Kalkulus: Perbedaan antara revisi

'''Kalkulus''' ({{lang-la|calculus}}, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu [[matematika]] yang mencakup [[Limit (matematika)|limit]], [[turunan]], [[integral]], dan [[0,999...#Deret dan barisan takterhingga|deret takterhingga]]. Kalkulus adalah ilmu yang mempelajari perubahan, sebagaimana [[geometri]] yang mempelajari bentuk dan [[aljabar]] yang mempelajari operasi dan penerapannya untuk memecahkan persamaan. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang [[ilmu|sains]], [[ekonomi]], dan [[teknik]]; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan [[aljabar elementer]].<ref name=concepts>{{citation

|url=http://books.google.com/books?id=bQhX-3k0LS8C}}, [http://books.google.com/books?id=bQhX-3k0LS8C&pg=PA2 Chapter 1, p 2]

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu [[abad Kuno|zaman kuno]], [[abad Pertengahan|zaman pertengahan]], dan [[zaman modern]]. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis.<ref>Morris Kline, ''Mathematical thought from ancient to modern times'', Vol. I</ref> Perhitungan [[volume]] dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada [[Papirus Matematika Moskwa|Papirus Moskwa]] [[Mesir]] (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume [[piramid]]a terpancung.<ref name=Aslaksen>Helmer Aslaksen. [http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/calculus.html Why Calculus?] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20101014164501/http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/calculus.html |date=2010-10-14 }} [[Universitas Nasional Singapura|National University of Singapore]].</ref> [[Archimedes]] mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan [[heuristik]] yang menyerupai [[integral|kalkulus integral]].<ref>Archimedes, ''Method'', in ''The Works of Archimedes'' ISBN 978-0-521-66160-7</ref>

Pada zaman pertengahan, matematikawan [[India]], [[Aryabhata]], menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun [[499]] dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk [[persamaan diferensial]] dasar.<ref>[{{Cite web |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Aryabhata_I.html |title=Aryabhata the Elder] |access-date=2007-08-09 |archive-date=2015-07-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150711055702/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Aryabhata_I.html |dead-url=no }}</ref> Persamaan ini kemudian mengantar [[Bhāskara II]] pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal [[turunan]] yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "[[Teorema Rolle]]".<ref>Ian G. Pearce. [http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch8_5.html Bhaskaracharya II.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160901092504/http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch8_5.html |date=2016-09-01 }}</ref> Sekitar tahun [[1000]], matematikawan [[Irak]] [[Ibnu Haitham|Ibn al-Haytham]] (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan [[induksi matematika]], dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.<ref>Victor J. Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India", ''Mathematics Magazine'' '''68''' (3), hlm. 163-174.</ref> Pada abad ke-12, seorang [[Persia]] [[Sharaf al-Din al-Tusi]] menemukan [[turunan]] dari [[fungsi kubik]], sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial.<ref>J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", ''Journal of the American Oriental Society'' '''110''' (2), hlm. 304-309.</ref> Pada abad ke-14, [[Madhava dari Sangamagrama|Madhava]], bersama dengan matematikawan-astronom dari [[mazhab astronomi dan matematika Kerala]], menjelaskan kasus khusus dari [[deret Taylor]],<ref name="madhava">{{cite web

| publisher=School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland |

| work=Indian Maths

| url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Indian_mathematics.html

Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus. Salah satu karya perdana yang paling lengkap mengenai analisis finit dan infinitesimal ditulis pada tahun 1748 oleh [[Maria Gaetana Agnesi]].<ref>{{cite web| url=http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/agnesi.htm| title=Maria Gaetana Agnesi| first=Elif| last=Unlu| month=April| year=1995| publisher =Agnes Scott College| access-date=2013-11-08| archive-date=1998-12-03| archive-url=https://web.archive.org/web/19981203075738/http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/agnesi.htm| dead-url=no}}</ref>

<!-- Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.<ref>[[Organisasi Pendidikan, Ilmu Pengetahuan, dan Kebudayaan Perserikatan Bangsa-Bangsa|UNESCO]]-World Data on Education

[http://nt5.scbbs.com/cgi-bin/om isapi.dll?clientID=137079235&infobase=iwde.nfo&softpage=PL frame]{{Pranala mati|date=Juni 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref> -->=== Pengaruh penting ===

{{main|Limit (matematika)}}

[[Berkas:Límite 01.svg|jmpl|300px|Definisi limit: kita katakanmengatakan bahwa limit f(x) ketika <math>x</math> mendekati titik <math>p</math>, adalahmaka limit <math>f(x)</math> mendekati <math>L</math>, apabilajika untuk setiap bilangan ε<math>\varepsilon > 0 apapun</math>, terdapat bilangan δ<math>\delta > 0,</math> sedemikian rupanya:rupa sehingga <math display="block"> 0 < |x-p| <\delta \RightarrowLongrightarrow |f(x)-L|<\epsilonvarepsilon </math>]]

Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan ''dx'' yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½{{Sfrac|1|2}}, ⅓{{Sfrac|1|3}}, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi "ciri-ciri Archimedes". Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.<ref name=Larson>{{Cite book|first1=Ron|last1=Larson|authorlink1=Ron Larson (mathematician)|first2=Bruce H.|last2=Edwards|title=Calculus of a single variable|edition=Ninth|publisher=[[Brooks/Cole]], [[Cengage Learning]]|year=2010|isbn=978-0-547-20998-2}}</ref>

Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep [[limit (matematika)]]. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu.<ref name=Larson/> Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:

jika, untuk setiap bilangan ε<math>\varepsilon > 0</math>, terdapat bilangan δ<math>\delta > 0</math> yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanyarupa untuk setiap <math>x</math>:

:<math> 0 < |x-p| <\delta \RightarrowLongrightarrow |f(x)-L|<\epsilonvarepsilon \,</math>}}

Secara matematis, turunan fungsi ƒ'''''<math>f(x)</math>''''' terhadap variabel <math>x</math> adalah ƒ′<math>f'</math> yang nilainya pada titik <math>x</math> adalah:

dengan syarat limit tersebut eksisada. Jika ƒ′<math>f'</math> eksisada pada titik <math>x</math> tertentu, kitamaka katakan<math>f'</math> bahwadapat ƒdikatakan terdiferensialkan (memiliki turunan) pada <math>x</math>, dan jika <math>f'</math> ada di setiap titik pada domain <math>f</math>, maka <math>f</math> dapat disebut terdiferensialkan.

ApabilaJika ''<math>z'' = ''x'' + ''h''</math>, ''<math>h'' = ''z'' - ''x''</math>, dan ''<math>h''</math> mendekati 0 ''jika dan hanya jika'' ''<math>z''</math> mendekati ''<math>x''</math>, maka definisi turunan di atas dapat ditulis pula kita tulis sebagai:

[[Berkas:Tangent derivative calculusdia.jpeg|jmpl|250px|ka|Garis singgung pada <math>(''x'',f(x))</math>. ''Turunan sebuah kurva <math>f''(''x''))</math> pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.]]

Ilmu yang mempelajari definisi, propertisifat, dan aplikasi dari [[turunan]] atau [[gradien|kemiringan]] dari sebuah grafik disebut [[kalkulus diferensial]]

[[Berkas:Sec2tan.gif|jmpl|250px|Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva ''<math>f''(''x'')</math> di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.]]

'''Notasi Leibniz''' diperkenalkan oleh [[Gottfried Leibniz]] dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar ''<math>y'' = ƒf(x) </math> dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap <math>x</math> ditulis sebagai:<ref name=leibniz/>

'''Notasi Lagrange''' diperkenalkan oleh [[Joseph-Louis de Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ<math>f(''x'')</math> ditulis sebagai ƒ′<math>f'(''x'')</math> ataupun hanya ƒ′<math>f'</math>.

'''Notasi Newton''', juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. ApabilaJika ''<math>y'' = ''ƒ''f(''t'')</math>, maka <math>\dot{y}</math> mewakili turunan ''<math>y''</math> terhadap ''<math>t''</math>. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang [[fisika]] dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.

'''Notasi [[Leonhard Euler|Euler]]''' menggunakan operator diferensial ''<math>D''</math> yang diterapkan pada fungsi ''ƒ<math>f</math>'' untuk memberikan turunan pertamanya ''<math>Df''</math>. ApabilaJika ''<math>y'' = ''ƒ''f(''x'')</math> adalah variabel terikat, maka sering kali ''<math>x</math>'' seringkali dilekatkan pada ''D<math>x</math>'' untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel ''<math>x</math>''. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:

|'''Turunan ƒ<math>f(''x'')</math> terhadap ''<math>x''</math>'''

|<math>\dot{y}</math><br /> dengan ''<math>y'' = ''ƒ''f(''x'')</math>

[[Berkas:Integral as region under curve.svg|ka|jmpl|250px|Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ''ƒ''<math>f(''x'')</math>, antara dua titik ''<math>a''</math> dan ''<math>b''</math>.]]

Diberikan suatu fungsi ''ƒ''<math>f</math> bervariabel real ''<math>x''</math> dan interval antara <math>[a, b]</math> pada garis real, '''integral tertentu''':

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayahdaerah pada bidang -<math>xy</math> yang dibatasi oleh kurva grafik ''ƒ''<math>f</math>, sumbu-<math>x</math>, dan garis vertikal ''<math>x'' = ''a''</math> dan ''<math>x'' = ''b''</math>.

Pada notasi integral di atas: ''<math>a''</math> adalah ''batas bawah'' dan ''<math>b''</math> adalah ''batas atas'' yang menentukan domain pengintegralan, ''ƒ''<math>f</math> adalah integran yang akan dievaluasi terhadap ''<math>x</math>'' pada interval <math>[a,b]</math>, dan ''<math>dx''</math> adalah variabel pengintegralan.

Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi [[integral Riemann]]. Integral RiemanRiemann didefinisikan sebagai limit dari "[[Jumlah Riemann|penjumlahan Riemann]]". MisalkanlahMisalkan kita hendakingin mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ''ƒ''<math>f</math> pada interval tertutup <math>[''a'','' b'']</math>. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval <math>[''a'','' b'']</math> dapat kita bagidibagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah ''<math>n''-1 titik {''x''<sub>1</submath>, ''x''₂,titik ''x''<sub>3</submath>\{x_1,...x_2, ''x''<sub>x_3,\dots,x_{n - 1}\}</submath>} antara <math>a</math> dengan <math>b</math> sehingga memenuhi hubungan:<ref name=riemann>Bernard Riemann. "Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" (On the representability of a function by a trigonometric series; i.e., when can a function be represented by a trigonometric series). Makalah ini diserahkan kepada Universitas Göttingen pada tahun 1854 sebagai ''Habilitationsschrift'' Riemann (kualifikasi untuk menjadi instruktur). Diterbitkan pada tahun 1868 dalam ''Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen'' (Proceedings of the Royal Philosophical Society at Göttingen), vol. 13, hlm. 87-132. (dapat dibaca [http://books.google.com/books?id=PDVFAAAAcAAJ&pg=RA1-PA87 di sini] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230327123004/https://books.google.com/books?id=PDVFAAAAcAAJ&pg=RA1-PA87&hl=en |date=2023-03-27 }}.) Definisi integral Riemann, lihat bagian 4, "Über der Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit" (On the concept of a definite integral and the extent of its validity), hlm. 101-103.</ref>

Himpunan <math> P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n\}\,</math> tersebut kitadapat sebutdikatakan sebagai '''partisi''' <math>[''a'','' b'']</math>, yang membagi <math>[''a'','' b'']</math> menjadi sejumlah ''<math>n''</math> subinterval <math> [x_0, x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n] </math>. Lebar subinterval pertama [''x''<sub>0</submath>[x_0,''x''<sub>1x_1]</submath>] kita nyatakandinyatakan sebagai Δ''x''<submath>1\Delta x_1</submath>, demikian pula lebar subinterval ke-''i'' kita nyatakandinyatakan sebagai Δ''x''<sub>i</submath>\Delta x_i = ''x''_''i''x_i - ''x''<sub>''x_{i'' - 1}</submath>. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilihdipilih suatu titik sembarang, dan pada subinterval ke-''<math>i''</math> tersebut kita memilihdipilih titik sembarang t<submath>it_i</submath>. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δ''<math>\Delta x''</math> dan tingginya berawal dari sumbu ''<math>x''</math> sampai menyentuh titik (''t''<sub>i</submath>(t_i, ''ƒ''f(''t''<sub>it_i))</submath>)) pada kurva. Apabila kita menghitungJika luas tiap-tiap batangan tersebut dihitung dengan mengalikan ''ƒ''(''t''_i)· Δ''x''_i dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kitamaka akan dapatkandidapatkan:

Penjumlahan ''S''<submath>''p''S_p</submath> disebut sebagai '''penjumlahan Riemann untuk ''ƒ''<math>f</math> pada interval <math>[''a'','' b'']</math>.''' Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambildiambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkandiinginkan. Apabila kita mengambilJika limit dari norma partisi <math>\lVert P \rVert</math> mendekati nol, maka kita akan mendapatkandidapatkan luas daerah tersebut.<ref name=riemann/>

ApabilaJika tiapmasing-tiapmasing partisi mempunyai sejumlah ''<math>n''</math> subinterval yang sama, maka lebar Δ''<math>\Delta x'' = (''\tfrac{b'' -'' a'')/}{n}</math>, sehingga persamaan di atas dapat pula ditulis sebagai:

Sebagai contohnyacontoh, apabila hendak menghitungjika integral tertentu <math>\int_0^b x\, dx</math>, yaknidihitung untuk mencari luas daerah ''<math>A''</math> di bawah kurva ''<math>y''=''x''</math> pada interval <math>[0,''b'']</math>, ''<math>b''>0</math>, maka perhitungan integral tertentu <math>\int_0^b x\, dx</math> sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah

Pemilihan partisi ataupun titik ''t''<submath>''i''t_i</submath> secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilihJika partisi ''<math>P''</math> yang dipilih membagi-bagi interval <math>[0,''b'']</math> menjadi <math>n</math> subinterval yang berlebar sama Δ''<math>\Delta x'' = (''\tfrac{b'' - 0)/''}{n''} = ''\tfrac{b''/''}{n''}</math> dan titik ''t'''<submath>''i''t_i</submath> yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkandidapatkan adalah <math> P = \{0, \tfrac{b}{n}, \tfrac{2b}{n}, \tfrac{3b}{n}, \ldots, \tfrac{nb}{n}\}</math> dan <math>t_i = \tfrac{ib}{n}</math>, sehingga:

Seiring dengan ''<math>n''</math> mendekati tak terhingga dan norma partisi <math>\lVert P \rVert</math> mendekati 0, maka didapatkan:

Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, [[teorema dasar kalkulus]] ([[Kalkulus#teorema dasar kalkulus|lihat bagian bawah]]) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencarijika antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut dapat dicari melalui teorema berikut.<ref name=concepts/>

Keseluruhanmaka keseluruhan himpunan '''antiturunan'''/'''antiderivatif''' sebuah fungsi ''ƒ''<math>f</math> adalah '''integral tak tentu''' ataupun '''primitif''' dari ''ƒ''<math>f</math> terhadap <math>x</math> dan dituliskan secara matematis sebagai:

EkspresiBentuk ''<math>F(x) + C''</math> adalah '''antiderivatif umum''' ''ƒ''<math>f</math> dan ''<math>C''</math> adalah konstanta sembarang.

:<math>\int x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 + C</math>.

Lebih lanjut, untuk setiap ''<math>x''</math> di interval <math>(''a'',''b'')</math>,

:<math>F'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x).</math></blockquote>}}

Sebagai contohnya apabilacontoh, kitajika hendakingin menghitung nilai integral <math>\int_a^b x\, dx</math>, daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann ([[kalkulus#integral tertentu|lihat bagian atas]]), kita dapat menggunakanmaka teorema dasar kalkulus dapat digunakan dalam menghitung nilai integral tersebut.

Anti derivatifAntiderivatif dari fungsi <math>f(x)= x\, </math> adalah <math>F(x)= \fractfrac{1}{2} x^2 + C</math>. Oleh sebab itu, sesuaimenurut dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu <math>\int_a^b x \,dx</math> adalah:

ApabilaJika kita hendakingin mencari luas daerah <math>A</math> dibawahterhadap kurva <math>y=x</math> pada interval <math>[0,b]</math>, <math>b>0</math>, maka kita akan dapatkandidapatkan:

Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkandidapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkandidapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu ([[kalkulus#integral tertentu|lihat bagian atas]]). Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.<ref name=concepts/>

== Daftar Pustakapustaka ==

* [http://www.ericdigests.org/pre-9217/calculus.htm The Role of Calculus in College Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210726234750/http://www.ericdigests.org/pre-9217/calculus.htm |date=2021-07-26 }} dari ERICDigests.org