Eksponensiasi: Perbedaan antara revisi

{{nobr|{{legend-line|inline=yes|green solid 2px|[[#KuasaPangkat sepuluh|basis  10]],}}}}

{{nobr|{{legend-line|inline=yes|red solid 2px|[[#Fungsi eksponensial|basis  ''e'']],}}}}

{{nobr|{{legend-line|inline=yes|blue solid 2px|[[#KuasaPangkat dua|basis  2]],}}}}

{{nobr|{{legend-line|inline=yes|cyan solid 2px|basis  {{sfrac|1|2}}.}}}}

Ekspresi {{math|1=''b''² = ''b'' ⋅ ''b''}} disebut "[[Persegi (aljabar)|persegi]] dari ''b''" atau "kuadrat ''b'' kuadrat", karena luas persegi dengan panjang sisi {{math|''b''}} adalah {{math|''b''²}}.

Demikian pula, ekspresi {{math|1=''b''³ = ''b'' ⋅ ''b'' ⋅ ''b''}} disebut "[[Kubus (aljabar)|kubus]] dari ''b''" atau "''b'' pangkat tiga", karena volume kubus dengan panjang rusuk {{math|''b''}} adalah {{math|''b''³}}.

KetikaKarena itu adalah [[bilangan bulat positif]], eksponen menunjukkan berapa banyak salinan dari basis yang dikalikan bersama. Misalnya, {{math|1=3⁵ = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243}}. Basis {{math|3}} muncul {{math|5}} kali dalam perkalian, karena eksponennya adalah {{math|5}}. Maka, {{math|243}} adalah ''kuasapangkat ke-5 dari 3'', atau ''3 terkuasaterpangkat ke-5''.

Kata "terkuasapangkat" biasanyaterkadang dihilangkan, dan terkadang "kuasa" juga, jadi {{math|3⁵}} dapat dibaca "3 ke 5", atau "3 ke 5 ". Oleh karena itu, eksponensialeksponensiasi {{math|''b''^''n''}} dinyatakan sebagai "''b'' untuk kuasapangkat ''n''", "''b'' untuk kuasapangkat ke-''n''", "''b'' untuk ke-''n''", atau disingkat juga sebagai "''b'' untuk ''n'' ".

Rumus dengan eksponensial bertingkat, seperti {{math|3^5⁷}} (yang berarti {{math|3^(5⁷)}} dan bukan {{math|(3⁵)⁷}}), disebut juga sebagai '''menara kuasa''', atau hanya '''menarapangkat'''.

Definisi eksponensial sebagai perkalian teriterasi dibuktikan secara [[pembuktian formal|formalisasi]] dengan menggunakan [[induksi matematika|induksi]],<ref>{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=qToTAgAAQBAJ&pg=PA94 |title=Abstract Algebra: an inquiry based approach |first1=Jonathan K. |last1=Hodge |first2=Steven |last2=Schlicker |first3=Ted |last3=Sundstorm |page=94 |date=2014 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4665-6706-1}}</ref> dan definisi ini digunakan segerasegara apabila memilikiuntuk perkalian [[asosiatif|asosiasi]]:

Menurut definisi, setiap bilangan bukan nol yang terkuasaterpangkat ke kuasapangkat {{math|0}} adalah {{math|1}}:<ref name=":1" /><ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=YOdtemSmzQQC&pg=PA101 |title=Technical Shop Mathematics |first1=Thomas |last1=Achatz |page=101 |date=2005 |edition=3rd |publisher=Industrial Press |isbn=978-0-8311-3086-2}}</ref><ref name=":1" />

Definisi ini adalah satu-satunya kemungkinan yang memungkinkan perluasan rumus

Kasus {{math|0⁰}} adalah lebih rumit. Dalam konteks dimana kuasapangkat bilangan bulat yang dipertimbangkan, nilai {{math|0}} umumnya ditetapkan ke <math>0^0,</math> namun, jika tidak, pilihanpilihannya adalah apakah akan menetapkan nilai, dan nilai apa yang akan ditetapkan mungkin bergantung pada konteks. <div class="rellink boilerplate seealso">Untuk detail selengkapnya, lihat [[Nol pangkat nol|Nol ke kuasapangkat nol]].</div>

Menaikkan 0 ke eksponen negatif tidak ditentukan, tetapi dalam beberapa keadaan, apabilamaka ditafsirkan sebagai tak hingga (<math>\infty</math>).

[[identitas (matematika)|Identitas]] berikut ini, sering disebut juga sebagai '''{{vanchor|kaidah eksponen}}''', untuk semua eksponen bilangan bulat, asalkan basisnya bukan nol:<ref name=":1" />

Tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponensial bukanlah [[komutatif]]. Misalnya(misalnya, {{math|1=2³ = 8 ≠ 3² = 9}}.), Jugadan juga tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponensial tidakbukanlah [[asosiatif]]. Misalnya(misalnya, {{math|1=(2³)² = 8² {{=}} 64}}, dimana {{math|2^(3²) {{=}} 2⁹ {{=}} 512}}). Tanpa tanda kurung, [[urutan operasi]] konvensional untuk [[deret eksponensial]] dalam notasi superskrip adalah ''top-down'' (atau asosiatif-''kanan''), bukan ''bottom-up''<ref name="Robinson_1958"/><ref name="Bronstein_1987"/><ref name="NIST_2010"/><ref name="Zeidler_2013"/> (atau asosiatif-''kiri''). Maka,

===KuasaPangkat jumlah===

Kuasapangkat jumlah biasanya dihitung dari kuasapangkat penjumlahan dengan [[rumus binomial]]

Namun, rumus ini hanya berlaku jika jumlah komuter (yaitu {{math|1=''ab'' = ''ba''}}), yang menyatakan apabila ia termasuk dalam [[struktur aljabar|struktur]] yaitu [[sifat komutatif|komutatif]]. Jika tidak, {{mvar|a}} dan {{mvar|b}} adalah [[matriks persegi]] dengan ukuran yang sama, rumus ini tidak dapat digunakan. Oleh karena itu dalam [[aljabar komputer]], banyak [[algoritma]] yang melibatkan eksponen bilangan bulat diubah ketika basis eksponensial tidak komuter. Beberapa tujuan umum [[sistem aljabar komputer]] menggunakan notasi yang berbeda (terkadang, {{math|^^}} sebagai gantinya adalah {{math|^}}) untuk eksponensial dengan basis non-komuter, yang kemudian disebut '''eksponensial non-komutatif'''.

Untuk bilangan bulat tak -negatif {{mvar|n}} dan {{mvar|m}}, nilai dari {{math|''n''^''m''}} adalah jumlah [[fungsi (matematika)|fungsi]] dari elemen [[himpunan (matematika)|himpunan]] elemen {{mvar|m}} ke himpunan elemen himpunan {{mvar|n}} (lihat [[Bilangan kardinal#Eksponensial kardinal|eksponensial kardinal]]). Fungsi tersebut direpresentasikandiwakilankan sebagai [[rangkap]]-{{mvar|m}} dari elemen himpunan-{{mvar|n}} (atau sebagai kata huruf {{mvar|m}} dari alfabet huruf {{mvar|n}}). Beberapa contoh untuk nilai {{mvar|m}} dan {{mvar|n}} tertentu diberikan dalam tabel berikut:

!{{math|''n''^''m''}} kemungkinanyang merupakan rangkap-{{mvar|m}} elemen dari elemen himpunan {{math|{{mset|1, ..., ''n''}}}}

===Basis tertentukhusus===

===={{anchor|Basis 10}}KuasaPangkat sepuluh====

{{main|KuasaPangkat 10}}

Dalam sistem bilangan basis sepuluh ([[desimal]]), kuasapangkat bilangan bulat {{math|10}} ditulis sebagai digit {{math|1}} diikuti atau didahului oleh sejumlah nol yang ditentukan oleh tanda dan besaran eksponen. Misalnya, {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}} dan {{math|1={{val|e=-4}} = {{val|0,0001}}}}.

[[Awalan SI]] berdasarkan kuasapangkat {{math|10}} yang juga digunakan untuk menggambarkan jumlah kecil atau besar. Misalnya, awalan [[Kilo-|kilo]] berarti {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}}, jadi satu kilometer adalah {{val|1000|u=meter}}.

===={{anchor|Basis 2}}KuasaPangkat dua ====

{{main|KuasaPangkat dua}}

Pangkatpangkat negatif pertama {{math|2}} biasanya digunakan, dan memiliki nama khusus, misalnya: ''[[Satu setengah|setengah]]'' dan ''[[4 (angka)|kuarterner]]''.

Kuasapangkat {{math|2}} muncul didalam [[teori himpunan]], karena himpunan dengan anggota {{math|''n''}} memiliki [[himpunan kuasapangkat]], himpunan dari semua [[himpunan bagian]]-nya, yang memiliki anggota {{math|2^''n''}}.

Kuasapangkat bilangan bulat {{math|2}} penting dalam [[ilmu komputer]]. Bilangan bulat positif kuasapangkat {{math|2^''n''}} memberikan jumlah bilangan yang mungkin untuk [[bit]] {{math|''n''}} bilangan bulat [[bilangan biner]]; misalnya, [[bita]] dapat mengambil nilai {{math|1=2⁸ = 256}} nilai yang berbeda. [[Sistem bilangan biner]] menyatakan bilangan sebagai jumlah dari kuasapangkat {{math|2}}, dan menyatakannya sebagai urutan {{math|0}} dan {{math|1}}, dipisahkan oleh [[titik biner]], dimana {{math|1}} menunjukkan kuasapangkat {{math|2}} yang muncul dalam penjumlahan; eksponen ditentukan oleh tempat {{math|1}} ini: eksponen nonnegatif adalah kuasapangkat {{math|1}} sebelah kiri titik (mulai dari {{math|0}}), dan eksponen negatif ditentukan oleh peringkat sebelah kanan titik.

====KuasaPangkat satu====

Kuasapangkat satu adalah semua satu-satunya: {{math|1=1^''n'' = 1}}.Ppangkat nol

JikaJikalau eksponen {{mvar|n}} negatif ({{math|''n'' < 0}}), kuasapangkat ke-{{mvar|n}} dari nol {{math|0^{'' n''}}} tidak ditentukan, karenamaka dari itu harus sama dengan <math>1/0^{-n}</math> dengan {{math|−''n'' > 0}}, dan ini sebagai menjadi <math>1/0</math>.

Ekspresi {{math|0⁰}} didefinisikan sebagai 1, atau maka tidak terdefinisiterdefinisikan (''lihat [[Nol untuk kuasapangkat nol]]'').

====Kuasa[Pangkat negatif satu====

JikaJikalau {{math|''n''}} adalah bilangan bulat ganjil, maka nilainya adalah {{math|1=(−1)^''n'' = −1}}.

Oleh karena itu, kuasapangkat {{math|−1}} berguna untuk menyatakan sebagai [[urutan]] bergantian. Untuk diskusi serupa tentang kuasapangkat bilangan kompleks {{math|''i''}}, lihat {{section link||KuasaPangkat bilangan kompleks}}.

[[Limit barisan]] kuasapangkat dari bilangan besar dari satu divergen; dengan kata lain, barisan tersebut terikat tanpa batas:

Apabila dibaca sebagai "''b'' kuasapangkat ''n'' cenderung [[garis bilangan real diperluas|+∞]] sebagai ''n'' cenderung tak hingga ketika ''b'' memiliki nilai besar daripada satu".

Kuasapangkat suatu bilangan dengan [[nilai absolut]] kurang dari satu cenderung nol:

Setiap kuasapangkat satu tetap satu:

Kuasapangkat {{math|–1}} berganti antara {{math|1}} dan {{math|–1}} sebagai {{math|''n''}} berganti antara genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhan {{math|''n''}}.

Limit lain, khususnya ekspresi yang menggunakan [[bentuk antara]], dijelaskan dalam {{section link||KuasaPangkat limit}} dibawah.

===Fungsi kuasapangkat===

[[Berkas:Potenssi 1 3 5.svg|thumb|left|Fungsi kuasapangkat untuk <math>n=1,3,5</math>]]

[[Berkas:Potenssi 2 4 6.svg|thumb|Fungsi kuasapangkat untuk <math>n=2,4,6</math>]]

Ketika <math>n</math> ganjil, perilaku [[asimptotik]] <math>f(x)</math> berbalik dari <math>x</math> positif ke <math>x</math> negatif. Untuk <math>c > 0</math>, <math>f(x) = cx^n</math> juga cenderung ke arah positif [[ketakterhinggaan (matematika)|ketakterhinggaan]] dengan tingkatan <math>x</math>, tetapi menuju ketakterhinggaan negatif dengan turunan <math>x</math>. Semua grafik dari keluarga fungsi kuasapangkat ganjil memiliki bentuk umum <math>y=cx^3</math>, merata ditengah ketika tingkatan <math>n</math> dan kehilangan semua kerataan di garis lurus untuk <math>n=1</math>. Fungsi dengan simetri seperti ini {{nobr|(<math>f(-x)= -f(x)</math>)}} disebut [[fungsi ganjil]].

===Daftar kuasapangkat bilangan bulat===

Lihat {{slink||Eksponen real dengan basis negatif}} dan {{slink||KuasaPangkat bilangan kompleks}} untuk detail tentang cara menangani masalah ini.

Untuk bilangan real positif, eksponensial untuk kuasapangkat real dapat didefinisikan dalam dua cara yang setara, baik dengan memperluas kuasapangkat rasional ke real dengan kontinuitas ({{slink||Limit eksponen rasional}}, dibawah), atau dalam hal [[logaritma]] dari basis dan [[fungsi eksponensial]] ({{section link||KuasaPangkat melalui logaritma}}, dibawah). Hasilnya bilangan real positif, dan [[#Identitas dan sifat|identitas dan sifat]] yang ditunjukkan atas untuk eksponen bilangan bulat tetap benar dengan definisi ini untuk eksponen real. Definisi kedua lebih umum digunakan, karena digeneralisasikan secara langsung ke [[bilangan kompleks|kompleks]] eksponen.

Di sisi lain, eksponensial ke kuasapangkat real dari bilangan real negatif jauh lebih sulit untuk didefinisikan secara konsisten, karena mungkin non-real dan memiliki beberapa nilai (lihat {{section link||Eksponen real dengan basis negatif}}). Apabila memilih salah satu dari nilai-nilai ini, yang disebut [[nilai utama]], tetapi tidak ada pilihan nilai utama yang identitasnya

adalah benar; lihat {{section link||Kegagalan kuasapangkat dan identitas logaritma}}. Oleh karena itu, eksponensial dengan basis yang bukan bilangan real positif umumnya dipandang sebagai [[fungsi multinilai]].

Karena [[bilangan irasional]] dapat dinyatakan sebagai [[limit barisan]] dari bilangan rasional, eksponen bilangan real positif {{mvar|b}} dengan eksponen real arbitrersembarang {{mvar|x}} didefinisikan oleh [[fungsi kontinu|kontinuitas]] dengan kaidah<ref name="Denlinger">{{cite book |title=Elements of Real Analysis |url=https://archive.org/details/elementsofrealan0000denl |last=Denlinger |first=Charles G. |publisher=Jones and Bartlett |date=2011 |pages=278–283[https://archive.org/details/elementsofrealan0000denl/page/278 278]–283 |isbn=978-0-7637-7947-4}}</ref>

Misalnya, jika {{math|1=''x'' = {{pi}}}}, diwakilankan [[desimal tanpa]] {{math|1=''π'' = 3.14159... }} dan [[fungsi monoton|monotonisitas]] dari kuasapangkat rasional digunakan untuk mendapatkan interval dibatasi oleh kuasapangkat rasional sekecil yang diinginkan, dan dilambangkan sebagai <math>b^\pi:</math>

===KuasaPangkat melalui logaritma===

<math DISPLAY=inline>\left(b^z\right)^t</math> tidak didefinisikan, karena {{math|''b''^''z''}} bukan bilangan real. Jika suatu arti diberikan pada eksponen bilangan kompleks (lihat {{slink||KuasaPangkat bilangan kompleks}}, dibawah), secara umum,

dimana [[nilai absolut]] dari faktor [[trigonometri|trigonometri]] adalah satu. Maka, hasilnya adalah

==KuasaPangkat bilangan kompleks non-bilangan bulat==

Bilangan kompleks ''w'' sedemikian rupa sehingga {{math|1=''w''^''n'' = 1}} untuk bilangan bulat positif ''n'' adalah '''akar satuan ke-''n'''''. Secara geometris, akar satuan ke-''n'' terletak pada [[lingkaran satuan]] dari medan kompleks pada simpul-simpul dari gon-''n'' beraturan dengan satu simpul pada bilangan real 1.

Jika {{math|1=''w''^''n'' = 1}} akan tetapi {{math|''w''^''k'' 1}} untuk semua bilangan asli ''k'' sehingga {{math|0 < ''k'' < ''n''}}, maka ''w'' disebut '''akar satuan ke-''n'' primitif'''. Satuan negatif −1 adalah satu-satunya [[akar kuadrat]] primitif dari satuan. [[satuan imajiner]] ''i'' adalah salah satu dari dua akar ke-4 primitif dari satuan; yang lainnya adalah −''i''.

Kuasapangkat multinilai adalah holomorfik untuk <math>z\ne 0,</math> dalam arti bahwa [[grafik fungsi|grafik]]-nya terdiri dari beberapa lembar yang mendefinisikan setiap fungsi holomorfik pada sekitar setiap titik. Jika variasi {{mvar|z}} terus menerus sepanjang lingkaran pada sekitar {{math|0}}, maka, setelah titik balik, nilai <math>z^w</math> berubah dari lapisan.

*''[[logaritma kompleks|logaritmaLogaritma]] dari {{mvar|z}}''. [[Nilai utama]] dari logaritma ini adalah <math>\log z=\ln \rho+i\theta,</math> dimana <math>\ln</math> menunjukkan [[logaritma alami]]. Nilai logaritma lainnya diperoleh dengan menambahkan <math>2ik\pi</math> untuk sembarang bilangan bulat {{mvar|k}}.

*<math>(-2)^{3+4i}</math><br>SimilarlyDemikian pula, bentuk polar dari {{math|−2}} adalah <math>-2 = 2e^{i \pi}.</math> Jadi, metode yang dijelaskan di atas diberikan nilai <math DISPLAY=block>\begin{align}

====Kegagalan kuasapangkat dan identitas logaritma====

Beberapa identitas untuk kuasapangkat dan logaritma untuk bilangan real positif akan gagal untuk bilangan kompleks, tidak peduli seberapa kuasapangkat kompleks dan logaritma kompleks didefinisikan ''sebagai fungsi bernilai tunggal''. Misalnya:

# <math>\left(e^{1 + 2\pi i n}\right)^{1 + 2 \pi i n} = e\qquad</math> (mengambil ke-<math>(1 + 2 \pi i n)</math> kuasapangkat kedua sisi)

==KuasaPangkat bilangan bulat dalam aljabar==

Definisi eksponen dengan eksponen bilangan bulat positif sebagai perkalian berulang yang berlaku untuk [[operasi asosiatif]] apa pun yang dilambangkan sebagai perkalian.<ref group="nb">Lebih umum, [[asosiasi kuasapangkat]] sudah cukup untuk definisi.</ref> Definisi <math>x^0</math> memerlukan keberadaan [[identitas perkalian]] lebih lanjut.<ref>{{cite book|author-first=Nicolas |author-last=Bourbaki|title=Algèbre|date=1970|publisher=Springer}}, I.2</ref>

Himpunan dari semua kuasapangkat suatu elemen dari grup membentuk [[subgrup]]. Sebuah gruprup (atau subgrup) yang terdiri dari semua kuasapangkat dari elemen tertentu {{mvar|x}} adalah [[grup siklik]] yang dihasilkan oleh {{mvar|x}}. Jika semua kuasapangkat {{mvar|x}} berbeda, grupnya adalah [[isomorfik]] pada [[grup aditif]] <math>\Z</math> dari bilangan bulat. Jika tidak, grup siklik adalah [[grup hingga|hingga]] (memiliki jumlah elemen hingga), dan jumlah elemennya adalah [[urutan (teori grup)|urutan]] dari {{mvar|x}}. Jika urutan {{mvar|x}} adalah {{mvar|n}}, maka <math>x^n=x^0=1,</math> dan grup siklik yang dihasilkan oleh {{mvar|x}} terdiri dari {{mvar|n}} kuasapangkat pertama {{mvar|x}} (mulai dengan acuh tak acuh dari eksponen {{math|0}} atau {{math|1}}).

Lebih umum, diberikan ideal {{mvar|I}} dalam gelanggang komutatif {{mvar|R}}, himpunan elemen {{mvar|R}} yang memiliki kuasapangkat {{mvar|I}} adalah ideal, yang disebut [[ideal radikal|radikal]] dari {{mvar|I}}. Nilradikal adalah radikal dari [[zero ideal]]. Sebuah [[ideal radikal]] adalah ideal yang sama dengan radikal-diri. Dalam [[gelanggang polinomial]] <math>k[x_1, \ldots, x_n]</math> atas [[medan (matematika)|medan]] {{mvar|k}}, sebuah ideal adalah radikal jika dan hanya jika itu adalah himpunan semua polinomial yang nol pada himpunan aljabar affin (ini adalah konsekuensi dari [[Hilbertscher Nullstellensatz]]).

Jika ''A'' adalah matriks bujur sangkar, maka hasil kali ''A'' dengan ''n'' itu sendiri disebut [[kuasapangkat matriks]]. Juga <math>A^0</math> didefinisikan sebagai [[matriks identitas]],<ref>Bab 1, Aljabar Linear Dasar, 8E, Howard Anton</ref> dan jika ''A'' adalah invers, maka <math>A^{-n} = \left(A^{-1}\right)^n</math>.

Kuasapangkat matriks sering muncul dalam konteks [[sistem dinamik diskret]], dimana matriks ''A'' menyatakan transisi dari vektor keadaan ''x'' dari beberapa sistem ke keadaan berikutnya ''Ax'' dari sistem.<ref>{{citation|first=Gilbert|last=Strang|title=Linear algebra and its applications|publisher=Brooks-Cole|date=1988|edition=3rd}}, Bab 5.</ref> Ini adalah interpretasi standar dari [[rantai Markov]], misalnya, apabila <math>A^2x</math> adalah status sistem setelah dua langkah waktu, dan seterusnya: maka, <math>A^nx</math> adalah status sistem setelah langkah kali ''n''. Matriks kuasapangkat <math>A^n</math> adalah matriks transisi antara keadaan sekarang dan keadaan pada langkah kali ''n'' ke depan. Jadi menghitung kuasapangkat matriks setara dengan memecahkan evolusi sistem dinamis. Dalam banyak kasus, kuasapangkat matriks dihitung dengan menggunakan [[nilai eigen dan vektor eigen]].

Selain matriks, [[operator linear]] yang umum juga merupakan eksponen. Contohnya adalah [[turunan]] operator kalkulus, <math>d/dx</math> salah satu operator linear yang melakukan fungsi <math>f(x)</math> untuk menghasilkan fungsi baru, yaitu <math>(d/dx)f(x) = f'(x)</math>. Kuasapangkat ke-''n'' dari operator diferensiasi adalah turunan ke-''n'':

Contoh-contoh ini adalah untuk eksponen diskret dari operator linear, tetapi dalam keadaan juga diinginkan untuk mendefinisikan kuasapangkat dari operator tersebut dengan eksponen kontinu. Ini adalah titik awal dari teori matematika [[semigrup-C0|semigrup]].<ref>E. Hille, R. S. Phillips: ''Analisis Fungsional dan Semi-Grup''. Masyarakat Matematika Amerika, 1975.</ref> Sama seperti kuasapangkat matriks komputasi dengan eksponen diskret memecahkan sistem dinamis diskret, begitu pula kuasapangkat matriks komputasi dengan eksponen kontinu memecahkan sistem dengan dinamika kontinu. Contohnya termasuk pendekatan untuk menyelesaikan [[persamaan panas]], [[persamaan Schrödinger]], [[persamaan gelombang]], dan persamaan diferensial parsial lainnya yang termasuk evolusi waktu. Kasus khusus eksponensial operator turunan ke kuasapangkat non-bilangan bulat disebut [[turunan pecahan]], yang bersama dengan [[integral pecahan]], merupakan operasi dasar dari [[kalkulus pecahan]].

Sebuah [[Medan (matematika)|medan]] adalah struktur aljabar dimana perkalian, penambahan, pengurangan, dan pembagian didefinisikan dan memenuhi sifat-sifatnya yang sudah dikenal; khususnya, perkaliannya adalah [[asosiatif]], dan setiap elemen bukan nol memiliki [[perkalian invers]]. Ini menyatakan bahwa eksponen dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan dengan baik, kecuali untuk kuasapangkat nonpositif {{math|0}}. Contoh umum adalah [[bilangan kompleks]] dan [[submedan]], [[bilangan rasional]] dan [[bilangan real]] yang telah dibahas sebelumnya dalam artikel ini, dan semua [[himpunan tak hingga|tak hingga]].

Sebuah ''medan hingga'' adalah medan dengan elemen [[himpunan hingga|bilangan hingga]]. Jumlah elemen ini adalah [[bilangan prima]] atau [[kuasapangkat prima]]; yaitu, memiliki bentuk <math>q=p^k,</math> dimana {{mvar|p}} adalah bilangan prima, dan {{mvar|k}} adalah bilangan bulat positif. Untuk setiap {{mvar|q}} tersebut, ada medan dengan elemen {{mvar|q}}. Medan dengan elemen {{mvar|q}} semuanya adalah [[isomorfik]], yang memungkinkan, bekerja seolah-olah hanya ada satu medan dengan elemen {{mvar|q}}, dilambangkan <math>\mathbb F_q.</math>

Sebuah [[elemen primitif (medan hingga)|elemen primitif]] di <math>\mathbb F_q</math> adalah elemen {{mvar|g}} seperti pada himpunan {{math|''q'' − 1}} kuasapangkat pertama {{mvar|g}} (yaitu, <math>\{g^1=g, g^2, \ldots, g^{p-1}=g^0=1\}</math>) sama dengan himpunan elemen bukan nol dari <math>\mathbb F_q.</math> Ada <math>\varphi (p-1)</math> elemen primitif dalam <math>\mathbb F_q,</math> dimana <math>\varphi</math> adalah [[fungsi totient Euler]].

adalah [[peta linear|linear]] atas <math>\mathbb F_q,</math> dan merupakan [[automorfisme medan]], disebut [[automorfisme Frobenius]]. Jika <math>q=p^k,</math> medan <math>\mathbb F_q</math> memiliki {{mvar|k}} automorfisme, yang merupakan kuasapangkat pertama {{mvar|k}} (antara [[fungsi komposisi|komposisi]]) dari {{mvar|F}}. Dengan kata lain, [[grup Galois]] dari <math>\mathbb F_q</math> adalah [[grup siklik|siklik]] urutan {{mvar|k}}, yang dihasilkan oleh automorfisme Frobenius.

Eksponensial umum ini juga didefinisikan untuk operasi pada himpunan atau untuk himpunan dengan [[Struktur matematika|struktur]] tambahan. Misalnya, dalam [[aljabar linear]], untuk indeks [[Jumlah langsung modul|jumlah langsung]] dari [[ruang vektor]] melalui himpunan indeks arbitrersembarang. Artinya, apabila berbicara tentang

Ini cocok dengan [[Bilangan kardinal#Eksponen kardinal|eksponen bilangan kardinal]], dalam arti bahwa {{math|1={{abs|''S''^''N''}} = {{abs|''S''}}^{{{abs|''N''}}}}}, dimana {{abs|''X''}} adalah kardinalitas ''X''. Ketika "2" didefinisikan sebagai {{math|{0, 1}}}, maka memiliki {{math|1={{abs|2^''X''}} = 2^{{{abs|''X''}}}}}, dimana 2^''X'', biasanya dilambangkan dengan '''P'''(''X''), adalah [[himpunan kuasapangkat]] dari ''X''; masing-masing [[himpunan bagian]] ''Y'' dari ''X'' berkorespondensi secara unik dengan fungsi pada ''X'' yang mengambil nilai 1 untuk {{math|''x'' ∈ ''Y''}} dan 0 untuk {{math|''x'' ∉ ''Y''}}.<!-- (Dari sinilah istilah "himpunan kuasa" berasal. Ini membutuhkan sumber) -->

Dalam [[kategori tertutup Kartesius]], operasi [[eksponensial (teori kategori)|eksponensial]] digunakan untuk kenaikkan objek arbitrersembarang ke kuasapangkat objek lain. Ini menggeneralisasi [[darab Kartesius]] dalam kategori himpunan. Jika 0 adalah [[objek awal]] dalam kategori tertutup Kartesius, maka [[objek eksponensial]] 0⁰ adalah isomorfik ke objek terminal 1.

==Limit kuasapangkat==

[[Nol untuk kuasapangkat nol]] memberikan sejumlah contoh limit yang berbentuk [[bentuk tak tentu]] 0⁰. Limit dalam contoh ini ada, tetapi memiliki nilai yang berbeda, menunjukkan bahwa fungsi dua variabel {{math|''x''^''y''}} tidak memiliki limit pada titik {{math|(0, 0)}}. Apabila mempertimbangkan pada titik mana fungsi ini memiliki limit.

Faktanya, {{math|''f''}} memiliki limit di semua [[titik akumulasi]] dari {{math|''D''}}, kecuali {{math|(0, 0)}}, {{math|(+∞, 0)}}, {{math|(1, +∞)}} dan {{math|(1, −∞)}}.<ref>Nicolas Bourbaki, ''Topologie générale'', V.4.2.</ref> Dengan demikian, apabila ini untuk mendefinisikan kuasapangkat {{math|''x''^''y''}} dengan kontinuitas {{math|0 ≤ ''x'' ≤ +∞}}, {{math|−∞ ≤ y ≤ +∞}}, kecuali untuk 0⁰, (+∞)⁰, 1^+∞ dan 1^−∞, yang tetap bentuk tak tentu.

Kuasapangkat ini diperoleh dengan mengambil limit {{math|''x''^''y''}} untuk nilai ''positif'' dari {{math|''x''}}. Metode ini tidak mengizinkan definisi {{math|''x''^''y''}} ketika {{math|''x'' < 0}}, karena pasangan {{math|(''x'', ''y'')}} dengan {{math|''x'' < 0}} bukan merupakan titik akumulasi dari {{math|''D''}}.

Disisi lain, ketika {{math|''n''}} adalah bilangan bulat, maka kuasapangkat {{math|''x''^''n''}} bermakna untuk semua nilai {{math|''x''}}, termasuk yang negatif. Maka, ini membuat definisi {{math|1=0^''n'' = +∞}} yang diperoleh diatas untuk {{math|''n''}} negatif menjadi bermasalah ketika nilainya adalah {{math|''n''}}, karena dalam kasus ini {{math|''x''^''n'' → +∞}} karena {{math|''x''}} cenderung {{math|0}} melalui nilai positif, tetapi bukan nilai negatif.

| 2 * (2²) = 2³ = 8

| 2 * (2²⁴) = 2²⁵ = {{val|33,554,432}}

| (2²⁵) ² 2 = 2⁵⁰ = {{val|1,125,899,906,842,624}}

| (2²⁵⁵⁰)² = 2¹⁰⁰ = {{val|1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376}}

Secara umum, jumlah operasi perkalian yang diperlukan untuk menghitung {{math|''b''^''n''}} dikurangi menjadi <math>\sharp n +\lfloor \log_{^2}\!\log n\rfloor -1,</math> dengan menggunakan [[kuasapangkat dengan kuadrat]], dimanadengan <math>\sharp n</math> menunjukkan jumlah {{math|1}} dalam [[wakilan biner]] dari {{mvar|n}}. Untuk beberapa eksponen (100 tidak termasuk di antaranya), jumlah perkalian dikurangi lebih lanjut dengan menghitung dan menggunakan [[kuasapangkat kaidah-tambahan]] minimal. Menemukan barisan perkalian ''minimal'' (kaidah penambahan panjang minimal untuk eksponen) untuk {{math|''b''^''n''}} adalah soal yang sulit, yang saat ini tidak ada algoritma efisien yang diketahui (lihat [[Masalah jumlah himpunan bagian]]), tetapi banyak algoritma heuristik yang cukup efisien tersedia.<ref>{{Cite journal | last1 = Gordon | first1 = D. M. | doi = 10.1006/jagm.1997.0913 | title = A Survey of Fast Exponentiation Methods | journal = Journal of Algorithms | volume = 27 | pages = 129–146 | date = 1998 | url = http://www.ccrwest.org/gordon/jalg.pdf | citeseerx = 10.1.1.17.7076 }}</ref> Namun, dalam perhitungan praktis, eksponensial dengan mengkuadratkan cukup efisien, dan jauh lebih mudah diimplementasikan.

Jika domain suatu fungsi {{mvar|f}} sama dengan kodomainnya, maka ia menyusun fungsi dengan sendiri dalam jumlah waktu yang berubah-ubah, dan ini mendefinisikan kuasapangkat ke-{{mvar|n}} dari fungsi di bawah komposisi, biasanya disebut ''iterasi ke-{{mvar|n}}'' dari fungsi tersebut. Jadi <math>f^n</math> secara umum menunjukkan iterasi ke-{{mvar|n}} dari {{mvar|f}}; misalnya, <math>f^3(x)</math> berarti <math>f(f(f(x))).</math><ref name="Peano_1903"/>

* <code>x ↑ y</code>: [[Bahasa pemrograman Algol|Algol]], [[Komodor BASIC]], [[TRS-80 Level II BASIC|TRS-80 Level II/III BASIC]].<ref name="InfoWorld_1982">{{cite news |title=BASCOM - A BASIC compiler for TRS-80 I and II |author-first=Timothy "Tim" A. |author-last=Daneliuk |date=1982-08-09 |newspaper=[[InfoWorld]] |series=Software Reviews |publisher=[[Popular Computing, Inc.]] |volume=4 |number=31 |pages=41–42 |url=https://books.google.com/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42 |access-date=2020-02-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200207104336/https://books.google.de/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42&lpg=PA42&focus=viewport&dq=TRS-80+exponention&hl=de#v=onepage&q=TRS-80%20exponention&f=false |archive-date=2020-02-07 |quote=[...] Jika [...] mengkuadratkan dilakukan dengan fungsi eksponensial (panah atas) [[TRS-80 BASIC]], interpreter [[waktu berjalan (fase siklus hidup program)|waktu berjalan]] adalah 22 menit 20 detik, dan waktu berjalan yang dikompilasi adalah 20 menit 3 detik. [...]}}</ref><ref name="80Micro_1983">{{cite journal|date=October 1983|title=80 Contents |url=https://archive.org/details/80-microcomputing-magazine-1983-10|journal=[[80 Micro]] |publisher=[[1001001, Inc.]] |issn=0744-7868 |date=October 1983 |issue=45 |page=5 |urlissn=https://archive.org/details/800744-microcomputing-magazine-1983-10 7868|access-date=2020-02-06 |quote=[...] Tanda kurung kiri, [, menggantikan panah atas yang digunakan oleh [[RadioShack]] untuk menunjukkan eksponensial pada hasil cetakan kami. Saat memasukkan program yang diterbitkan di [[80 Micro]], Anda harus membuat perubahan ini. [...]}} (catatan Pada titik kode 5Bh [[TRS-80 character set]] memiliki simbol panah atas "↑" menggantikan [[ASCII]] [[braket siku kiri]] "[".)</ref>

Untuk eksponen tertentu ada cara khusus untuk menghitung ''x''^''y'' jauh lebih cepat daripada melalui eksponen umum. Kasus ini mencakup bilangan bulat positif dan negatif kecil (memilih ''x''  ·  ''x'' daripada ''x''²; memilih 1/''x'' daripada ''x''⁻¹) dan root (memilih sqrt(''x'') daripada ''x''^0.5, memilih cbrt(''x'') daripada ''x''<sup>1/3</ sup>).

* [[Nol untuk kuasapangkat nol]]

<ref name="NIST_2010">{{cite book |title=NIST Handbook of Mathematical Functions |title-link=NIST Handbook of Mathematical Functions |editor-first=Frank W. J. |editor-last=Olver |editor2-first=Daniel W. |editor2-last=Lozier |editor3-first=Ronald F. |editor3-last=Boisvert |editor4-first=Charles W. |editor4-last=Clark |date=2010 |publisher=[[Institut Standar dan Teknologi Nasional]] (NIST), [[A.S. Departemen Perdagangan]], [[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-19225-5 |mr=2723248}}[http://www.cambridge.org/uk/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521140638] {{Webarchive|url=https://archive.today/20130703230148/http://www.cambridge.org/uk/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521140638 |date=2013-07-03 }}</ref>

<!-- <ref name="Stibitz_1957">{{cite book |title=Mathematics and Computers |url=https://archive.org/details/mathematicscompu00stib |author-first1=George Robert |author-last1=Stibitz |author-link1=George Robert Stibitz |author-first2=Jules A. |author-last2=Larrivee |date=1957 |edition=1 |publisher=[[McGraw-Hill Book Company, Inc.]] |publication-place=New York, AS / Toronto, Kanada / London, Inggris |location=Underhill, Vermont, USA |lccn=56-10331 |page=[https://archive.org/details/mathematicscompu00stib/page/169 169]}} (10+228 halaman) (NB. Stibitz menggunakan tanda kurung bahkan dalam hubungannya dengan fungsi trigonometri (seperti <code>(cos  ''u'') ^''n''</code>) untuk menghindari ambiguitas dari notasi <code>cos^''n''  ''u''</code>.)</ref> -->