perhitungan tersebut, karena menambahkan logaritma setara dengan mengalikan. [[Mistar geser]] memungkinkan angka dikalikan dengan cepat hingga sekitar tiga tempat akurasi. Dimulai pada awal abad ke-20, [[kalkulator]] mekanis, seperti [[Kalkulator Marchant|Marchant]], penggandaan otomatis hingga 10
===Algoritma historis===
Metode perkalian didokumentasikan dalam tulisan [[
[[Tulang Ishango]], berasal dari sekitar 18.000 hingga 20.000 SM, mungkin mengisyaratkan pengetahuan tentang perkalian di era [[Paleolitik Akhir]] di [[Afrika Tengah]], namun ini spekulatif.
Baris 78:
{{see also|Tabel perkalian Tiongkok}}
[[Berkas:Multiplication algorithm.GIF|thumb|right|250px|{{nowrap|1=38 × 76 = 2888}}]]
Dalam teks matematika ''[[Zhoubi Suanjing]]'', pada tahun sebelum 300
===Metode modern===
Baris 87:
====Metode kisi====
[[Perkalian metode Grid]] atau metode kotak, digunakan di [[sekolah dasar]] di Inggris dan Wales dan di beberapa daerah di Amerika Serikat untuk membantu mengajarkan pemahaman tentang cara kerja perkalian beberapa digit. Contoh mengalikan 34 dengan 13 adalah dengan meletakkan angka-angka dalam kisi seperti:
:{| class="wikitable" style="text-align: center;"
Baris 109:
Metode klasik untuk mengalikan dua bilangan {{math|''n''}} memerlukan digit perkalian {{math|''n''<sup>2</sup>}}. [[Algoritma perkalian]] telah dirancang untuk mengurangi waktu komputasi secara signifikan saat mengalikan bilangan besar. Metode berdasarkan [[Transformasi Fourier diskret#Perkalian bilangan bulat besar|transformasi Fourier diskret]] mengurangi [[kompleksitas komputasi]] menjadi {{math|''O''(''n'' log ''n'' log log ''n'')}}. Baru-baru ini, faktor {{math|log log ''n''}} telah digantikan oleh fungsi yang meningkat jauh lebih lambat meskipun masih tidak konstan (seperti yang diharapkan).<ref>{{Cite journal|last1=Harvey|first1=David|last2=van der Hoeven|first2=Joris|last3=Lecerf|first3=Grégoire|title=Even faster integer multiplication|year=2016|journal=Journal of Complexity|volume=36|pages=1–30|doi=10.1016/j.jco.2016.03.001|issn=0885-064X|arxiv=1407.3360|s2cid=205861906}}</ref>
Pada bulan Maret 2019, David Harvey dan Joris van der Hoeven mengirimkan artikel yang menyajikan algoritma perkalian bilangan bulat dengan kompleksitas diklaim oleh <math>O(n\log n).</math><ref>David Harvey, Joris Van Der Hoeven (2019). [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02070778 Perkalian bilangan bulat dalam perkalian O(n log n)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190408180939/https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02070778 |date=2019-04-08 }}</ref> Algoritma juga berdasarkan transformasi Fourier cepat, diperkirakan optimal asimtotik.<ref>{{Cite web|url=https://www.quantamagazine.org/mathematicians-discover-the-perfect-way-to-multiply-20190411/|title=Mathematicians Discover the Perfect Way to Multiply|last=Hartnett|first=Kevin|website=Quanta Magazine|language=en|access-date=2020-01-25}}</ref> Algoritma ini tidak dianggap berguna secara praktis, karena keuntungannya hanya muncul ketika mengalikan bilangan besar (memiliki lebih dari {{math|2<sup>1729<sup>12</sup></sup>}} bits).<ref>{{Cite web|url=https://cacm.acm.org/magazines/2020/1/241707-multiplication-hits-the-speed-limit/fulltext|title=Multiplication Hits the Speed Limit|last=Klarreich|first=Erica|website=cacm.acm.org|language=en|access-date=2020-01-25|archive-url=
==Ukuran
{{Main|Analisis dimensi}}
Apabila makna penambahan atau mengurangi jumlah dari jenis yang sama, tetapi jumlah dari jenis yang berbeda dapat dikalikan atau dibagi tanpa masalah. Misalnya, empat kantong dengan tiga kelereng masing-masing dapat dianggap sebagai:<ref name="Devlin"/>
Baris 127:
:4,5 penduduk per rumah × 20 rumah = 90 penduduk
==
=== Notasi kapital Pi===<!--Bagian ini ditautkan dari [[Pi (huruf)]], [[notasi Pi Kapital]], [[notasi Pi kapital]]-->
:<math>\prod_{i=1}^4 i = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,</math>
adalah
Baris 139:
Secara lebih umum, notasi didefinisikan sebagai
:<math>\prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_n</math>
dimana <math>m</math> dan <math>n</math> adalah bilangan bulat atau ekspresi yang mengevaluasi bilangan bulat. Jika <math>m = n</math>, nilai hasil kali sama dengan faktor tunggal <math>x_m</math>; jika <math>m > n</math>,
==== Sifat ====
Baris 156:
:<math>\prod_{i=1}^{n}e^{x_i}=e^{\sum_{i=1}^{n}x_i}</math>
===
{{Main|
Untuk mempertimbangkan
:<math>\prod_{i=m}^\infty x_i = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^n x_i.</math>
Baris 191:
;[[Aditif invers|Negasi]]
:−1 kali angka berapa pun sama dengan '''[[aditif invers]]''' dari angka tersebut.
::<math>(-1)\cdot x = (-x)</math>
:–1 kali
::<math>(-1)\cdot (-1) = 1</math>
Baris 217:
:<math>x \times 1 = x \times S(0) = (x \times 0) + x = 0 + x = x</math>
Aksioma untuk [[bilangan bulat]] biasanya mendefinisikannya sebagai kelas ekuivalen dari [[pasangan terurut]] dari bilangan asli. Model ini didasarkan pada memperlakukan (''x'',''y'') setara dengan {{nowrap|''x'' − ''y''}} ketika ''x'' dan ''y'' sebagai bilangan bulat. Jadi (0,1) dan (1,2) ekuivalen dengan −1. Aksioma perkalian untuk bilangan bulat yang didefinisikan dengan cara ini adalah
:<math>(x_p,\, x_m) \times (y_p,\, y_m) = (x_p \times y_p + x_m \times y_m,\; x_p \times y_m + x_m \times y_p)</math>
Baris 226:
== Perkalian dengan teori himpunan ==
Produk bilangan bulat non-negatif dapat didefinisikan dengan [[teori himpunan]] menggunakan [[Bilangan kardinal#Perkalian kardinal|bilangan kardinal]] atau [[Aksioma Peano#Aritmetika|aksioma Peano]]. Lihat [[#Perkalian berbagai jenis bilangan|di bawah]] cara memperluasnya ke perkalian bilangan bulat arbitrer, dan kemudian bilangan rasional arbitrer. Produk bilangan real didefinisikan dalam hal produk bilangan rasional, lihat [[konstruksi bilangan real]].
==Perkalian dalam teori grup==<!--terhubung dari bawah-->
Baris 233:
Contoh sederhana adalah himpunan bukan nol [[bilangan rasional]]. Apabila memiliki identitas 1, sebagai lawan dari grup dibawah penambahan dimana identitas biasanya 0. Perhatikan bahwa dengan rasional, mengecualikan nol karena dibawah perkalian, tidak memiliki invers: tidak ada bilangan rasional yang dikalikan dengan nol untuk menghasilkan 1. Dalam contoh ini kita memiliki [[grup abelian]], tetapi tidak selalu demikian.
Untuk melihat ini, pertimbangkan himpunan [[matriks persegi]] inversi dari dimensi tertentu atas [[medan (matematika)|medan]] yang diberikan. Di sini, sangat mudah untuk memverifikasi penutupan, asosiasi, dan penyertaan identitas ([[matriks identitas]]) dan invers. Namun, [[perkalian matriks]] tidak komutatif, yang menunjukkan bahwa grup ini non-abelian.
Fakta lain yang perlu diperhatikan adalah bahwa bilangan bulat di bawah perkalian bukanlah grup—bahkan apabila jika mengecualikan nol. Hal ini mudah terlihat dengan tidak adanya invers untuk semua elemen selain 1 dan
Perkalian dalam teori grup biasanya dinotasikan dengan titik, atau dengan penjajaran (penghilangan simbol operasi antar elemen). Jadi perkalian elemen '''a''' dengan elemen '''b''' dinotasikan sebagai '''a''' <math>\cdot</math> '''b''' atau ''' ab'''. Saat merujuk ke grup melalui indikasi set dan operasi, titik digunakan. Misalnya, contoh pertama kami dapat ditunjukkan oleh <math>\left( \mathbb{Q}/ \{ 0 \} ,\, \cdot \right)</math>.
==Perkalian berbagai jenis bilangan==<!--linked from above-->
Bilangan dapat ''menghitung'' (3
;Bilangan bulat
Baris 260:
;Generalisasi lebih lanjut
:Lihat [[
;Pembagian
Baris 310:
{{Aritmetika dasar}}
{{Hiperoperasi}}
{{Authority control}}{{Operator besar}}
[[Kategori:Perkalian| ]]
[[Kategori:Aritmetika dasar]]
[[Kategori:Notasi matematika]]
[[Kategori:Artikel yang
| |||