Faktor persekutuan terbesar: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan
Finnrind (bicara | kontrib)
k Removing external link: *.idomaths.com -- per m:User:COIBot/XWiki/idomaths.com.
k Mengembalikan suntingan oleh Bebasnama (bicara) ke revisi terakhir oleh Hadithfajri
Tag: Pengembalian Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan
 
(119 revisi perantara oleh 71 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
[[Berkas:24x60.svg|jmpl|Lantai berukuran 24 kali 60, dapat dipotong menjadi persegi berukuran 12 kali 12. Secara umum, persegi panjang dengan ukuran a kali b dapat dibagi menjadi persegi-persegi dengan panjang sisi c jika c adalah faktor persekutuan dari a dan b.]]
Dalam [[matematika]], '''Faktor Persekutuan Terbesar''' (FPB) dari dua bilangan adalah [[bilangan bulat]] positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan itu.
Dalam [[matematika]], '''faktor persekutuan terbesar''' (FPB) dari dua [[bilangan bulat]] adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama [[Pembagi|membagi habis]] kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12.
 
Dua bilangan atau lebih disebut [[Koprima (bilangan)|saling prima]] jika FPB bilangan-bilangan tersebut sama dengan 1. Sebagai contoh, karena FPB bilangan 9 dan 28 sama dengan 1, maka bilangan 9 dan 28 adalah saling prima (walaupun masing-masingnya bukan [[bilangan prima]])
Dalam [[bahasa Inggris]] FPB dikenal dengan ''Greatest Common Divisor'' (GCD), sering djiuga disebut sebagai ''Greatest Common Factor'' (GCF) atau ''Highest Common Factor'' (HCF),
 
Faktor persekutuan terbesar (FPB) dan sekawannya, [[kelipatan persekutuan terkecil]] (KPK), menjadi pembahasan yang penting dalam [[aritmatika]] dan [[teori bilangan]].
== Contoh ==
 
== Definisi ==
Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari FPB dari 2 atau 3 [[bilangan]] yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar sebaiknya menggunakan cara [[faktorial]].
Suatu bilangan <math>c</math> disebut faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> jika <math>c</math> habis membagi bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> sekaligus.
 
Suatu bilangan <math>d</math> disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika:<ref name=":02">{{Cite book|last=Sukirman|first=|date=2016|url=|title=Teori Bilangan|location=Tangerang Selatan|publisher=Universitas Terbuka|isbn=978-602-392-047-1|language=|url-status=live}}</ref>
=== Cara sederhana ===
 
* <math>d</math> faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math>; dan
Mencari FPB dari '''12''' dan '''20''':
* jika <math>c</math> faktor persekutuan bilangan <math>a</math> dan <math>b</math> maka berlaku <math>c\leq d</math>
* Faktor dari 12 = 1, 2, 3, '''4''', 6 dan 12
* Faktor dari 20 = 1, 2, '''4''', 5, 10 dan 20
* FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu '''4'''.
 
bilangan <math>d</math> ditulis sebagai <math>FPB(a,b)</math><ref>{{Cite book|date=2023|title=Kawan Tanding Olimpiade Matematika - A|location=Bandung|publisher=Tim KTO Matematika|url-status=live}}</ref> atau <math>(a,b)</math><ref name=":02" />.
=== Cara faktorial ===
 
=== Peristilahan ===
Secara bahasa, kata "persekutuan" berarti hal bersama-sama dan kata "faktor" berarti 'pembagi'. Maka dari itu, sebagian penulis menggunakan istilah lain untuk FPB, seperti '''pembagi persekutuan terbesar,'''<ref>{{Cite book|last=Achmad Arifin|date=2000|title=Aljabar|location=Bandung|publisher=Penerbit ITB|isbn=979-9299-13-6|url-status=live}}</ref> atau '''pembagi bersama terbesar''',<ref>{{Cite book|last=Wono Setya Budhi|date=2006|title=Langkah Awal Menuju Olimpiade Matematika|location=Jakarta|publisher=Ricardo|isbn=979-98175-0-1|url-status=live}}</ref> dilambangkan dengan <math>\text{PBT}(a,b)</math>. Dalam penulisan matematika kadang dipakai juga notasi <math>\text{gcd}(a,b)</math>, berasal dari bahasa Inggris '''greatest common divisor'''.<ref>{{Cite book|last=Eka Susilowati|date=2017|title=Teori Bilangan|location=Yogyakarta|publisher=Matematika|url-status=live}}</ref>
 
== Contoh ==
Mencari FPB dari bilangan 147, 189 dan 231:
 
* Faktor dari <math>12</math> adalah <math>1, 2, 3, {\color{red}{4}}, 6, 12</math>
* Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:
* Faktor dari <math>20</math> adalah <math>1, 2, {\color{red}{4}}, 5, 10, 20</math>
147 189 231
/\ /\ /\
3 49 3 63 3 77
/\ /\ /\
7 7 7 9 7 11
/\
3 3
 
Faktor persekutuan 12 dan 20 adalah 1, 2, 4. Karena 4 adalah bilangan terbesar di antara faktor persekutuan itu, maka disimpulkan <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 4</math>.
* Susun bilangan dari pohon faktor utk mendapatkan faktorialnya:
 
== Perhitungan FPB ==
:Faktorial 147 = '''3<sup>1</sup>''' x '''7<sup>2</sup>'''
 
=== Faktorisasi prima ===
:Faktorial 189 = '''3<sup>3</sup>''' x '''7<sup>1</sup>'''
FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mencari [[faktorisasi prima]] bilangan-bilangan itu kemudian mengalikan faktor-faktor primanya yang sama dengan pangkat terkecil. Sebagai contoh, akan ditentukan FPB dari 24 dan 60. Dengan pohon faktor
 
[[Berkas:Factor_Tree_60.svg|nirbing|190x190px]][[Berkas:Factor_Tree_24.svg|nirbing|190x190px]]
:Faktorial 231 = '''3<sup>1</sup>''' x '''7<sup>1</sup>''' x 11<sup>1</sup>
 
diperoleh <math>60 = {\color{red}{2}}^2 \times {\color{red}{3}} \times 5</math> dan <math>24 = {\color{red}{2}}^3 \times {\color{red}{3}}</math>. Dengan mengambil faktor prima yang sama dengan pangkat maka, <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 2^2 \times 3 = 12</math>.
* Ambil faktor-faktor yang sekutu (sama) dari ketiga faktorial tersebut, dalam hal ini '''3''' dan '''7'''.
 
=== Algoritma Euklides ===
* Kalikan faktor-faktor sekutu yang memiliki pangkat terkecil, dalam hal ini '''3<sup>1</sup>''' x '''7<sup>1</sup>''' = 21.
{{Main|Algoritme Euklides|l1=Algoritma Euklides}}
Euclid menemukan sebuah algoritma untuk mencari FPB. Misalkan <math>a</math> dan '''<math>b</math>''' adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka FPB dua bilangan itu dapat dicari dengan algorirma sebagai berikut:<pre>
1. masukkan nilai a dan b;
2. misalkan u:=a dan v:=b;
3. selama u ≠ v, ulangi
u = maximum (u,v) - minimum (u,v)
v = minimum (u,v);
4. FPB(a,b)=u;
</pre>
 
== Sifat ==
* Maka FPB dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah '''21'''. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih besar dari 21 yang dapat membagi habis bilangan 147, 189 dan 231.
Untuk sebarang bilangan bulat <math>a,b,c</math>, dengan <math>|a|</math> adalah [[Nilai absolut|nilai multak]] dari <math>a</math>, berlaku:
 
* [[Sifat komutatif]], yaitu <math>\operatorname{FPB}(a,b)=\operatorname{FPB}(b,a)</math>.
== Algoritma Euklidean ==
* [[Sifat asosiatif]], yaitu <math>\operatorname{FPB}(a,b,c)=\operatorname{FPB}(a,\operatorname{FPB}(b,c))=\operatorname{FPB}(\operatorname{FPB}(a,b),c)</math>.
* [[Sifat distributif]], yaitu <math>\operatorname{FPB}(ac,bc) = c \cdot \operatorname{FPB}(a,b)</math>
* Jika <math>c</math> faktor persekutuan <math>a</math> dan <math>b</math>, maka <math>c \mid \operatorname{FPB}(a,b)</math>, dan <math>\operatorname{FPB}\left(\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right)=\frac{\operatorname{FPB}(a,b)}{c}</math>, sehingga jika <math>d=\operatorname{FPB}(a,b)</math> maka <math>\operatorname{FPB}\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=1</math>
* <math>\operatorname{FPB}(\pm a,\pm b)=\operatorname{FPB}(b,a)</math>
* <math>\operatorname{FPB}(a,b)=\operatorname{FPB}(a,b-a)=\operatorname{FPB}(a,b+a)=\operatorname{FPB}(a,b-ca)</math>
* <math>\operatorname{FPB}(a,0) = |a|</math>
* <math>\operatorname{FPB}(a,1) = 1</math>
* Untuk sebarang bilangan bulat positif <math>a,b</math>, <math>\operatorname{FPB}(a,b) = b</math> jika dan hanya jika '''<math>b</math>''' habis membagi <math>a</math>.
 
== Koprima ==
Cara lain untuk mencari '''FPB''' adalah dengan menggunakan [[algoritma Euklidean]]. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka algoritma Eucliden adalah sebagai berikut:
{{Main|Koprima (bilangan)}}
 
Dua buah bilangan dikatakan [[Koprima (bilangan)|koprima]], atau [[relatif prima]], atau [[saling prima]] [[jika dan hanya jika]] faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Greatest Common Divisor|url=https://mathworld.wolfram.com/GreatestCommonDivisor.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20230406035526/https://mathworld.wolfram.com/GreatestCommonDivisor.html|archive-date=2023-04-06|dead-url=no|access-date=2021-11-20}}</ref>
:* a<sub>1</sub> = maximum(a,b)-minimum(a,b)
== Penerapan ==
::b<sub>1</sub> = minimum(a,b)
=== Menyederhanakan pecahan ===
 
Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan<ref>{{Cite web|title=Greatest Common Factor|url=https://www.mathsisfun.com/greatest-common-factor.html|website=www.mathsisfun.com|archive-url=https://web.archive.org/web/20051029072949/https://www.mathsisfun.com/greatest-common-factor.html|archive-date=2005-10-29|dead-url=no|access-date=2021-11-21}}</ref>. Sebagai contoh, pecahan <math>\frac{4}{8}</math> dapat disederhanakan dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari <math>4</math> dan <math>8</math> adalah <math>\operatorname{FPB}(4,8) = 2</math>. Kita tuliskan sebagai
:* a<sub>2</sub> = maximum(a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>)-minimum(a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>)
::b<sub>2</sub> = minimum(a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>)
 
:::'''.'''
:::'''.'''
:::'''.'''
 
:* a<sub>i</sub> = maximum(a<sub>i-1</sub>,b<sub>i-1</sub>)-minimum(a<sub>i-1</sub>,b<sub>i-1</sub>)
::b<sub>i</sub> = minimum(a<sub>i-1</sub>,b<sub>i-1</sub>)
 
Algoritma tersebut berhenti hingga diperoleh a<sub>i</sub> = b<sub>i</sub>
 
FPB dari a dan b adalah a<sub>i</sub> = b<sub>i</sub>
 
: <math>\frac{4}{8} = \frac{2 \times 2}{2 \times 4} = \frac{1}{2}</math>.
 
=== Kelipatan persekutuan terkecil ===
{{Main|Kelipatan persekutuan terkecil}}
Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.<blockquote><math>\operatorname{KPK}(a,b) = \frac{ab}{\operatorname{FPB}(a,b)}</math>.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Least Common Multiple|url=https://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20230516001830/https://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html|archive-date=2023-05-16|dead-url=no|access-date=2021-11-21}}</ref></blockquote>
 
== Lihat pula ==
* [[Kelipatan Persekutuanpersekutuan Terkecilterkecil]] (KPK)
== Rujukan ==
<references responsive="1"></references>
{{Authority control}}
 
[[Kategori:Matematika]]
 
[[ar:قاسم مشترك أكبر]]
[[bg:Най-голям общ делител]]
[[ca:Màxim comú divisor]]
[[cs:Největší společný dělitel]]
[[en:Greatest common divisor]]
[[eo:Plej granda komuna divizoro]]
[[es:Máximo común divisor]]
[[fa:بزرگترین مقسوم علیه مشترک]]
[[fi:Suurin yhteinen tekijä]]
[[fr:Plus grand commun diviseur]]
[[he:מחלק משותף מקסימלי]]
[[is:Stærsti samdeilir]]
[[it:Massimo comun divisore]]
[[ja:最大公約数]]
[[lt:Didžiausias bendrasis daliklis]]
[[lv:Lielākais kopīgais dalītājs]]
[[nl:Grootste gemene deler]]
[[no:Største felles divisor]]
[[pl:Największy wspólny dzielnik]]
[[pt:Máximo divisor comum]]
[[ru:Наибольший общий делитель]]
[[sl:Največji skupni delitelj]]
[[sr:Највећи заједнички делилац]]
[[sv:Största gemensamma delare]]
[[th:ตัวหารร่วมมาก]]
[[uk:Найбільший спільний дільник]]
[[ur:عاد اعظم]]
[[vi:Ước số chung lớn nhất]]
[[yi:גרעסטער געמיינזאמער טיילער]]
[[zh:最大公因數]]