Wikipedia

Faktor persekutuan terbesar: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.176 suntingan
Kebanyakan contoh soal, gak terlalu penting banget
k Mengembalikan suntingan oleh Bebasnama (bicara) ke revisi terakhir oleh Hadithfajri
Tag: Pengembalian Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan
 
(21 revisi perantara oleh 9 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
[[Berkas:24x60.svg|jmpl|Lantai berukuran 24 kali 60, dapat dipotong menjadi persegi berukuran 12 kali 12. Secara umum, persegi panjang dengan ukuran a kali b dapat dibagi menjadi persegi-persegi dengan panjang sisi c jika c adalah faktor persekutuan dari a dan b.]]
{{Under construction}}
Dalam [[matematika]], '''faktor persekutuan terbesar''' (FPB) dari dua [[bilangan bulat]] adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama [[Pembagi|membagi habis]] kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12.
Dalam [[matematika]], khususnya [[teori bilangan]], [[faktor persekutuan terbesar]] atau dikenal juga sebagai persekutuan bilangan terbesar (dilambangkan <math>\operatorname{FPB}</math><ref name=":4">{{Cite web|last=Itsnaini|first=Faqihah Muharroroh|title=Apa Perbedaan KPK dan FPB? Ini Penjelasannya|url=https://www.detik.com/edu/detikpedia/d-5379049/apa-perbedaan-kpk-dan-fpb-ini-penjelasannya|website=detikedu|language=id-ID|access-date=2021-11-14}}</ref> atau <math>\operatorname{PBT}</math><ref>Suci Yuniati, [https://jurnalbeta.ac.id/index.php/betaJTM/article/download/74/81/295 MENENTUKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK) DAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB) DENGAN MENGGUNAKAN METODE “PEBI”], hlm. 158</ref> dalam bahasa Indonesia, dan <math>\gcd</math> dalam bahasa Inggris, [[Daftar singkatan matematis|abreviasi]] dari kata ''greatest common divisor''<ref>{{Cite web|title=Definition of greatest common divisor {{!}} Dictionary.com|url=https://www.dictionary.com/browse/greatest-common-divisor|website=www.dictionary.com|language=en|access-date=2021-11-14}}</ref>) terhadap dua bilangan adalah [[bilangan bulat]] terbesar yang membagi setiap bilangan bulat. Sebagai contoh, diberikan bilangan bulat <math>12</math> dan <math>20</math>. Maka, <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 4</math>. Mengenai cara-cara dan metode akan dijelaskan di bawah.
 
Dua bilangan atau lebih disebut [[Koprima (bilangan)|saling prima]] jika FPB bilangan-bilangan tersebut sama dengan 1. Sebagai contoh, karena FPB bilangan 9 dan 28 sama dengan 1, maka bilangan 9 dan 28 adalah saling prima (walaupun masing-masingnya bukan [[bilangan prima]])
Gagasan faktor persekutuan terbesar dapat diperluas melalui polinomial, lihat [[faktor persekutuan terbesar polinomial]] atau [[persekutuan bilangan terbesar polinomial]] untuk melihat lebih lanjut.
 
Faktor persekutuan terbesar (FPB) dan sekawannya, [[kelipatan persekutuan terkecil]] (KPK), menjadi pembahasan yang penting dalam [[aritmatika]] dan [[teori bilangan]].
Dua buah bilangan dikatakan saling prima [[Jika dan hanya jika|jika dan hanya]] jika FPB dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.
 
== NotasiDefinisi ==
Suatu bilangan <math>c</math> disebut faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> jika <math>c</math> habis membagi bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> sekaligus.
Untuk <math>a</math> dan <math>b</math> bilangan bulat sembarang, notasi faktor persekutuan terbesar dinotasikan sebagai <math>\operatorname{FPB}(a,b)</math> atau <math>\operatorname{PBT}(a,b)</math>. Dalam versi bahasa Inggris, dinotasikan sebagai <math>\gcd(a,b)</math> atau <math>\operatorname{GCD}(a,b)</math>. Ada beberapa penulisan notasi faktor persekutuan terbesar, yaitu <math>\operatorname{g.c.d}(a,b)</math> atau <math>(a,b)</math>.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Greatest Common Divisor|url=https://mathworld.wolfram.com/GreatestCommonDivisor.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-11-20}}</ref>
 
Suatu bilangan <math>d</math> disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika:<ref name=":02">{{Cite book|last=Sukirman|first=|date=2016|url=|title=Teori Bilangan|location=Tangerang Selatan|publisher=Universitas Terbuka|isbn=978-602-392-047-1|language=|url-status=live}}</ref>
== Contoh ==▼
Terdapat cara sederhana mengenai pencarian suatu faktor persekutuan terbesar terhadap dua bilangan. Sebagai contoh, kita ambil contoh bilangan bulat di atas sebelumnya, yakni <math>12</math> dan <math>20</math>. Untuk mengetahui mengapa <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 4</math>, kita perhatikan faktor-faktor dari kedua bilangan di bawah ini.
 
* Faktor dari <math>12d</math> adalahfaktor persekutuan bilangan <math>1,a</math> 2,dan 3, {\color{red}{4}}, 6, 12<math>b</math>; dan
* Faktor darijika <math>20c</math> adalahfaktor persekutuan bilangan <math>1,a</math> 2,dan {\color{red}{4}},<math>b</math> 5,maka 10,berlaku <math>c\leq 20d</math>
 
bilangan <math>d</math> ditulis sebagai <math>FPB(a,b)</math><ref>{{Cite book|date=2023|title=Kawan Tanding Olimpiade Matematika - A|location=Bandung|publisher=Tim KTO Matematika|url-status=live}}</ref> atau <math>(a,b)</math><ref name=":02" />.
Karena faktor persekutuan terbesar dua bilangan adalah [[bilangan bulat]] terbesar yang membagi setiap bilangan bulat, maka kita simpulkan <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 4</math>. Terdapat cara lain untuk mengerjakan ini.
 
=== Pohon faktorPeristilahan ===
Secara bahasa, kata "persekutuan" berarti hal bersama-sama dan kata "faktor" berarti 'pembagi'. Maka dari itu, sebagian penulis menggunakan istilah lain untuk FPB, seperti '''pembagi persekutuan terbesar,'''<ref>{{Cite book|last=Achmad Arifin|date=2000|title=Aljabar|location=Bandung|publisher=Penerbit ITB|isbn=979-9299-13-6|url-status=live}}</ref> atau '''pembagi bersama terbesar''',<ref>{{Cite book|last=Wono Setya Budhi|date=2006|title=Langkah Awal Menuju Olimpiade Matematika|location=Jakarta|publisher=Ricardo|isbn=979-98175-0-1|url-status=live}}</ref> dilambangkan dengan <math>\text{PBT}(a,b)</math>. Dalam penulisan matematika kadang dipakai juga notasi <math>\text{gcd}(a,b)</math>, berasal dari bahasa Inggris '''greatest common divisor'''.<ref>{{Cite book|last=Eka Susilowati|date=2017|title=Teori Bilangan|location=Yogyakarta|publisher=Matematika|url-status=live}}</ref>
Sebagai contoh, tinjau kedua bilangan di atas. Kita buatkan pohon faktor dari masing-masing bilangan:
12 20
/\ /\
3 4 2 10
/\ /\
2 2 2 5
 
▲== Contoh ==
Kita memperoleh <math>12 = {\color{red}{2^2}} \times 3</math> dan <math>20 = {\color{red}{2^2}} \times 5</math>, maka, <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 2^2</math>, di mana hasilnya adalah <math>4</math>.▼
 
* Faktor dari <math>12</math> adalah <math>1, 2, 3, {\color{red}{4}}, 6, 12</math>
== Algoritme Euklidean ==
* Faktor dari <math>20</math> adalah <math>1, 2, {\color{red}{4}}, 5, 10, 20</math>
Cara lain untuk mencari '''FPB''' adalah dengan menggunakan [[algoritme Euklidean]]. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka algoritme Euklidean adalah sebagai berikut:
 
Faktor persekutuan 12 dan 20 adalah 1, 2, 4. Karena 4 adalah bilangan terbesar di antara faktor persekutuan itu, maka disimpulkan <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 4</math>.
:* a<sub>1</sub> = maximum(a,b)-minimum(a,b)▼
::b<sub>1</sub> = minimum(a,b)▼
 
== Perhitungan FPB ==
:* a<sub>2</sub> = maximum(a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>)-minimum(a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>)
::b<sub>2</sub> = minimum(a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>)
 
=== Faktorisasi prima ===
:::'''.'''
FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mencari [[faktorisasi prima]] bilangan-bilangan itu kemudian mengalikan faktor-faktor primanya yang sama dengan pangkat terkecil. Sebagai contoh, akan ditentukan FPB dari 24 dan 60. Dengan pohon faktor
:::'''.'''
:::'''.'''
 
[[Berkas:Factor_Tree_60.svg|nirbing|190x190px]][[Berkas:Factor_Tree_24.svg|nirbing|190x190px]]
:* a<sub>i</sub> = maximum(a<sub>i-1</sub>,b<sub>i-1</sub>)-minimum(a<sub>i-1</sub>,b<sub>i-1</sub>)
::b<sub>i</sub> = minimum(a<sub>i-1</sub>,b<sub>i-1</sub>)
 
▲Kita memperolehdiperoleh <math>1260 = {\color{red}{2}}^2 \times {\color{red}{3}} \times 35</math> dan <math>2024 = {\color{red}{2^2}}^3 \times 5{\color{red}{3}}</math>,. Dengan mengambil faktor prima yang sama dengan pangkat maka, <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 2^2</math>, di\times mana3 hasilnya= adalah <math>412</math>.
Algoritme tersebut berhenti hingga diperoleh a<sub>i</sub> = b<sub>i</sub>.
 
=== Algoritma Euklides ===
FPB dari a dan b adalah a<sub>i</sub> = b<sub>i</sub>.
{{Main|Algoritme Euklides|l1=Algoritma Euklides}}
Euclid menemukan sebuah algoritma untuk mencari FPB. Misalkan <math>a</math> dan '''<math>b</math>''' adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka FPB dua bilangan itu dapat dicari dengan algorirma sebagai berikut:<pre>
1. masukkan nilai a dan b;
2. misalkan u:=a dan v:=b;
3. selama u ≠ v, ulangi
▲:* a<sub>1</sub> u = maximum (au,bv) - minimum (au,bv)
▲::b<sub>1</sub> v = minimum (au,bv);
4. FPB(a,b)=u;
</pre>
 
== Sifat ==
Algoritme ini dapat lebih jauh disederhanakan lagi dengan pembagian Euklidean, yang dideskripsikan sebagai berikut:
Untuk sebarang bilangan bulat <math>a,b,c</math>, dengan <math>|a|</math> adalah [[Nilai absolut|nilai multak]] dari <math>a</math>, berlaku:
 
* [[Sifat komutatif]], yaitu <math>\gcdoperatorname{FPB}(a, 0b) = 0\operatorname{FPB}(b,a)</math>.
* [[Sifat asosiatif]], yaitu <math>\operatorname{FPB}(a,b,c)=\operatorname{FPB}(a,\operatorname{FPB}(b,c))=\operatorname{FPB}(\operatorname{FPB}(a,b),c)</math>.
* [[Sifat distributif]], yaitu <math>\operatorname{FPB}(ac,bc) = c \cdot \operatorname{FPB}(a,b)</math>
* Jika <math>c</math> faktor persekutuan <math>a</math> dan <math>b</math>, maka <math>c \mid \operatorname{FPB}(a,b)</math>, dan <math>\operatorname{FPB}\left(\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right)=\frac{\operatorname{FPB}(a,b)}{c}</math>, sehingga jika <math>d=\operatorname{FPB}(a,b)</math> maka <math>\operatorname{FPB}\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=1</math>
* <math>\operatorname{FPB}(\pm a,\pm b)=\operatorname{FPB}(b,a)</math>
* <math>\operatorname{FPB}(a,b)=\operatorname{FPB}(a,b-a)=\operatorname{FPB}(a,b+a)=\operatorname{FPB}(a,b-ca)</math>
* <math>\operatorname{FPB}(a,0) = |a|</math>
* <math>\operatorname{FPB}(a,1) = 1</math>
* Untuk sebarang bilangan bulat positif <math>a,b</math>, <math>\operatorname{FPB}(a,b) = b</math> jika dan hanya jika '''<math>b</math>''' habis membagi <math>a</math>.
 
== Koprima ==
<math>\gcd(a, b) = \gcd(b, a \,\mathrm{mod}\, b)</math>
{{Main|Koprima (bilangan)}}
Dua buah bilangan dikatakan [[Koprima (bilangan)|koprima]], atau [[relatif prima]], atau [[saling prima]] [[jika dan hanya jika]] faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Greatest Common Divisor|url=https://mathworld.wolfram.com/GreatestCommonDivisor.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20230406035526/https://mathworld.wolfram.com/GreatestCommonDivisor.html|archive-date=2023-04-06|dead-url=no|access-date=2021-11-20}}</ref>
== Penerapan ==
=== Menyederhanakan pecahan ===
Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan<ref>{{Cite web|title=Greatest Common Factor|url=https://www.mathsisfun.com/greatest-common-factor.html|website=www.mathsisfun.com|archive-url=https://web.archive.org/web/20051029072949/https://www.mathsisfun.com/greatest-common-factor.html|archive-date=2005-10-29|dead-url=no|access-date=2021-11-21}}</ref>. Sebagai contoh, pecahan <math>\frac{4}{8}</math> dapat disederhanakan dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari <math>4</math> dan <math>8</math> adalah <math>\operatorname{FPB}(4,8) = 2</math>. Kita tuliskan sebagai
 
dengan: <math>a \,frac{4}{8} = \mathrmfrac{mod2 \times 2}{2 \,times b4} = \frac{1}{2}</math> adalah [[operasi modulus]].
 
=== Kelipatan persekutuan terkecil ===
Pencarian algoritme Euklid dengan pembagian memerlukan sekitar <math>O(\log(\min(a, b)))</math> pembagian.
{{Main|Kelipatan persekutuan terkecil}}
Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.<blockquote><math>\operatorname{KPK}(a,b) = \frac{ab}{\operatorname{FPB}(a,b)}</math>.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Least Common Multiple|url=https://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20230516001830/https://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html|archive-date=2023-05-16|dead-url=no|access-date=2021-11-21}}</ref></blockquote>
 
== Lihat pula ==
* [[Kelipatan persekutuan terkecil]] (KPK)
 
== Rujukan ==
<references responsive="1"></references>
{{Authority control}}
 
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Faktor_persekutuan_terbesar"