Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 12: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) |
||
| (60 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Trigonometri}}
[[Daftar identitas trigonometri|Identitas trigonometri]] merupakan suatu [[Identitas (matematika)|identitas]] yang mencakup berbagai rumus-rumus [[trigonometri]] untuk mengkomputasi bentuk-bentuk yang elusif menjadi lebih mudah. Untuk memverifikasi suatu identitas trigonometri, dibutuhkanlah suatu bukti-bukti identitas trigonometri. Berikut adalah kumpulan bukti-bukti identitas trigonometri.
== Fungsi trigonometri elementer ==
=== Definisi fungsi trigonometri ===
[[Berkas:Trigonometric Triangle.svg|jmpl|373x373px|[[Segitiga siku-siku]] <math>ABC</math>, dengan <math>\angle A = \theta</math>, <math>AB = h</math> adalah [[hipotenusa]], <math>BC = a</math> adalah sisi depan dan <math>AC = b</math> adalah sisi samping]]
Untuk memulai pemahaman identitas, perlu terlebih dahulu memahami definisi dari keenam [[fungsi trigonometri]]. Perhatikan bahwa trigonometri mengaitkan [[Sudut (geometri)|sudut-sudut]] dan [[Sisi|sisi-sisi]] [[segitiga siku-siku]]. Suatu fungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut.
<!--Penggunaan pranala di judul bagian [[wikipedia:Pedoman gaya#Markah|sebaiknya dihindari]]. Pranala dapat ditambahkan pada kemunculan pertama kata tersebut, atau dengan menambahkan [[Templat:Main]] (atau sejenisnya) di bawah judul bagian. Melihat panjang dari setiap paragraf fungsi trigonometri elementer yang singkat, dan isinya hanya memperkenalkan fungsi-fungsi, ada baiknya bagian "Sinus dan kosinus" sampai "Kosekan, sekan, dan kotangen" dilebur menjadi satu, misalnya dalam bentuk tabel.-->
====
{{Main|Sinus (trigonometri)|Kosinus}}
Secara geometri, sinus pada sudut <math>\theta</math> sama dengan rasio sisi depan dengan [[hipotenusa]], sementara kosinus pada sudut <math>\theta</math> sama dengan rasio sisi samping dengan hipotenusa. Misal <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>h</math> adalah sisi depan, sisi miring, dan hipotenusa.
{{div col|colwidth=22em}}
:{{NumBlk|::|<math>\sin \theta = \frac{a}{h} </math>|{{EquationRef|1.1}}}}
:{{NumBlk|::|<math>\cos \theta = \frac{b}{h} </math>|{{EquationRef|1.2}}}}
{{div col end}}
====
Secara geometri, [[tangen]] pada <math>\theta</math> sama dengan rasio sisi depan dengan sisi samping. Ini dirumuskan secara matematis, yaitu:
:{{NumBlk|::|<math>\
Fungsi tangen juga merupakan rasio fungsi trigonometri sinus dan kosinus. Untuk membuktikannya, cukup menggunakan rumus di atas dan mengeksploitasinya dengan memakai sifat-sifat pembatalan aljabar.
:{{NumBlk|::|<math>\tan \theta = \frac{a}{b} = \frac{\frac{a}{h}}{\frac{b}{h}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}</math>|{{EquationRef|1.4}}}}
==== Kosekan, sekan, dan kotangen ====
Fungsi [[kosekan]], [[sekan]], dan [[kotangen]] merupakan invers perkalian dari [[sinus (trigonometri)|sinus]], [[kosinus]], dan [[tangen]]. Ketiganya dirumuskan sebagai
{{div col|colwidth=19em}}
:{{NumBlk|::|<math> \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{1}{\frac{a}{h}} = \frac{h}{a} </math>|{{EquationRef|1.5}}}}
:{{NumBlk|::|<math> \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{1}{\frac{b}{h}} = \frac{h}{b} </math>|{{EquationRef|1.6}}}}
:{{NumBlk|::|<math> \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} </math>|{{EquationRef|1.7}}}}
{{div col end}}
=== Identitas Pythagoras ===
[[Identitas Pythagoras]] merupakan turunan dari [[teorema Pythagoras]], yang melibatkan [[fungsi trigonometri]]. Dasar-dasar identitas Pythagoras ada tiga, yaitu:
{{NumBlk|::|<math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1</math>|{{EquationRef|1.8}}}}
{{NumBlk|::|<math>\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta</math>|{{EquationRef|1.9}}}}
{{NumBlk|::|<math>\cot^2 \theta + 1 = \csc^2 \theta</math>|{{EquationRef|1.10}}}}
Bukti dapat dipakai menggunakan [[segitiga siku-siku]]. Pada persamaan (1.8), dengan menggunakan definisi fungsi trigonometri di atas. Hal yang serupa pada persamaan (1.9) dan (1.10).
:<math>\left.\begin{matrix}\begin{align}\sin^2 \theta + \cos^2 \theta &= \left(\frac{b}{h}\right)^2 + \left(\frac{a}{h}\right)^2 \\
&= \frac{a^2 + b^2}{h^2} \\
& = \frac{h^2}{h^2} \\
&= 1
\end{align}
\\
\end{matrix}\right|\left.
\begin{matrix}
\begin{align}\tan^2 \theta + 1 &= \left(\frac{a}{b}\right)^2 + 1 \\
&= \frac{a^2 + b^2}{b^2} \\
&= \frac{h^2}{b^2} = \left(\frac{h}{b}\right)^2 \\
&= \sec^2 \theta
\end{align}
\end{matrix}\right|
\begin{align}
\cot^2 \theta + 1 &= \left(\frac{b}{a}\right)^2 + 1 \\
&= \frac{b^2 + a^2}{a^2} \\
&= \frac{h^2}{a^2} = \left(\frac{h}{a}\right)^2 \\
&= \csc^2 \theta \qquad \blacksquare
\end{align}</math>
Pada pembuktian (1.9), <math>a^2 + b^2 = h^2</math>, yang diperoleh melalui [[teorema Pythagoras]]. Pembuktian (1.10) dan (1.11) dapat dilakukan dengan hal yang serupa. Terdapat versi lain untuk membuktikan (1.10) dan (1.11). Dengan menggunakan (1.3) dan (1.7), yakni rasio fungsi trigonometri tersebut, maka ekspresi yang diperoleh adalah
:<math>\left.\begin{matrix}
\begin{align}\tan^2 \theta + 1 &= \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} \\
&= \frac{1}{\cos^2 \theta} \\
&= \sec^2 \theta
\end{align}
\end{matrix}\right|
\begin{align}
\cot^2 \theta + 1 &= \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} \\
&= \frac{1}{\sin^2 A\theta} \\
&= \csc^2 \theta \qquad \blacksquare
\end{align}</math>
Versi lainnya adalah menggunakan teorema Pythagoras, masing-masing <math>h^2</math>, <math>b^2</math>, dan <math>a^2</math> membagi persamaan tersebut.
:<math>\left.\begin{matrix}
\begin{align}
a^2 + b^2 &= h^2 \\
\left(\frac{a}{h}\right)^2 + \left(\frac{b}{h}\right)^2 &= \left(\frac{h}{h}\right)^2 \\
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta &= 1
\end{align}
\\
\end{matrix}\right|
\left.
\begin{matrix}
\begin{align}
a^2 + b^2 &= h^2 \\
\left(\frac{a}{b}\right)^2 + \left(\frac{b}{b}\right)^2 &= \left(\frac{h}{b}\right)^2 \\
\tan^2 \theta + 1 &= \sec^2 \theta
\end{align}
\end{matrix}\right|
\begin{align}
a^2 + b^2 &= h^2 \\
\left(\frac{a}{a}\right)^2 + \left(\frac{b}{a}\right)^2 &= \left(\frac{h}{a}\right)^2 \\
1 + \cot^2 \theta &= \csc^2 \theta \qquad \blacksquare
\end{align}</math>
Bukti-bukti mengenai identitas Pythagoras masih jauh lebih banyak. Buktinya dapat dikerjakan melalui satuan lingkaran, deret pangkat, persamaan diferensial, dan rumus Euler. Lihat [[Identitas Pythagoras#Bukti]] untuk melihat lebih lanjut.
== Jumlah dan selisih sudut ==
[[Berkas:TrigSumFormula.svg|jmpl|Ilustrasi rumus jumlah sudut melalui geometri.]]Jumlah dan selisih suatu sudut dirumuskan sebagai<ref>{{Cite web|date=2015-10-31|title=7.2: Sum and Difference Identities|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Precalculus/Precalculus_(OpenStax)/07%3A_Trigonometric_Identities_and_Equations/7.02%3A_Sum_and_Difference_Identities|website=Mathematics LibreTexts|language=en|access-date=2021-12-02}}</ref>
:{{NumBlk|::|<math> \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta </math>|{{EquationRef|2.1}}}}
:{{NumBlk|::|<math> \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta </math>|{{EquationRef|2.2}}}}
:{{NumBlk|::|<math> \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} </math>|{{EquationRef|2.3}}}}
:{{NumBlk|::|<math> \cot(\alpha \pm \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta \pm 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha} </math>|{{EquationRef|2.4}}}}
Pada rumus-rumus di atas, dapat dibuktikannya secara aljabar dengan cara mengeksploitasikan suatu [[Daftar identitas trigonometri#Refleksi sudut|identitas-identitas sudut komplementer]] tersebut. Secara geometri, diberikan <math>OQA</math> adalah [[segitiga siku-siku]], <math>OQ \bot PQ</math> sehingga <math>OPQ</math> juga merupakan segitiga siku-siku. Gambar garis vertikal dari titik <math>P</math> ke titik <math>B</math>, yang terletak di pertengahan garis <math>OA</math>. Misalkan <math>R</math> adalah titik di garis pertengahan <math>PB</math> (tetapi tidak terletak di pertengahan garis <math>OQ</math> sehingga <math>R</math> bukanlah titik perpotongan pada kedua garis <math>OQ</math> dan <math>PB</math>) sehingga <math>PQR</math> adalah segitiga dengan <math>\angle PRQ</math> adalah siku-siku. Setelah menggambarnya, diperoleh <math>\angle QOA = \angle QPR = \alpha</math>, <math>QR = AB</math>, dan <math>BR = AQ</math>.
=== Sinus ===
Secara aljabar, dapat dibuktikan menggunakan sifat <math display="inline">\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan <math display="inline">\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math>, serta menggunakan (2.2).
:<math>\begin{aligned}
\sin(\alpha + \beta) &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - (\alpha+\beta)\right) \\
&= \cos \left( \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \beta\right) \\
&= \cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \cos \beta + \sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\sin \beta \\
&= \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha
\end{aligned}</math>
Hal yang serupa untuk membuktikan <math>\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta- \sin \beta \cos \alpha</math>. Secara geometri, untuk membuktikannya, kita perluas <math>\sin(\alpha + \beta)</math>. Diperoleh <math>PB = PR + RB</math>. Cari <math>\sin \alpha</math> di segitiga <math>OQA</math>, <math>\sin \beta</math> dan <math>\cos \alpha</math> di segitiga <math>OPQ</math>, dan <math>\cos \beta</math> di segitiga <math>PQR</math>, lalu substitusi ke <math>\sin(\alpha + \beta)</math> yang telah diperluas.
:<math>\left.
\begin{align}
\sin(\alpha + \beta) &= \frac{PB}{OP} \\
&= \frac{RB + PR}{OP} \\
&= \frac{AQ}{OP} + \frac{PR}{OP} \\
&= \frac{AQ}{OP} \cdot \frac{OQ}{OQ} + \frac{PR}{OP} \cdot \frac{PQ}{PQ} \\
&= \frac{AQ}{OQ} \cdot \frac{OQ}{OP} + \frac{PR}{PQ} \cdot \frac{PQ}{OP} \\
&= \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha \quad \blacksquare
\end{align}
\quad
\right|
\left.
\quad
\begin{align}
\sin \alpha &= \frac{AQ}{OQ} \\
\sin \beta &= \frac{PQ}{OP} \\
\cos \alpha &= \frac{PR}{OQ} \\
\cos \beta &= \frac{OQ}{OP}
\end{align}
\quad
\right.</math>
=== Kosinus ===
Secara aljabar, lagi-lagi, gunakan sifat identitas komplementer, yakni <math display="inline">\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan <math display="inline">\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan juga (2.1).
:<math>\begin{aligned}
\cos(\alpha + \beta) &= \sin\left(\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \beta \right) \\
&= \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \cos \beta - \sin \alpha \cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \\
&= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
\end{aligned}</math>
Hal yang serupa untuk membuktikan <math>\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta</math>.
=== Tangen ===
<!-- Sebaiknya setiap judul bagian dalam suatu artikel bersifat [[Wikipedia:Pedoman_gaya#Markah|unik]]. Hal ini akan mempermudah jika ada penyunting lain ingin memberikan pranala ke judul bagian tertentu.-->
Secara aljabar, tidak dapat menggunakan identitas sudut komplementer, melainkan menggunakan (1.4) beserta (2.1) dan (2.2), lalu membagi pembilang dan penyebut pada pecahan tersebut dengan <math>\cos \alpha \cos \beta</math>.
:<math>\begin{align}
\tan(\alpha + \beta) &= \frac{\sin(\alpha +\beta)}{\cos(\alpha + \beta)} \\
&= \frac{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta} \\
&= \frac{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta} \cdot \frac{\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}} \qquad \text{ bagi penyebut dan pembilang dengan } \cos \alpha \cos \beta \\
&= \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}
\end{align}</math>
Hal yang serupa untuk membuktikan <math>\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}</math>.
=== Kotangen ===
Secara aljabar, dapat dilakukan dengan cara yang serupa, cukup membagi pembilang dan penyebut pada pecahan tersebut dengan <math>\sin \alpha \sin \beta</math>.
:<math>\begin{align}
\cot(\alpha + \beta) &= \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta)} \\
&= \frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha} \\
&= \frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha} \cdot \frac{\frac{1}{\sin \alpha \sin \beta}}{\frac{1}{\sin \alpha \sin \beta}} \qquad \text{ bagi penyebut dan pembilang dengan } \sin \alpha \sin \beta \\
&= \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \beta + \cot \alpha}
\end{align}</math>
Hal yang serupa untuk membuktikan <math>\cot(\alpha - \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta + 1}{\cot \beta - \cot \alpha}</math>.
Secara geometri,<ref>{{Cite web|title=Proof of cot(A+B) {{!}} cot(x+y) formula in Geometric Method|url=https://www.mathdoubts.com/cot-angle-sum-identity-proof/|website=www.mathdoubts.com|language=en|access-date=2021-12-11}}</ref> diperoleh bahwa <math>OB = OA - AB</math> dan <math>PB = PR + RB = PR + AQ</math>. Pada segitiga siku-siku <math>OQP</math> dan <math>OAQ</math>, diperoleh <math display="inline">\cot \alpha = \frac{OA}{AQ}</math> dan <math display="inline">\cot \alpha = \frac{PR}{QR}</math> jika dan hanya jika <math>OA = AQ \cot \alpha</math>, dan <math>PR = QR \cot \alpha</math>.
:<math>\cot (\alpha + \beta) = \frac{OQ}{QB} = \frac{OA - AB}{PR + AQ} = \frac{AQ \cot \alpha - AB}{QR \cot \alpha + RB} = \frac{QR \left(\frac{AQ}{QR} \cot \alpha - \frac{AB}{QR} \right)}{QR \left(\cot \alpha + \frac{AQ}{QR}\right)} = \frac{\frac{AQ}{QR} \cot \alpha - 1}{\cot \alpha + \frac{AQ}{QR}}</math>
Selanjutnya, <math display="inline">\sin \alpha = \frac{AQ}{OQ}</math> dan <math display="inline">\sin \alpha = \frac{QR}{PR}</math>, maka <math display="inline">\frac{AQ}{OQ} = \frac{QR}{PQ}</math> jika dan hanya jika <math display="inline">\frac{AQ}{QR} = \frac{OQ}{PQ}</math>. Karena <math display="inline">\cot \beta = \frac{OQ}{PQ}</math>, maka
:<math>\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta}</math>. <math>\blacksquare</math>
== Sudut rangkap ==
Sudut rangkap merupakan sudut yang dimana suatu variabel yang sama ditambahkan oleh variabel tersendiri. Berikut adalah rumus sudut <math>n</math>-rangkap beserta buktinya.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Multiple-Angle Formulas|url=https://mathworld.wolfram.com/Multiple-AngleFormulas.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-11-29}}</ref>
{{NumBlk|::|<math>\sin(nx) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos^k x \sin^{n-k} x \sin \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math>|{{EquationRef|3.1}}}}
{{NumBlk|::|<math>\cos(nx) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cos \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math>|{{EquationRef|3.2}}}}
Gunakan [[Daftar identitas trigonometri#Definisi eksponensiasi|definisi eksponensiasi]] dan [[teorema binomial]]. Maka, dengan mengeksploitasikan aljabar akan kita peroleh rumus di atas.
:<math>\left.\begin{align}
\sin(nx) &= \frac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i} \\
&= \frac{(e^{ix})^n - (e^{-ix})^n}{2i} \\
&= \frac{(\cos(x) + i \sin (x))^n - (\cos (x) - i \sin (x))^n}{2i} \\
&= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{\cos^k x (i \sin x)^{n-k} - (\cos^k x (-i \sin x)^{n-k})}{2i} \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cdot \frac{i^{n-k} - (-i)^{n-k}}{2i} \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \sin \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right) \qquad \blacksquare
\end{align}
\quad
\right|
\quad
\begin{align}
\cos(nx) &= \frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2i} \\
&= \frac{(e^{ix})^n + (e^{-ix})^n}{2i} \\
&= \frac{(\cos(x) + i \sin (x))^n + (\cos (x) - i \sin (x))^n}{2i} \\
&= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{\cos^k x (i \sin x)^{n-k} + (\cos^k x (-i \sin x)^{n-k})}{2i} \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cdot \frac{i^{n-k} + (-i)^{n-k}}{2i} \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cos \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right) \qquad \blacksquare
\end{align}</math>
== Rujukan ==
| |||