Wikipedia

Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 12: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.365 suntingan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.365 suntingan
 
(28 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 2:
 
[[Daftar identitas trigonometri|Identitas trigonometri]] merupakan suatu [[Identitas (matematika)|identitas]] yang mencakup berbagai rumus-rumus [[trigonometri]] untuk mengkomputasi bentuk-bentuk yang elusif menjadi lebih mudah. Untuk memverifikasi suatu identitas trigonometri, dibutuhkanlah suatu bukti-bukti identitas trigonometri. Berikut adalah kumpulan bukti-bukti identitas trigonometri.
 
== Fungsi trigonometri elementer ==
 
=== Definisi fungsi trigonometri ===
[[Berkas:Trigonometric Triangle.svg|jmpl|373x373px|[[Segitiga siku-siku]] <math>ABC</math>, dengan <math>\angle A = \theta</math>, <math>AB = h</math> adalah [[hipotenusa]], <math>BC = a</math> adalah sisi depan dan <math>AC = b</math> adalah sisi samping]]
Untuk memulai pemahaman identitas, kita perlu terlebih dahulu memahami definisi dari keenam [[fungsi trigonometri]]. Perhatikan bahwa trigonometri mengaitkan [[Sudut (geometri)|sudut-sudut]] dan [[Sisi|sisi-sisi]] [[segitiga siku-siku]]. Suatu fungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut.
 
<!--Penggunaan pranala di judul bagian [[wikipedia:Pedoman gaya#Markah|sebaiknya dihindari]]. Pranala dapat ditambahkan pada kemunculan pertama kata tersebut, atau dengan menambahkan [[Templat:Main]] (atau sejenisnya) di bawah judul bagian. Melihat panjang dari setiap paragraf fungsi trigonometri elementer yang singkat, dan isinya hanya memperkenalkan fungsi-fungsi, ada baiknya bagian "Sinus dan kosinus" sampai "Kosekan, sekan, dan kotangen" dilebur menjadi satu, misalnya dalam bentuk tabel.-->
==== [[Sinus (trigonometri)|Sinus]] dan [[kosinus]] ====
 
==== Sinus dan kosinus ====
{{Main|Sinus (trigonometri)|Kosinus}}
Secara geometri, sinus pada sudut <math>\theta</math> sama dengan rasio sisi depan dengan [[hipotenusa]], sementara kosinus pada sudut <math>\theta</math> sama dengan rasio sisi samping dengan hipotenusa. Misal <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>h</math> adalah sisi depan, sisi miring, dan hipotenusa.
 
Baris 17 ⟶ 19:
{{div col end}}
 
==== [[Tangen]] ====
Secara geometri, [[tangen]] pada <math>\theta</math> sama dengan rasio sisi depan dengan sisi samping. KitaIni rumuskandirumuskan secara matematis, yaitu:
 
:{{NumBlk|::|<math>\tan \theta = \frac{a}{b}</math>|{{EquationRef|1.3}}}}
Baris 26 ⟶ 28:
:{{NumBlk|::|<math>\tan \theta = \frac{a}{b} = \frac{\frac{a}{h}}{\frac{b}{h}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}</math>|{{EquationRef|1.4}}}}
 
==== [[Kosekan]], [[sekan]], dan [[kotangen]] ====
Fungsi [[kosekan]], [[sekan]], dan [[kotangen]] merupakan invers perkalian dari [[sinus (trigonometri)|sinus]], [[kosinus]], dan [[tangen]]. Ketiganya dirumuskan sebagai
{{div col|colwidth=19em}}
Baris 62 ⟶ 64:
\end{align}</math>
 
Pada pembuktian (1.9), <math>a^2 + b^2 = h^2</math>, yang kita perolehdiperoleh melalui [[teorema Pythagoras]]. Pembuktian (1.10) dan (1.11) dapat dilakukan dengan hal yang serupa. Terdapat versi lain untuk membuktikan (1.10) dan (1.11). Dengan menggunakan (1.3) dan (1.7), yakni rasio fungsi trigonometri tersebut, maka ekspresi yang diperoleh adalah
 
:<math>\left.\begin{matrix}
Baris 74 ⟶ 76:
&= \frac{1}{\sin^2 A\theta} \\
&= \csc^2 \theta \qquad \blacksquare
\end{align}</math>
 
Versi lainnya adalah menggunakan teorema Pythagoras, masing-masing <math>h^2</math>, <math>b^2</math>, dan <math>a^2</math> membagi persamaan tersebut.
 
:<math>\left.\begin{matrix}
\begin{align}
a^2 + b^2 &= h^2 \\
\left(\frac{a}{h}\right)^2 + \left(\frac{b}{h}\right)^2 &= \left(\frac{h}{h}\right)^2 \\
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta &= 1
\end{align}
\\
\end{matrix}\right|
\left.
\begin{matrix}
\begin{align}
a^2 + b^2 &= h^2 \\
\left(\frac{a}{b}\right)^2 + \left(\frac{b}{b}\right)^2 &= \left(\frac{h}{b}\right)^2 \\
\tan^2 \theta + 1 &= \sec^2 \theta
\end{align}
\end{matrix}\right|
\begin{align}
a^2 + b^2 &= h^2 \\
\left(\frac{a}{a}\right)^2 + \left(\frac{b}{a}\right)^2 &= \left(\frac{h}{a}\right)^2 \\
1 + \cot^2 \theta &= \csc^2 \theta \qquad \blacksquare
\end{align}</math>
 
Baris 79 ⟶ 105:
 
== Jumlah dan selisih sudut ==
[[Berkas:TrigSumFormula.svg|jmpl|Ilustrasi rumus jumlah sudut melalui geometri.]]Jumlah dan selisih suatu sudut dirumuskan sebagai<ref>{{Cite web|date=2015-10-31|title=7.2: Sum and Difference Identities|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Precalculus/Precalculus_(OpenStax)/07%3A_Trigonometric_Identities_and_Equations/7.02%3A_Sum_and_Difference_Identities|website=Mathematics LibreTexts|language=en|access-date=2021-12-02}}</ref>
[[Berkas:AngleAdditionDiagramSine.svg|jmpl|Diagram jumlah sudut fungsi [[Sinus (trigonometri)|sinus]] dan [[kosinus]].]]
Jumlah dan selisih suatu sudut dirumuskan sebagai<ref>{{Cite web|date=2015-10-31|title=7.2: Sum and Difference Identities|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Precalculus/Precalculus_(OpenStax)/07%3A_Trigonometric_Identities_and_Equations/7.02%3A_Sum_and_Difference_Identities|website=Mathematics LibreTexts|language=en|access-date=2021-12-02}}</ref>
 
:{{NumBlk|::|<math> \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta </math>|{{EquationRef|2.1}}}}
:{{NumBlk|::|<math> \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta </math>|{{EquationRef|2.2}}}}
:{{NumBlk|::|<math> \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} </math>|{{EquationRef|2.3}}}}
:{{NumBlk|::|<math> \cot(\alpha \pm \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta \pm 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha} </math>|{{EquationRef|2.4}}}}
Pada rumus-rumus di atas, dapat dibuktikannya secara aljabar dengan cara mengeksploitasikan suatu [[Daftar identitas trigonometri#Refleksi sudut|identitas-identitas sudut komplementer]] tersebut. Secara geometri, diberikan <math>OQA</math> adalah [[segitiga siku-siku]], <math>OQ \bot PQ</math> sehingga <math>OPQ</math> juga merupakan segitiga siku-siku. Gambar garis vertikal dari titik <math>P</math> ke titik <math>B</math>, yang terletak di pertengahan garis <math>OA</math>. Misalkan <math>R</math> adalah titik di garis pertengahan <math>PB</math> (tetapi tidak terletak di pertengahan garis <math>OQ</math> sehingga <math>R</math> bukanlah titik perpotongan pada kedua garis <math>OQ</math> dan <math>PB</math>) sehingga <math>PQR</math> adalah segitiga dengan <math>\angle PRQ</math> adalah siku-siku. Setelah menggambarnya, diperoleh <math>\angle QOA = \angle QPR = \alpha</math>, <math>QR = AB</math>, dan <math>BR = AQ</math>.
 
=== Sinus ===
Pada gambar di samping (baik kanan maupun kiri), terdapat diagram jumlah sudut yang memudahkan pemahamannya.
Secara aljabar, dapat dibuktikan menggunakan sifat <math display="inline">\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan <math display="inline">\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math>, serta menggunakan (2.2).
 
=== Bukti melalui aljabar ===
Secara aljabar, bukti melalui aljabar dapat kita mengeksploitasikan [[Daftar identitas trigonometri#Refleksi sudut|identitas-identitas sudut komplementer]].
 
==== Sinus ====
Kita dapat menggunakan sifat <math>\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan <math>\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math>, serta menggunakan (2.2).
 
:<math>\begin{aligned}
Baris 100 ⟶ 122:
&= \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha
\end{aligned}</math>
Hal yang serupa untuk membuktikan <math>\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta- \sin \beta \cos \alpha</math>. Secara geometri, untuk membuktikannya, kita perluas <math>\sin(\alpha + \beta)</math>. Diperoleh <math>PB = PR + RB</math>. Cari <math>\sin \alpha</math> di segitiga <math>OQA</math>, <math>\sin \beta</math> dan <math>\cos \alpha</math> di segitiga <math>OPQ</math>, dan <math>\cos \beta</math> di segitiga <math>PQR</math>, lalu substitusi ke <math>\sin(\alpha + \beta)</math> yang telah diperluas.
 
:<math>\left.
==== Kosinus ====
\begin{align}
Lagi-lagi, kita gunakan sifat identitas komplementer, yakni <math>\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan juga memerlukan (2.1).
\sin(\alpha + \beta) &= \frac{PB}{OP} \\
&= \frac{RB + PR}{OP} \\
&= \frac{AQ}{OP} + \frac{PR}{OP} \\
&= \frac{AQ}{OP} \cdot \frac{OQ}{OQ} + \frac{PR}{OP} \cdot \frac{PQ}{PQ} \\
&= \frac{AQ}{OQ} \cdot \frac{OQ}{OP} + \frac{PR}{PQ} \cdot \frac{PQ}{OP} \\
&= \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha \quad \blacksquare
\end{align}
\quad
\right|
\left.
\quad
\begin{align}
\sin \alpha &= \frac{AQ}{OQ} \\
\sin \beta &= \frac{PQ}{OP} \\
\cos \alpha &= \frac{PR}{OQ} \\
\cos \beta &= \frac{OQ}{OP}
\end{align}
\quad
\right.</math>
 
=== Kosinus ===
Secara aljabar, lagi-lagi, gunakan sifat identitas komplementer, yakni <math display="inline">\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan <math display="inline">\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan juga (2.1).
 
:<math>\begin{aligned}
Baris 109 ⟶ 154:
&= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
\end{aligned}</math>
Hal yang serupa untuk membuktikan <math>\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta</math>.
 
==== Tangen ====
<!-- Sebaiknya setiap judul bagian dalam suatu artikel bersifat [[Wikipedia:Pedoman_gaya#Markah|unik]]. Hal ini akan mempermudah jika ada penyunting lain ingin memberikan pranala ke judul bagian tertentu.-->
Kita tidak dapat menggunakan identitas sudut komplementer, melainkan kita menggunakan (1.4) beserta (2.1) dan (2.2).
 
Secara aljabar, tidak dapat menggunakan identitas sudut komplementer, melainkan menggunakan (1.4) beserta (2.1) dan (2.2), lalu membagi pembilang dan penyebut pada pecahan tersebut dengan <math>\cos \alpha \cos \beta</math>.
 
:<math>\begin{align}
\tan(\alpha + \beta) &= \frac{\sin(\alpha +\beta)}{\cos(\alpha + \beta)} \\
&= \frac{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta} \\
&= \frac{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta} \cdot \frac{\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}} \qquad \text{ bagi penyebut dan pembilang dengan } \cos \alpha \cos \beta \\
&= \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}
\end{align}</math>
Hal yang serupa untuk membuktikan <math>\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}</math>.
 
==== Kotangen ====
Secara aljabar, dapat dilakukan dengan cara yang serupa, cukup membagi pembilang dan penyebut pada pecahan tersebut dengan <math>\sin \alpha \sin \beta</math>.
[[Berkas:AngleAdditionDiagramTangent.svg|kiri|jmpl|Diagram jumlah sudut dalam fungsi [[tangen]].]]
 
:<math>\begin{align}
=== Bukti melalui geometri ===
\cot(\alpha + \beta) &= \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta)} \\
&= \frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha} \\
&= \frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha} \cdot \frac{\frac{1}{\sin \alpha \sin \beta}}{\frac{1}{\sin \alpha \sin \beta}} \qquad \text{ bagi penyebut dan pembilang dengan } \sin \alpha \sin \beta \\
&= \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \beta + \cot \alpha}
\end{align}</math>
 
Hal yang serupa untuk membuktikan <math>\cot(\alpha - \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta + 1}{\cot \beta - \cot \alpha}</math>.
==== Sinus ====
 
Secara geometri,<ref>{{Cite web|title=Proof of cot(A+B) {{!}} cot(x+y) formula in Geometric Method|url=https://www.mathdoubts.com/cot-angle-sum-identity-proof/|website=www.mathdoubts.com|language=en|access-date=2021-12-11}}</ref> diperoleh bahwa <math>OB = OA - AB</math> dan <math>PB = PR + RB = PR + AQ</math>. Pada segitiga siku-siku <math>OQP</math> dan <math>OAQ</math>, diperoleh <math display="inline">\cot \alpha = \frac{OA}{AQ}</math> dan <math display="inline">\cot \alpha = \frac{PR}{QR}</math> jika dan hanya jika <math>OA = AQ \cot \alpha</math>, dan <math>PR = QR \cot \alpha</math>.
==== Kosinus ====
 
:<math>\cot (\alpha + \beta) = \frac{OQ}{QB} = \frac{OA - AB}{PR + AQ} = \frac{AQ \cot \alpha - AB}{QR \cot \alpha + RB} = \frac{QR \left(\frac{AQ}{QR} \cot \alpha - \frac{AB}{QR} \right)}{QR \left(\cot \alpha + \frac{AQ}{QR}\right)} = \frac{\frac{AQ}{QR} \cot \alpha - 1}{\cot \alpha + \frac{AQ}{QR}}</math>
==== Tangen ====
 
Selanjutnya, <math display="inline">\sin \alpha = \frac{AQ}{OQ}</math> dan <math display="inline">\sin \alpha = \frac{QR}{PR}</math>, maka <math display="inline">\frac{AQ}{OQ} = \frac{QR}{PQ}</math> jika dan hanya jika <math display="inline">\frac{AQ}{QR} = \frac{OQ}{PQ}</math>. Karena <math display="inline">\cot \beta = \frac{OQ}{PQ}</math>, maka
==== Kotangen ====
 
:<math>\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta}</math>. <math>\blacksquare</math>
 
== Sudut rangkap ==
Sudut rangkap merupakan sudut yang dimana suatu variabel yang sama ditambahkan oleh variabel tersendiri. Berikut adalah rumus sudut <math>n</math>-rangkap beserta buktinya.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Multiple-Angle Formulas|url=https://mathworld.wolfram.com/Multiple-AngleFormulas.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-11-29}}</ref>
 
{{NumBlk|::|<math>\sin(nx) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos^k x \sin^{n-k} x \sin \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math>|{{EquationRef|3.1}}}}
{{NumBlk|::|<math>\cos(nx) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cos \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math>|{{EquationRef|3.2}}}}
 
Gunakan [[Daftar identitas trigonometri#Definisi eksponensiasi|definisi eksponensiasi]] dan [[teorema binomial]]. Maka, dengan mengeksploitasikan aljabar akan kita peroleh rumus di atas.
 
:<math>\left.\begin{align}
\sin(nx) &= \frac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i} \\
&= \frac{(e^{ix})^n - (e^{-ix})^n}{2i} \\
&= \frac{(\cos(x) + i \sin (x))^n - (\cos (x) - i \sin (x))^n}{2i} \\
&= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{\cos^k x (i \sin x)^{n-k} - (\cos^k x (-i \sin x)^{n-k})}{2i} \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cdot \frac{i^{n-k} - (-i)^{n-k}}{2i} \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \sin \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right) \qquad \blacksquare
\end{align}
\quad
\right|
\quad
\begin{align}
\cos(nx) &= \frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2i} \\
&= \frac{(e^{ix})^n + (e^{-ix})^n}{2i} \\
&= \frac{(\cos(x) + i \sin (x))^n + (\cos (x) - i \sin (x))^n}{2i} \\
&= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{\cos^k x (i \sin x)^{n-k} + (\cos^k x (-i \sin x)^{n-k})}{2i} \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cdot \frac{i^{n-k} + (-i)^{n-k}}{2i} \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cos \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right) \qquad \blacksquare
\end{align}</math>
== Rujukan ==
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Pengguna:Dedhert.Jr/Uji_halaman_12"