Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/8: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
||
| (50 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
'''Teorema Euklides–Euler''' adalah sebuah [[teorema]] dalam [[teori bilangan]] yang mengaitkan [[bilangan sempurna]] dengan [[bilangan prima Mersenne]]. Teorema ini mengatakan bahwa bilangan genap dikatakan sempurna [[jika dan hanya jika]] bilangan tersebut mempunyai bentuk {{math|2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup> − 1)}}, dengan {{math|2<sup>''p''</sup> − 1}} adalah [[bilangan prima]]. Teorema ini dinamai dari matematikawan bernama [[Euklides]] yang membuktikan aspek dari teorema "jika", dan [[Leonhard Euler]] yang membuktikan aspek dari teorema "hanya jika".
Teorema ini telah diduga bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima Mersenne. Walaupun kebenaran dari konjektur ini masih belum terungkap, tetapi menurut teorema Euklides–Euler, ini menyerupai dengan sebuah konjektur yang katanya ada tak berhingga banyaknya bilangan sempurna genap. Sayangnya, masih dibelum ketahui adakah bilangan sempurna ganjil yang tunggal.<ref name="stillwell" />
== Pernyataan dan contoh ==
Sebuah billngan sempurna adalah sebuah [[bilangan asli]] yang sama dengan jumlah dari [[pembagi]] wajarnya, dan bilangan-bilangan tersebut lebih dari kecilnya dan kemudian membaginya sama rata (sampai tidak ada [[sisa]]). Sebagai contoh, pembagi wajar dari 6 adalah 1, 2, dan 3, yang hasilnya menjadi 6 saat dijumlahkan. Dengan demikian, 6 adalah bilangan sempurna.
Sebuah bilangan prima Mersenne adalah sebuah bilangan prima yang berbentuk {{math|1=''M''<sub>''p''</sub> = 2<sup>''p''</sup> − 1}}, sebuah bilangan yang lebih kecil dari [[Perpangkatan bilangan dua|perpangkatan dari dua]]. Agar bilangan dari bentuk tersebut berupa bilangan prima, maka {{mvar|p}} sendiri juga harus bilangan prima, tetapi tak semua bilangan prima menghasilkan bilangan prima Mersenne melalui cara ini. Sebagai contoh, {{nowrap|1=2<sup>3</sup> − 1 = 7}} adalah bilangan prima Mersenne, sedangkan {{nowrap|1=2<sup>11</sup> − 1 = 2047 = 23 × 89}} bukan.
Teorema Eukildes–Euler mengatakan bahwa sebuah bilangan asli genap disebut sempurna jika dan hanya jika bilangan tersebut berbentuk {{math|2<sup>''p''−1</sup>''M''<sub>''p''</sub>}}, dengan {{math|''M''<sub>''p''</sub>}} adalah bilangan prima Mersenne.<ref name="stillwell">{{citation|title=Mathematics and Its History|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|first=John|last=Stillwell|authorlink=John Stillwell|publisher=Springer|year=2010|isbn=978-1-4419-6052-8|page=40|url=https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA40}}.</ref> Sebagai contoh, bilangan sempurna 6 didapatkan ketika memasukkan {{math|1=''p'' = 2}} ke {{nowrap|1=2<sup>2−1</sup>{{mvar|M}}<sub>2</sub> = 2 × 3 = 6}}; dan memasukkan bilangan prima Mersenne 7 ke ekspresi yang serupa memperoleh bilangan sempurna 28.
== Sejarah ==
Euklides membuktikan bahwa {{math|2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup> − 1)}} adalah sebuah bilangna prima genap dengan {{math|2<sup>''p''</sup> − 1}} adalah bilangan prima. Bukti tersebut adalah hasil terakhir tentang [[teori bilangan]] dalam buku miliknya, ''[[Elemen Euklides|Elements]]''; buku terakhir di ''Elements'' melibatkan [[bilangan irasional]], [[geometri padat]], dan [[rasio emas]]. Eukildes mengemukakan hasilnya dengan mengatakan bahwa jika [[deret geometrik]] terhingga dimulai dari 1 dengan rasio 2 mempunyai jumlah bilangan prima {{mvar|q}}, maka jumlah tersebut yang dikalikan dengan suku terakhir {{mvar|t}} di deret tersebut dikatakan sempurna. Ketika mengekspresikan bentuk tersebut, jumlah {{mvar|q}} dari deret terhingga menghasilkan bilangan prima Mersenne {{math|2<sup>''p''</sup> − 1}} dan suku terakhir {{mvar|t}} dalam deret tersebut merupakan perpangkatan dari dua {{math|2<sup>''p''−1</sup>}}. Euklides kemudian membuktikan bahwa {{math|''qt''}} dikatakan sempurna dengan mengamati deret geometrik dengan rasio 2 yang diawali dari {{mvar|q}}, dengan jumlah suku yang sama, sebanding dengan deret asli. Karena deret asli dijumlahkan sampai {{math|1=''q'' = 2''t'' − 1}}, maka deret kedua dijumlahkan sampai {{math|1=''q''(2''t'' − 1) = 2''qt'' − ''q''}}, dan kedua deret tersebut ditambahkan sampai {{math|2''qt''}}, dua kali dari bilangan sempurna sebelumnya. Akan tetapi, kedua deret tersebut terlepas dari satu sama lain serta (berdasarkan primalitas dari {{mvar|q}}) menghabiskan semua pembagi dari {{math|''qt''}}, sehingga {{math|''qt''}} mempunyai pembagi yang dijumlahkan sampai {{math|2''qt''}}, dan ini diperlihatkan bahwa bilangannya sempurna.<ref>{{citation|author=[[Euclid]]|title=The Thirteen Books of The Elements, Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Vol. 2 (Books III–IX)|edition=2nd|publisher=Dover|year=1956|pages=421–426}}. See in particular Prop. IX.36.</ref>
Setelah Euklides membuktikannya selama bertahun-tahun, [[Alhazen]] menduga bahwa ''setiap'' bilangan sempurna genap merupakan bilangan berbentuk {{math|2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup> − 1)}} dengan {{math|2<sup>''p''</sup> − 1}} bilangan prima, tetapi sayangnya ia belum daat membuktikan hasil tersebut.<ref>{{MacTutor Biography|id=Al-Haytham|title=Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham}}</ref> Hingga pada abad ke-18, lebih dari 2000 tahun setelah Euklides,<ref>{{citation
| last1 = Pollack | first1 = Paul
| last2 = Shevelev | first2 = Vladimir
| doi = 10.1016/j.jnt.2012.06.008
| issue = 12
| journal = Journal of Number Theory
| mr = 2965207
| pages = 3037–3046
| title = On perfect and near-perfect numbers
| volume = 132
| year = 2012| arxiv = 1011.6160
| s2cid = 13607242
}}</ref> [[Leonhard Euler]] membuktikan bahwa rumus {{math|2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup> − 1)}} akan menghasilkan bilangan sempurna genap.<ref name="stillwell" /><ref>{{citation|first=Leonhard|last=Euler|authorlink=Leonhard Euler|chapter=De numeris amicibilibus|trans-chapter=On amicable numbers|language=Latin|contribution-url=https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/798/|title=Commentationes arithmeticae|volume=2|year=1849|pages=627–636}}. Originally read to the Berlin Academy on February 23, 1747, and published posthumously. See in particular section 8, p. 88.</ref> Jadi, bukti tersebut mempunyai kaitan antara bilangan sempurna genap dengan bilangan prima Mersenne, yang menyatakan masing-masing bilangan prima Mersenne menghasilkan sebuah bilangan sempurna genap, dan begitupula sebaliknya. Setelah Euler membuktikannya, banyak matematikawan lain telah menerbitkan bukti-bukti yang berbeda, di antaranya bukti [[Victor-Amédée Lebesgue]], [[Robert Daniel Carmichael]], [[Leonard Eugene Dickson]], John Knopfmacher, dan Wayne L. McDaniel. Bukti Dickson khususnya sudah umum dipakai dalam buku cetak.<ref>{{citation|last=Cohen|first=Graeme L.|date=March 1981|doi=10.2307/3617930|issue=431|journal=[[The Mathematical Gazette]]|jstor=3617930|pages=28–30|title=Even perfect numbers|volume=65}}</ref>
Teorema ini tercantum dalam sebuah situs yang memuat daftar dari "100 teorema matematika yang terkenal", dating from 1999, which later became used by Freek Wiedijk as a [[Benchmark (computing)|benchmark]] set to test the power of different [[proof assistant]]s. {{as of|2021}}, the proof of the Euclid–Euler theorem had been formalized in 5 of the 10 proof assistants recorded by Wiedijk.<ref>{{citation|first=Freek|last=Wiedijk|url=https://www.cs.ru.nl/~freek/100/|title=Formalizing 100 Theorems|publisher=Radboud University Institute for Computing and Information Sciences|access-date=2021-07-10}}</ref>
Euler's proof is short<ref name="stillwell" /> and depends on the fact that the [[Divisor function|sum of divisors]] function {{mvar|σ}} is [[multiplicative function|multiplicative]]; that is, if {{mvar|a}} and {{mvar|b}} are any two [[relatively prime]] integers, then {{math|1=''σ''(''ab'') = ''σ''(''a'')''σ''(''b'')}}. For this formula to be valid, the sum of divisors of a number must include the number itself, not just the proper divisors. A number is perfect if and only if its sum of divisors is twice its value.
=== Sufficiency ===
One direction of the theorem (the part already proved by Euclid) immediately follows from the multiplicative property: every Mersenne prime gives rise to an even perfect number. When {{math|1=2<sup>''p''</sup> − 1}} is prime,
<math display-block>\sigma(2^{p-1}(2^p - 1)) = \sigma(2^{p-1})\sigma(2^p - 1).</math>
The divisors of {{math|2<sup>''p''−1</sup>}} are {{math|1, 2, 4, 8, ..., 2<sup>''p''−1</sup>}}. The sum of these divisors is a [[geometric series]] whose sum is {{math|1=2<sup>''p''</sup> − 1}}. Next, since {{math|1=2<sup>''p''</sup> − 1}} is prime, its only divisors are {{math|1}} and itself, so the sum of its divisors is {{math|1=2<sup>''p''</sup>}}.
Combining these,
<math display=block>\begin{align}
\sigma(2^{p-1}(2^p - 1)) &= \sigma(2^{p-1})\sigma(2^p - 1) \\
&= (2^p - 1)(2^p) \\
&= 2(2^{p-1})(2^p - 1).
\end{align}</math>
Therefore, {{math|2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup> − 1)}} is perfect.<ref name="imsp">{{citation|title=Introduction to Mathematical Structures and Proofs|series=Undergraduate Texts in Mathematics|first=Larry|last=Gerstein|publisher=Springer|year=2012|isbn=978-1-4614-4265-3|at=Theorem 6.94, p. 339|url=https://books.google.com/books?id=qK9y768b1NQC&pg=PA339}}.</ref><ref name="pp">{{citation|title=A proof that all even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime|website=Prime Pages|url=https://primes.utm.edu/notes/proofs/EvenPerfect.html|access-date=2014-12-02|first=Chris K.|last=Caldwell}}.</ref><ref name="ntfagd">{{citation|title=Number Theory, Fourier Analysis and Geometric Discrepancy|volume=81|series=London Mathematical Society Student Texts|first=Giancarlo|last=Travaglini|publisher=Cambridge University Press|year=2014|isbn=978-1-107-04403-6|pages=26–27|url=https://books.google.com/books?id=mIaYAwAAQBAJ&pg=PA26}}.</ref>
=== Necessity ===
In the other direction, suppose that an even perfect number has been given, and partially factor it as {{math|2<sup>''k''</sup>''x''}}, where {{mvar|x}} is odd. For {{math|2<sup>''k''</sup>''x''}} to be perfect, the sum of its divisors must be twice its value:
{{NumBlk|:|<math>2^{k+1}x = \sigma(2^k x) = (2^{k+1} - 1)\sigma(x).</math>|∗}}
The odd factor {{math|2<sup>''k''+1</sup> − 1}} on the right side of '''(∗)''' is at least 3, and it must divide {{mvar|''x''}}, the only odd factor on the left side, so {{math|1=''y'' = ''x''/(2<sup>''k''+1</sup> − 1)}} is a proper divisor of {{mvar|x}}. Dividing both sides of '''(∗)''' by the common factor {{math|1=2<sup>''k''+1</sup> − 1}} and taking into account the known divisors {{mvar|x}} and {{mvar|y}} of {{mvar|x}} gives
{{Block indent|left=1.6|<math>2^{k+1}y = \sigma(x) = x + y + {}</math>other divisors<math>{} = 2^{k+1}y + {}</math>other divisors.}}
For this equality to be true, there can be no other divisors. Therefore, {{mvar|y}} must be {{math|1}}, and {{mvar|x}} must be a prime of the form {{math|1=2<sup>''k''+1</sup> − 1}}.<ref name="imsp" /><ref name="pp" /><ref name="ntfagd" />
== References ==
{{reflist}}
▲== Rujukan ==
| |||