Produk Cartesius: Perbedaan antara revisi

{{Periksa terjemahan|en|Cartesian product}}[[Berkas:Cartesian Product qtl1.svg|thumb|Produk KartesiusCartesius <math>\scriptstyle A \times B</math> Set <math>\scriptstyle A=\{x,y,z\}</math> an <math>\scriptstyle B=\{1,2,3\}</math>]]

Dalam [[matematika]], khususnya [[teori himpunan]], '''produk KartesiusCartesius''' dari dua himpunan ''A'' dan ''B'', dilambangkan ''A''{{Hair space}}×{{Hair space}}''B,'' adalah himpunan semua [[pasangan terurut]] (''a'', ''b'') di mana ''a'' berada di ''A'' dan ''b'' berada di ''B''. Dalam [[Notasi ungkapan himpunan|notasi pembentuk himpunan]] dapat dinyatakan sebagai

: <math>A\times B = \{\,(a,b)\mid a\in A \ \mbox{ dan } \ b\in B\,\}.</math><ref>{{cite book|last=Warner|first=S.|title=Modern Algebra|url=https://archive.org/details/modernalgebra0000warn_r8y1|page=[https://archive.org/details/modernalgebra0000warn_r8y1/page/6 6]|publisher=[[Dover Publications]]|date=1990}}</ref>

Suatu tabel dapat dibuat dengan mengambil produk KartesiusCartesius dari suatu himpunan baris dan suatu himpunan kolom. Jika produk KartesiusCartesius ''baris × kolom'' diambil, sel-sel tabel berisi pasangan terurut dalam bentuk (nilai baris, nilai kolom).

Dengan cara yang sama, produk CartesianCartesius dari n himpun, juga dikenal sebagai '''produk KartesiusCartesius ''n''-lipat''', yang dapat diwakili oleh himpunan ''n''-dimensi, di mana setiap elemen adalah ''n''-tuple. Pasangan yang dipesan adalah 2-tupel atau pasangan. Lebih umum lagi, kita dapat mendefinisikan produk KartesiusCartesius dari kumpulan set yang diindeks.

Produk KartesiusCartesius dinamai dari [[René Descartes]],<ref>{{cite web|title=Cartesian|date=2009|website=Merriam-Webster.com|accessdate=December 1, 2009|url=http://www.merriam-webster.com/dictionary/cartesian}}</ref> yang formulasi [[geometri analitik]]nya memunculkan konsep, yang selanjutnya digeneralisasikan dalam hal [[produk langsung]].

[[Berkas:Cartesian-coordinate-system.svg|thumb|Koordinat kartesiuscartesius dari titik contoh]]

Contoh sejarah utama adalah [[bidang Kartesiuscartesius]] dalam [[geometri analitik]]. Untuk merepresentasikan bentuk geometris dengan cara numerik, dan mengekstrak informasi numerik dari representasi numerik bentuk, [[René Descartes]] menetapkan pasangan [[bilangan real]] pada setiap titik di bidang, yang disebut [[koordinat]]. Biasanya, komponen pasangan pertama dan kedua masing-masing disebut koordinat ''x'' dan ''y'' (lihat gambar). Himpunan dari semua pasangan seperti itu (yaitu, hasil kali KartesiusCartesius {{nowrap|ℝ×ℝ}}, dengan ℝ menunjukkan bilangan riil) dengan demikian ditetapkan ke himpunan semua titik di bidang.{{cn|date=December 2019|reason=Berikan referensi sejarah untuk karya asli Descartes; memberikan referensi untuk asal nama 'Cartesian' (siapa yang menggunakannya lebih dulu?).}}

Definisi formal produk Cartesian dari prinsip [[teori himpunan]] mengikuti dari definisi [[pasangan terurut]]. Definisi paling umum dari pasangan terurut, [[Definisi pasangan berurutan#Kuratowski|Definisi Kuratowski]] adalah <math>(x, y) = \{\{x\},\{x, y\}\}</math>. Di bawah ini pada terdapat definisi <math>(x, y)</math> adalah elemen dari <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y))</math>, dan <math>X\times Y</math> adalah bagian dari himpunan itu, di mana <math>\mathcal{P}</math> mewakili operator [[set daya]]. Oleh karena itu, keberadaan perkalian KartesiusCartesius dari dua himpunan manapun di [[ZFC]] mengikuti aksioma [[aksioma pemasangan|pemasangan]], [[aksioma serikat | serikat]], [[aksioma himpunan daya|himpunan daya]], dan [[skema aksioma spesifikasi|spesifikasi]]. Karena [[fungsi (matematika)|fungsi]] biasanya didefinisikan sebagai kasus khusus dari [[hubungan (matematika)|hubungan]], dan hubungan biasanya didefinisikan sebagai himpunan bagian dari produk KartesiusCartesius, definisi dari perkalian dua himpunan Cartesian harus sebelum sebagian besar definisi lainnya.

Produk KartesiusCartesius {{nowrap|''A''×''B''}} bukan termasuk [[komutatif]],

Dalam kebanyakan kasus, pernyataan di atas tidak benar jika kita mengganti interseksi dengan [[Gabungan (teori himpunan) |gabungan]] (lihat gambar paling kanan).

* [[Total order#Pesanan pada produk KartesiusCartesius dari himpunan order seluruhnya|Pesanan pada produk KartesiusCartesius dari himpunan yang dipesan seluruhnya]]

* [[Aksioma himpunan daya#Konsekuensi Aksioma himpunan daya]] (untuk membuktikan keberadaan produk KartesiusCartesius)