Eksponensiasi: Perbedaan antara revisi

{{use dmy dates|date=Juli 2020|cs1-dates=y}}

{{Operasi aritmetika}}

[[Gambar:Expo02.svg|thumb|315px|Grafik {{math|1=''y'' = ''b''^''x''}} untuk sebagai basis ''b'':

 

 

Satu memiliki {{math|1=''b''¹ = ''b''}}, dan untuk nilai sembarang bilangan bulat positif {{mvar|m}} dan {{mvar|n}}, apabila memiliki {{math|1=''b''^''n'' ⋅ ''b''^''m'' = ''b''^''n''+''m''}}. Untuk memperluas sifat ini ke eksponen bilangan bulat non-positif, {{math|''b''⁰}} didefinisikan sebagai {{math|1}}, dan {{math|''b''^−''n''}} (dengan {{mvar|n}} bilangan bulat positif dan {{mvar|b}} bukan nol) didefinisikan sebagai {{math|{{sfrac|1|''b''^''n''}}}}. Khususnya, {{math|''b''⁻¹}} sama dengan {{math|{{sfrac|1|''b''}}}}, ''[[perkalian invers|timbal balik]]'' dari {{mvar|b}}.

 

Eksponen digunakan secara luas di berbagai banyak bidang, yaitu [[ekonomi]], [[biologi]], [[kimia]], [[fisika]], dan [[ilmu komputer]], dengan aplikasi seperti [[bunga majemuk]], [[pertumbuhan populasi]], [[kinetika reaksi kimia]], perilaku [[gelombang]], dan [[kriptografi kunci publik]].

== Sejarah notasi ==

Istilah ''kuasa'' ({{lang-la|potentia, potestas, dignitas}}) adalah terjemahan yang salah<ref name="Rotman">{{cite book|last=Rotman|first=Joseph J.|author-link=Joseph J. Rotman|date=2015|title=Advanced Modern Algebra, Part 1|url=https://www.ams.org/books/gsm/165/04|location=Providence, RI|publisher=[[American Mathematical Society]]|at=p. 130, fn. 4|isbn=978-1-4704-1554-9|edition=3rd|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=165}}</ref><ref>{{cite book|last=Szabó|first=Árpád|date=1978|title=The Beginnings of Greek Mathematics|url=https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics|location=Dordrecht|publisher=[[D. Reidel]]|page=[https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics/page/n37 37]|isbn=90-277-0819-3|series=Synthese Historical Library|volume=17|translator=A.M. Ungar}}</ref> dari [[Yunani kuno]] (''dúnamis'', "amplifikasi"<ref name="Rotman"/>) yang digunakan oleh matematikawan [[matematika Yunani|Yunani]] [[Euklides]] untuk garis kuadrat,<ref name="MacTutor"/> mengikuti [[Hippocrates dari Chios]].<ref>{{cite book|last=Ball|first=W. W. Rouse|author-link=W. W. Rouse Ball|date=1915|title=A Short Account of the History of Mathematics|url=https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich|location=London|publisher=[[Macmillan Publishers|Macmillan]]|page=[https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich/page/38 38]|edition=6th}}</ref> Dalam ''[[The Sand Reckoner]]'', [[Archimedes]] menemukan dan membuktikan hukum eksponen, {{math|1=10^''a'' ⋅ 10^''b'' = 10^''a''+''b''}}, diperlukan untuk memanipulasi kuasa {{math|10}}.{{citation needed|date=Augustus 2021}} Pada abad ke-9, matematikawan Persia [[Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī]] menggunakan istilah ال (''māl'', "harta", "properti") untuk [[Persegi (aljabar)|persegi]]— kaum muslimin, "seperti kebanyakan matematikawan pada masa itu dan sebelumnya, menganggap bilangan kuadrat sebagai penggambaran suatu area, terutama tanah, bahkan properti"<ref name="worldwidewords"/>—dan كَعْبَة (''[[Ka'bah|kaʿbah]]'', "kubus") untuk [[Kubus (aljabar)|kubus]], yang kemudian matematikawan [[Matematika dalam Islam abad pertengahan|Islam]] diwakili dalam [[notasi matematika]] sebagai huruf ''[[mīm]]'' (m) dan ''[[kāf]]'' (k), masing-masing, pada abad ke-15, seperti yang terlihat dalam karya [[Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī]].<ref>{{MacTutor|id=Al-Qalasadi|title= Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi}}</ref>

Sinonim sejarah lainnya{{clarify|reason=sinonim dari apa?|date=Agustus 2021}} dalam penggunaan '''involusi''',<ref>Penggunaan terbaru dalam pengertian ini yang dikutip oleh OED adalah dari tahun 1806 ({{Cite OED|involution}}).</ref> dan jangan bingung dengan [[Involusi (matematika)|artinya yang lebih umum]].

 

 

==Terminologi==

 

 

 

 

 

==Eksponen bilangan bulat==

 

===Eksponen positif===

 

Kasus dasarnya adalah

 

=== Eksponen nol ===

:<math>b^0=1.</math>

 

:<math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math>

ke nol eksponen. Ini digunakan pada setiap [[struktur aljabar]] dengan perkalian yang memiliki [[identitas perkalian|identitas]].

Secara intuitif, <math>b^0</math> diartikan sebagai [[darab kosong]] dari salinan {{mvar|b}}. Jadi, persamaan <math>b^0=1</math> adalah kasus khusus dari konvensi umum untuk darab kosong.

 

 

===Eksponen negatif===

Eksponen dengan eksponen negatif didefinisikan oleh identitas berikut, yang berlaku untuk sembarang bilangan bulat {{mvar|n}} dan bukan nol {{mvar|b}}:

:<math>b^{-n} = \frac{1}{b^n}.</math><ref name=":1" />

 

Definisi eksponen dengan eksponen negatif ini adalah satu-satunya yang memungkinkan perluasan identitas <math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math> ke eksponen negatif (pertimbangkan kasus <math>m=-n</math>).

===Identitas dan sifat===

{{redirect|Hukum Indeks|kuda|Hukum Indeks (kuda)}}

:<math>\begin{align}

b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\

\end{align}</math>

 

:<math>b^{p^q} = b^{\left(p^q\right)},</math>

yang secara umum berbeda dengan

:<math>\left(b^p\right)^q = b^{p q} .</math>

 

:<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math>

 

 

===Interpretasi kombinatorial===

{{see also|#Eksponen atas himpunan|l1=Eksponen atas himpunan}}

 

 

:{| class="wikitable"

!{{math|''n''^''m''}}

|-

|0{{sup|5}} = 0

|}

 

{{see also|Notasi ilmiah}}

 

Eksponen dengan basis {{math|[[10 (bilangan)|10]]}} digunakan dalam [[notasi ilmiah]] untuk menyatakan bilangan besar atau kecil. Misalnya, {{val|299792458|u=m/s}} ([[kecepatan cahaya]] dalam ruang hampa), dalam [[meter per detik]]) dapat ditulis sebagai {{val|2,99792458|e=8|u=m/s}} dan kemudian [[perkiraan]] sebagai {{val|2,998|e=8|u=m/s}}.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jika {{math|''n''}} adalah bilangan bulat genap, maka {{math|1=(−1)^''n'' = 1}}.

 

 

 

===Eksponen besar===

:{{math|''b''^''n'' → ∞}} sebagai {{math|''n'' → ∞}} jika {{math|''b'' > 1}}

 

 

:{{math|''b''^''n'' → 0}} sebagai {{math|''n'' → ∞}} jika {{math|{{abs|''b''}} < 1}}

 

:{{math|1=''b''^''n'' = 1}} untuk semua {{math|''n''}} jika {{math|1=''b'' = 1}}

 

 

Jika {{math|''b'' < –1}}, {{math|1=''b''^''n''}}, berganti sebagai bilangan positif dan negatif besar dan {{math|''n''}} berganti sebagai genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhan {{math|''n''}}.

Lihat ''{{section link||Fungsi eksponensial}}'' dibawah ini.

 

 

 

Fungsi real dari bentuk <math>f(x) = cx^n</math>, dimana <math>c \ne 0</math>, terkadang disebut sebagai fungsi pangkat.{{citation needed|date=November 2017}} Ketika <math>n</math> adalah [[bilangan bulat]] dan <math>n \ge 1</math>, maka terdapat dua keluarga keujudan, yaitu: untuk <math>n</math> genap, dan untuk <math>n</math> ganjil. Secara umum untuk <math>c > 0</math>, bila <math>n</math> genap <math>f(x) = cx^n</math> cenderung ke arah positif [[ketakterhinggaan (matematika)|ketakterhinggaan]] dengan penambahan <math>x</math>, dan juga menuju tak hingga positif dengan turunan <math>x</math>. Semua grafik dari keluarga fungsi pangkat genap memiliki bentuk umum <math>y=cx^2</math>, yang merata ditengah sebagai tingkatan <math>n</math>.<ref name="Calculus: Early Transcendentals">{{cite book|last1=Anton|first1=Howard|last2=Bivens|first2=Irl|last3=Davis|first3=Stephen|title=Calculus: Early Transcendentals|date=2012|url=https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656|url-access=limited|publisher=John Wiley & Sons|page=[https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656/page/n51 28]|isbn=9780470647691|edition=9th}}</ref> Fungsi dengan [[simetri]] {{nobr|(<math>f(-x)= f(x)</math>)}} seperti ini disebut [[fungsi genap]].

 

 

Untuk <math>c < 0</math>, perilaku asimtotik berlawanan berlaku untuk setiap kasus.<ref name="Calculus: Early Transcendentals"/>

 

{|class="wikitable" style="text-align:right"

! ''n'' !! ''n''² !! ''n''³ !! ''n''⁴ !! ''n''⁵ !! ''n''⁶ !! ''n''⁷ !! ''n''⁸ !! ''n''⁹ !! ''n''¹⁰

:<math>\left((-1)^2\right)^\frac 12 = 1^\frac 12= 1\neq (-1)^{2\cdot\frac 12} =(-1)^1=-1.</math>

 

 

== Eksponen real ==

 

:<math>\left(b^r\right)^s = b^{r s}</math>

 

===Limit eksponen rasional===

[[Berkas:Continuity of the Exponential at 0.svg|thumb|Limit {{math|''e''{{sup|1/''n''}}}} adalah {{math|1=''e''{{sup|0}} = 1}} ketika {{mvar|n}} cenderung ketakterhinggaan.]]

:<math> b^x = \lim_{r (\in \mathbb{Q}) \to x} b^r \quad (b \in \mathbb{R}^+,\, x \in \mathbb{R}),</math>

dimana limitnya diambil alih nilai rasional {{mvar|r}} saja. Limit ini ada untuk setiap {{mvar|b}} positif dan setiap {{mvar|x}} real.

 

:<math>\left[b^3, b^4\right], \left[b^{3.1}, b^{3.2}\right], \left[b^{3.14}, b^{3.15}\right], \left[b^{3.141}, b^{3.142}\right], \left[b^{3.1415}, b^{3.1416}\right], \left[b^{3.14159}, b^{3.14160}\right], \ldots</math>

Jadi, batas atas dan batas bawah interval membentuk dua [[barisan (matematika)|barisan]] yang memiliki limit yang sama, dilambangkan dengan sebagai <math>b^\pi.</math>

Karena [[deret (matematika)|deret]] [[deret konvergen|konvergen]] untuk setiap [[bilangan kompleks|kompleks]] nilai {{mvar|x}} dengan persamaan yang memungkinkan pendefinisian fungsi eksponensial, dan demikian pula <math>e^z,</math> untuk argumen kompleks {{mvar|z}}. Fungsi eksponensial diperluas masih memenuhi identitas eksponensial, dan biasanya digunakan untuk mendefinisikan eksponensial untuk basis kompleks dan eksponen.

 

Definisi {{math|''e''^''x''}} sebagai fungsi eksponensial didefinisikan {{math|''b''^''x''}} untuk setiap bilangan real positif {{mvar|b}}, dalam hal fungsi eksponensial dan [[logaritmik]]. Secara khusus, bahwa [[logaritma natural]] {{math|ln(''x'')}} adalah [[fungsi invers|invers]] dari fungsi eksponensial {{math|''e''^''x''}} maka ia memiliki

: <math>b = \exp(\ln b)=e^{\ln b}</math>

:<math>b^{z+t} = b^z b^t,</math>

Secara umum,

:<math>\left(b^z\right)^t \ne b^{zt},</math>

kecuali {{mvar|z}} adalah real atau {{mvar|w}} adalah bilangan bulat.

[[Rumus Euler]] <math>e^{iy} = \cos y + i \sin y,</math> mengekspresikan [[bentuk polar]] dari <math>b^z</math> dalam hal [[bagian real dan imajiner]] dari {{mvar|z}}, yaitu

:<math>b^{x+iy}= b^x(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)),</math>

:<math>b^{x+iy}=b^x b^{iy}=b^x e^{iy\ln b} =b^x(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).</math>

 

 

Pada bagian sebelumnya, eksponen dengan eksponen non-bilangan bulat telah didefinisikan hanya untuk basis real positif. Untuk basis lain, kesulitan muncul dengan kasus sederhana dari akar ke-{{mvar|n}}, yaitu, dari eksponen <math>1/n,</math> dimana {{mvar|n}} adalah bilangan bulat positif. Meskipun teori umum eksponensial dengan eksponen bukan bilangan bulat yang berlaku untuk akar ke-{{mvar|n}}, kasus ini layak untuk dipertimbangkan terlebih dahulu, karena tidak perlu menggunakan [[logaritma kompleks]], dan karena itu lebih mudah dipahami.

 

[[Berkas:One3Root.svg|thumb|right|Tiga akar ke-3 dari 1]]

 

 

Bilangan ''e''^{{{sfrac|2''πi''|''n''}}} adalah akar satuan ''n'' primitif dengan [[Argumen (analisis kompleks)|argumen]] positif terkecil. Hal ini terkadang disebut '''akar kesatuan ke-''n'' utama''', meskipun terminologi ini tidaklah universal dan tidak boleh disamakan dengan [[nilai utama]] dari {{radic|1|''n''}}, yaitu 1.<ref>{{cite book |title=Introduction to Algorithms |edition=second |author-first1=Thomas H. |author-last1=Cormen |author-first2=Charles E. |author-last2=Leiserson |author-first3=Ronald L. |author-last3=Rivest |author-first4=Clifford |author-last4=Stein |publisher=[[MIT Press]] |date=2001 |isbn=978-0-262-03293-3}} [http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0070131511/student_view0/chapter30/glossary.html Online resource] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070930201902/http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0070131511/student_view0/chapter30/glossary.html |date=2007-09-30 }}</ref><ref>{{cite book | title = Difference Equations: From Rabbits to Chaos | title-link= Difference Equations: From Rabbits to Chaos | edition = [[Undergraduate Texts in Mathematics]] |author-first1=Paul |author-last1=Cull |author-first2=Mary |author-last2=Flahive |author-link2=Mary Flahive |author-first3=Robby |author-last3=Robson |date=2005 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-23234-8}} Didefinisikan pada hal. 351</ref><ref>"[http://mathworld.wolfram.com/PrincipalRootofUnity.html Principal root of unity]", MathWorld.</ref>)

Jika <math>w=\frac mn</math> adalah bilangan rasional dengan {{mvar|m}} dan {{mvar|n}} [[bilangan bulat koprima]] dengan <math>n>0,</math> maka <math>z^w</math> memiliki nilai persis {{mvar|n}}. Dalam kasus <math>m=1,</math> nilai-nilai ini sama dengan yang dijelaskan dalam [[#Akar ke-n bilangan kompleks|§akar ke-{{mvar|n}} bilangan kompleks]]. Jika {{mvar|w}} adalah bilangan bulat, maka hanya ada satu nilai yang sesuai dengan {{slink||Eksponen bilangan bulat}}.

 

 

====Komputasi====

 

*''[[Bentuk polar]] dari {{mvar|z}}''. Jika <math>z=a+ib</math> adalah bentuk kanonik dari {{mvar|z}} ({{mvar|a}} dan {{mvar|b}} sebagai real), maka bentuk polar-nya adalah <math DISPLAY=block>z=\rho e^{i\theta}= \rho (\cos\theta + i \sin\theta),</math> dimana <math>\rho=\sqrt{a^2+b^2}</math> dan <math>\theta=\operatorname{atan2}(a,b)</math> (lihat [[atan2]] untuk definisi fungsi ini).

*''Bentuk kanonik dari <math>w\log z.</math>'' Jika <math>w=c+di</math> dengan real {{mvar|c}} dan {{mvar|d}}, nilai <math>w\log z</math> adalah <math DISPLAY=block>w\log z = (c\ln \rho - d\theta-2dk\pi) +i (d\ln \rho + c\theta+2ck\pi),</math> nilai utama yang sesuai dengan <math>k=0.</math>

*''Hasil akhir.'' Menggunakan identitas <math>e^{x+y}e^x = e^y</math> dan <math>e^{y\ln x} =x^y,</math> satu-satunya menggunakan <math DISPLAY=block>z^w=\rho^c e^{-d(\theta+2k\pi)} \left(\cos (d\ln \rho + c\theta+2ck\pi) +i\sin(d\ln \rho + c\theta+2ck\pi)\right),</math> dengan <math>k=0</math> untuk nilai utama.

* <math>i^i</math> <br>Bentuk polar {{mvar|i}} adalah <math>i=e^{i\pi/2},</math> dan dengan demikian nilai <math>\log i</math> adalah <math DISPLAY=block>\log i=i\left(\frac \pi 2 +2k\pi\right).</math> Oleh karena itu <math DISPLAY=block>i^i=e^{i\log i}=e^{-\frac \pi 2} e^{-2k\pi}.</math> Jadi, semua nilai real <math>i^i</math> utama adalah <math DISPLAY=block> e^{-\frac \pi 2} \approx 0.2079.</math>

 

(-2)^{3 + 4i} &= 2^3 e^{-4(\pi+2k\pi)} (\cos(4\ln 2 + 3(\pi +2k\pi)) +i\sin(4\ln 2 + 3(\pi+2k\pi)))\\

&=-2^3 e^{-4(\pi+2k\pi)}(\cos(4\ln 2) +i\sin(4\ln 2)).

Dalam kedua contoh, semua nilai <math>z^w</math> memiliki argumen yang sama. Secara umum, ini benar jika dan hanya jika [[bagian real]] dari {{mvar|w}} adalah bilangan bulat.

 

 

{{bulleted list

Untuk sembarang bilangan bulat {{mvar|n}}, memiliki:

# <math>e^{1 + 2 \pi i n} = e^1 e^{2 \pi i n} = e \cdot 1 = e</math>

# <math>e^{1 + 4 \pi i n - 4 \pi^2 n^2} = e\qquad</math> (menggunakan <math>\left(e^x\right)^y = e^{xy}</math> dan memperluas eksponen)

# <math>e^1 e^{4 \pi i n} e^{-4 \pi^2 n^2} = e\qquad</math> (menggunakan <math>e^{x+y} = e^x e^y</math>)

{{quote|Jika ''b'' adalah bilangan aljabar yang berbeda dari 0 dan 1, dan ''x'' adalah bilangan aljabar irasional, maka semua nilai ''b''^''x'' (banyaknya, tak hingga) adalah [[bilangan transendental|transendental]] (bukan aljabar).}}

 

 

Sebuah [[struktur aljabar]] yang terdiri dari himpunan bersama dengan operasi asosiatif yang dilambangkan dengan perkalian, dan identitas perkalian yang dilambangkan dengan 1 adalah [[monoid]]. Dalam monoid, eksponensial elemen {{mvar|x}} didefinisikan secara induktif oleh

Jadi, jika {{mvar|G}} adalah grup, <math>x^n</math> didefinisikan untuk setiap <math>x\in G</math> dan setiap bilangan bulat {{mvar|n}}.

 

 

Urutan elemen memainkan peran mendasar dalam [[teori grup]]. Misalnya, urutan suatu elemen dalam grup hingga selalu merupakan pembagi dari jumlah elemen grup tersebut ("urutan" grup). Kemungkinan urutan elemen grup penting dalam studi struktur grup (lihat [[teorema Sylow]]), dan dalam [[klasifikasi grup sederhana hingga]].

Jika nilradikal direduksi menjadi [[ideal nol]] (yaitu, jika <math>x\neq 0</math> menyatakan <math>x^n\neq 0</math> untuk setiap bilangan bulat positif {{mvar|n}}), ring komutatif dikatakan [[gelanggang tereduksi|tereduksi]]. Gelanggang tereduksi penting dalam [[geometri aljabar]], karena [[gelanggang koordinat]] dari [[himpunan aljabar Affin]] merupakan gelanggang tereduksi.

 

 

===Matriks dan operator linear===

 

 

:<math>\left(\frac{d}{dx}\right)^nf(x) = \frac{d^n}{dx^n}f(x) = f^{(n)}(x).</math>

 

 

===Medan hingga===

{{main|Medan hingga}}

 

 

Satu-satunya adalah

untuk setiap <math>x\in \mathbb F_q.</math>

 

 

Dalam <math>\mathbb F_q,</math> identitas [[impian Fresman]]

& x\mapsto x^p

\end{align}</math>

 

[[Pertukaran kunci Diffie–Hellman]] adalah aplikasi eksponensial dalam Medan hingga yang banyak digunakan untuk [[komunikasi aman]]. Ini menggunakan fakta bahwa eksponensial secara komputasi tidak mahal, sedangkan operasi kebalikannya, [[logaritma diskret]], secara komputasi mahal. Lebih tepatnya, jika {{mvar|g}} adalah elemen primitif dalam <math>\mathbb F_q,</math> maka <math>g^e</math> dihitung secara efisien dengan [[eksponensial dari kuadrat]] untuk {{mvar|e}}, bahkan jika {{mvar|q}} besar, sementara tidak ada algoritma yang diketahui memungkinkan pengambilan {{mvar|e}} dari <math>g^e</math> jika nilai {{mvar|q}} adalah besar.

Untuk [[bilangan kardinal]] tak hingga dan himpunan ''A'', notasi ''A''^κ juga digunakan untuk menyatakan himpunan semua fungsi dari himpunan ukuran hingga ''A''. Ini terkadang ditulis ^κ''A'' untuk membedakannya dari eksponensial utama, yang didefinisikan di bawah ini.

 

: <math>\bigoplus_{i \in \mathbb{N}} V_i,</math>

dimana setiap ''V''_''i'' adalah ruang vektor.

: <math>S^N \equiv \{f \colon N \to S\}.</math>

 

 

===Dalam teori kategori===

{{Main|Kategori tertutup Kartesius}}

 

===Dari bilangan kardinal dan ordinal===

Sama seperti eksponensial bilangan asli dimotivasi oleh perkalian berulang, adalah mendefinisikan operasi berdasarkan eksponensial berulang; operasi ini terkadang disebut [[hiper-4]] atau [[tetrasi]]. Tetrasi-iterasi mengarah ke operasi lain, dan seterusnya, sebuah konsep bernama [[hiperoperasi]]. Urutan operasi ini dinyatakan oleh [[fungsi Ackermann]] dan [[notasi panah atas Knuth]]. Sama seperti eksponensial pertumbuhan cepat daripada perkalian, pertumbuhan cepat dari penambahan, tetrasi adalah pertumbuhan cepat dari eksponensial. Dinilai pada {{math|(3, 3)}}, fungsi penjumlahan, perkalian, eksponensial, dan tetrasi menghasilkan 6, 9, 27, dan {{val|7625597484987}} masing-masing pada ({{math|1== 3²⁷ = 3^3³ = ³3}}).

 

 

Lebih tepatnya, perhatikan fungsi {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = ''x''^''y''}} didefinisikan pada {{math|1=''D'' = {(''x'', ''y'') ∈ '''R'''² : ''x'' > 0}.}} Kemudian {{math|''D''}} dilihat sebagai himpunan bagian dari {{math|{{overline|'''R'''}}²}} (yaitu, himpunan semua pasangan {{math|(''x'', ''y'')}} dengan {{math|''x''}}, {{math|''y''}} memiliki [[garis bilangan real diperluas]] {{math|1={{overline|'''R'''}} = [−∞, +∞]}}, dengan [[darab topologi]]), yang berisi titik-titik dimana fungsi {{math|''f''}} memiliki limit.

 

 

Dibawah definisi ini dengan kontinuitas, maka memperoleh:

* {{math|1=0^''y'' = +∞}} dan {{math|1=(+∞)^''y'' = 0}}, bila {{math|−∞ ≤ ''y'' < 0}}.

 

 

 

==Komputasi yang efisien dengan eksponen bilangan bulat==

| 2² = 4

|-

|-

| (2³)² = 2⁶ = 64

| (2¹²)² = 2²⁴ = {{val|16,777,216}}

|-

|-

|-

|}

Rangkaian langkah ini hanya membutuhkan 8 perkalian, bukan 99.

 

 

==Fungsi teriterasi==

untuk setiap {{mvar|x}} dalam domain {{mvar|f}}.

 

 

Ketika perkalian didefinisikan pada kodomain fungsi, ini mendefinisikan perkalian pada fungsi, [[perkalian sesetitik]], yang menginduksi eksponensial lain. Saat menggunakan [[notasi fungsional]], dua jenis eksponensial umumnya dibedakan dengan menempatkan eksponen dari iterasi fungsional ''sebelum'' tanda kurung yang melampirkan argumen fungsi, dan menempatkan eksponen perkalian sesetitik ''setelah'' tanda kurung. Jadi <math>f^2(x)= f(f(x)),</math> dan <math>f(x)^2= f(x)\cdot f(x).</math> Ketika notasi fungsional tidak digunakan, disambiguasi yang dilakukan dengan menempatkan simbol komposisi sebelum eksponen; misalnya <math>f^{\circ 3}=f\circ f \circ f,</math> dan <math>f^3=f\cdot f\cdot f.</math> Untuk alasan historis, eksponen dari perkalian berulang ditempatkan sebelum argumen untuk beberapa fungsi tertentu, biasanya [[fungsi trigonometri]]. Jadi, <math>\sin^2 x</math> dan <math>\sin^2(x)</math> berarti keduanya <math>\sin(x)\cdot\sin(x)</math> dan bukan <math>\sin(\sin(x)),</math> yang jarang dipertimbangkan. Secara historis, beberapa varian notasi ini digunakan oleh penulis yang berbeda.<ref name="Herschel_1813"/><ref name="Herschel_1820"/><ref name="Cajori_1929"/>

==Dalam bahasa pemrograman==

[[Bahasa pemrograman]] umumnya menyatakan eksponensial baik sebagai operator infiks atau sebagai fungsi (awalan), karena mereka adalah notasi linear yang tidak mendukung superskrip:

* <code>x ^ y</code>: [[AWK]], [[BASIC]], [[J programming language|J]], [[MATLAB]], [[Wolfram Language]] ([[Wolfram Mathematica|Mathematica]]), [[R (programming language)|R]], [[Microsoft Excel]], [[Analytica (perangkat lunak)|Analytica]], [[TeX]] (dan turunannya), [[TI-BASIC]], [[bc bahasa pemrograman|bc]] (untuk eksponen bilangan bulat), [[Haskell (bahasa pemrograman)|Haskell]] (untuk eksponen bilangan bulat nonnegatif), [[Lua (bahasa pemrograman)|Lua]] dan sebagian besar [[sistem aljabar komputer]]. Penggunaan simbol <code>^</code> yang bertentangan meliputi: [[XOR]] (dalam ekspansi aritmetika POSIX Shell, AWK, C, C++, C#, D, Go, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Ruby dan Tcl), [[Indirection]] (Pascal), dan rangkaian string (OCaml dan Standard ML).

* <code>x ^^ y</code>: Haskell (untuk basis pecahan, eksponen bilangan bulat), [[D (bahasa pemrograman)|D]].

* <code>(expt x y)</code>: [[Common Lisp]].

 

 

Tidak semua bahasa pemrograman menggunakan konvensi asosiasi yang sama untuk eksponensial: sedangkan [[Wolfram Language]], [[Google Penelusuran]] dan lainnya menggunakan pengaitan kanan (yaitu <code>a^b^c</code> dievaluasi sebagai <code>a^(b^c)</code>), banyak program komputer seperti [[Microsoft Office Excel]] dan [[Matlab]] mengasosiasikan ke kiri (yaitu <code>a^b^c</code> dievaluasi sebagai <code>(a^b)^c</code>).

* [[Subskrip dan superskrip Unicode]]

* [[Persamaan x^y = y^x|''x''^''y'' = ''y''^''x'']]

{{div col end}}

<!-- harap simpan entri dalam urutan abjad -->

<ref name="Robinson_1958">{{Cite journal |title=A report on primes of the form k · 2ⁿ + 1 and on factors of Fermat numbers |author-first=Raphael Mitchel |author-last=Robinson |author-link=Raphael Mitchel Robinson |journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] |volume=9 |issue=5 |date=Oktober 1958 |orig-year=1958-04-07 |location=[[Universitas California]], Berkeley, California, AS |doi=10.1090/s0002-9939-1958-0096614-7 |pages=673–681 [677] |url=https://www.ams.org/journals/proc/1958-009-05/S0002-9939-1958-0096614-7/S0002-9939-1958-0096614-7.pdf |access-date=2020-06-28 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200628100823/https://www.ams.org/journals/proc/1958-009-05/S0002-9939-1958-0096614-7/S0002-9939-1958-0096614-7.pdf |archive-date=2020-06-28|doi-access=free }}</ref>

<ref name="Bronstein_1987">{{cite book |title=Taschenbuch der Mathematik |language=de |trans-title=Pocketbook of mathematics |title-link=Bronstein and Semendjajew |chapter=2.4.1.1. Definition arithmetischer Ausdrücke |trans-chapter=Definisi ekspresi aritmetika |author-first1=Ilja Nikolaevič<!-- Nikolajewitsch --> |author-last1=Bronstein |author-link1=Ilya Nikolaevich Bronshtein<!-- 1903–1976 --> |author-first2=Konstantin Adolfovič<!-- Adolfowitsch --> |author-last2=Semendjajew |author-link2=Konstantin Adolfovic Semendyayev<!-- 1908–1988 --> |editor-first1=Günter |editor-last1=Grosche |editor-first2=Viktor |editor-last2=Ziegler<!-- 1922–1980--> |editor-first3=Dorothea |editor-last3=Ziegler |others=Weiß, Jürgen<!-- lector --> |translator-first=Viktor |translator-last=Ziegler |volume=1 |date=1987 |edition=23 |orig-year=1945 |publisher=[[Verlag Harri Deutsch]] (dan [[B. G. Teubner Verlagsgesellschaft]], Leipzig) |publication-place=Thun, Switzerland / Frankfurt am Main, Germany |location=Leipzig, Germany |isbn=3-87144-492-8 |pages=115–120, 802 <!-- |quote=Regel 7: Ist ''F''(''A'') Teilzeichenreihe eines arithmetischen Ausdrucks oder einer seiner Abkürzungen und ''F'' eine Funktionenkonstante und ''A'' eine Zahlenvariable oder Zahlenkonstante, so darf ''F{{thin space}}A'' dafür geschrieben werden. [Darüber hinaus ist noch die Abkürzung ''F''^''n''(''A'') für (''F''(''A''))^''n'' üblich. Dabei kann ''F'' sowohl Funktionenkonstante als auch Funktionenvariable sein.] --><!-- -->}}</ref>

<ref name="Zeidler_2013">{{cite book |title=Springer-Handbuch der Mathematik I |title-link=Springer-Handbuch der Mathematik |volume=I |language=de |editor-first=Eberhard |editor-last=Zeidler |editor-link=:de:Eberhard Zeidler |author-last1=Zeidler |author-first1=Eberhard |author-link1=:de:Eberhard Zeidler |author-last2=Schwarz |author-first2=Hans Rudolf |author-last3=Hackbusch |author-first3=Wolfgang |author-link3=Wolfgang Hackbusch |author-last4=Luderer |author-first4=Bernd |author-link4=:de:Bernd Luderer |author-last5=Blath |author-first5=Jochen |author-last6=Schied |author-first6=Alexander |author-last7=Dempe |author-first7=Stephan |author-last8=Wanka |author-first8=Gert |author-link8=Gert Wanka |author-last9=Hromkovič |author-first9=Juraj |author-link9=Juraj Hromkovič |author-last10=Gottwald |author-first10=Siegfried |author-link10=Siegfried Gottwald |publisher=[[Springer Spektrum]], [[Springer Fachmedien Wiesbaden]] |location=Berlin / Heidelberg, Germany |edition=1 |date=2013 |orig-year=2012 |isbn=978-3-658-00284-8 |doi=10.1007/978-3-658-00285-5 |page=590<!-- |url=https://www.springer.com/de/book/9783658002848 |access-date=2020-06-27 -->}} (xii+635 pages)</ref>

<ref name="Cajori_1929">{{cite book |author-first=Florian |author-last=Cajori |author-link=Florian Cajori |title=A History of Mathematical Notations |volume=2 |orig-year=March 1929 |publisher=[[Open court publishing company]] |location=Chicago, USA |date=1952 |edition=3rd|pages=108, 176–179, 336, 346 |isbn=978-1-60206-714-1 |url=https://books.google.com/books?id=bT5suOONXlgC |access-date=2016-01-18 }}</ref>

<!-- <ref name="Peirce_1852">{{cite book |author-first=Benjamin |author-last=Peirce |author-link=Benjamin Peirce |title=Curves, Functions and Forces |volume=I |edition=new |location=Boston, USA |date=1852 |page=203}}</ref>-->