|
[[Berkas:Möbius_strip.jpg|ka|jmpl|Sebuah pitastrip Möbius yang dibuatterbuat dengandari kertas dan plester.]]
Dalam [[matematika]], '''strip Möbius''' atau '''pita''' '''Möbius''' adalah suatusebuah [[Permukaan (topologi)|permukaan]] yang dapat dibentuk dengan menempel ujung pita tersebut dengan memutarnya sebagian. Sebagai sebuah objek matematika, pita ini ditemukan oleh [[Johann Benedict Listing]] dan [[August Ferdinand Möbius]] pada tahun 1858, namuntetapi pita ini sudah munculditemukan di mosaik [[Romawi Kuno|Roman]] pada abad ketiga masehi. PitaStrip Möbius merupakan permukaan yang [[Keterarahkan|tidaktak dapat diarahkanterarahkan]] (atau permukaantidak takterarahkandapat diarahkan) , dalam artian bahwa dalam pita tersebut selalu tidak selalu dapat membedakan [[arah jarum jam]] dengan arah sebaliknya. Setiap permukaan yang tidak dapat diarahkan memuatmengandung sebuah pitastrip Möbius.
Karena berupakan [[ruang topologis]] yang abstrak, pitastrip Möbius dapat dibenamkan menjadi [[ruang Euklides]] berdimensi tiga dalam berbagai cara: sebuah pita yang diputar setengah dengan arah jarum jam berbeda dengan yang diputar setengah dengan arah yang berlawanan, dan pitastrip Möbius dapat dibenamkan dengan jumlah putaran ganjil yang lebih besar dari satu, atau dengan garis tengah yang [[Buhul (matematika)|dibuhul]]. Secara topologis dikatakan [[Isotopi sekitar|ekuivalen]] apabilajika setiap dua pembenaman dengan buhul dalam garis tengah dan jumlah arah putaran yang sama. Semua pembenaman pada pitastrip Möbius hanya memiliki satu sisi, namun pita dapat mempunyai dua sisi bila dibenamkan dalam ruang lain. Pita ini hanya mempunyai sebuah [[Batas (topologi)|kurva batas]] yang tunggal.
Ada beberapa konstruksi geometris pitastrip Möbius yang menyediakannya dengan struktur tambahan. Pita tersebut dapat disapu sebagai permukaan bergaris dengan memutar ruas garis di sebuah bidang yang berputar, dengan atau tanpa menyilang dirinya sendiri. Secarik kertas yang tipis dengan ujungnya yang ditempelkan agar membentuk sebuah pitastrip Möbius dapat dibelokkan dengan lancar sebagai secarik kertas dengan [[Permukaan terkembangkan|permukaan yang dapat dikembangkan]] atau dengan [[Matematika tentang lipatan kertas#Lipatan rata|rata yang terlipat]] (contoh mengenai pitastrip Möbius yang diratakan, seperti [[Fleksagon|triheksafleksagon]]). PitaStrip Möbius Sudan merupakan sebuah permukaan minimal dalam sebuah hiperbola, dan pitastrip Möbius Meeks merupakan permukaan minimal yang memotong diri sendiri dalam ruang Euklides biasa. PitaStrip Möbius Sudan dan pitastrip Möbius yang memotong diri sendiri lainnya (yaitu [[Pita Möbius#Membuat lingkar batas|''cross-cap'']]), mempunyai batas yang melingkar. Sebuah pitastrip Möbius tanpa adanya batas (disebut pitastrip Möbius terbuka) dapat membentuk permukaan dari kurva konstanta. Ruang yang sangat simetris dengan titik-titiknya mewakili garis di bidang mempunyai bentuk pitastrip Möbius.
Ada beberapa penerapan terhadap pitastrip Möbius. Penerapan tersebut diantaranya: [[Sabuk (mesin)|sabuk dalam mesin]] yang memakai pada kedua sisi dengan rata, [[kereta luncur]] dengan jalur berganda yang mengangkut secara bergantian di antara kedua jalur tersebut, dan [[peta dunia]] yang dicetak sehingga [[antipoda]] muncul berseberangan. PitaStrip Möbius muncul dalam molekul dengan elektrik yang tidak biasa dan perangkat dengan sifat-sifat elektromekanis, dan pita ini telah dipakai untuk membuktikan hasil kemustahilan dalam [[teori pemilihan sosial]]. Dalam budaya populer, pitastrip Möbius muncul dalam hasil karya [[M. C. Escher]], [[Max Bill]], dan tokoh lainnya., Pitadan pita ini muncul dalam desain dari [[simbol daur ulang]]. Ada banyak konsep tentangyang berhubungan dengan arsitek yang terinspirasiterilhami oleh pitastrip Möbius strip, seperti desain bangunan [[NASCAR Hall of Fame]]. Pemain sandiwara seperti [[Harry Blackstone Sr.]] dan [[Thomas Nelson Downs]] menggunakan trik sulap yang berasal dari sifat-sifat pitastrip Möbius. Musik [[Kanon (musik)|kanon]] milik [[J. S. Bach]] telah dianalisis bahwa musiknya menggunakan pitastrip Möbius. Ada banyak karya yang bersifat [[Fiksi spekulatif|fiksi dan spekulatif]] menampilkan strip Möbius; lebih umumnya, struktur alur berdasarkan pitastrip Möbius, atau kejadian yang berulang dengan memutar struktur alur, biasanya merupakanterdapat di dalam karya fiksi.
== Asal-usul ==
| caption2 = Lukisan oleh [[Ismail al-Jazari]] (1206), yang menggambarkan [[pompa rantai]] dengan rantai penggerak Möbius.
}}
Penemuan pitastrip Möbius sebagai objek matematika dihubungkandikaitkan dengan matematikawan Jerman [[Johann Benedict Listing]] dan [[August Ferdinand Möbius]] secara terpisah pada tahun {{nowrap|1858.{{r|pickover}}}} Akan tetapi, pita öbiusiMöbius sudah dtkenal sejak lama sebagai benda fisik dan gambaran artistik. PitaStrip Möbius khususnya dapat dilihat dalam berbagai mosaik Roma pada {{nowrap|abad ketiga masehi.{{r|roman|ancient}}}} Pada umumnya, mosaik tersebut hanya menggambarkan pita yang bergelung sebagai batasnya. Ketika jumlah gelungnya adalah ganjil, pita-pita tersebut merupakan pitastrip Möbius, namuntetapi bilajika jumlahnya adalah genap, pita-pita tersebut secara topologis ekuivalen dengan [[Anulus (matematika)|gelanggang yang tidaktak diputarterpilin]]. ThereforeKarena itu, whetherpita theyang ribbonmerupakan is astrip Möbius strip may behanyalah coincidentalkebetulan, ratherbukan thandipilih adengan deliberate choicesengaja. PadaSetidaknya setidaknyaada satu buah kasus<u>,</u> sebuah pita dengan warna yang berbedalain pada sisi yang berbeda <u>drawn</u>digambar dengan putaran gelung yang berjumlahkan ganjil<u>,</u> <u>forcingmemaksa itspelukis artistsehingga tomengakibatkan makekecerobohan, ayakni clumsywarna-warna fixpada atsisi thepita point where the colors did notmenjadi {{nowrap|matchtak upsesuai.{{r|roman}}}}</u> AnotherMosaik mosaiclain fromyang theberasal towndari ofkota [[Sentinum]] (depicted) shows the [[zodiac]], heldmemperlihatkan bygambar theseorang goddewa [[Aion (deitydewa)|Aion]], assedang amemegang band[[zodiak]] withsebagai onlypita ayang singlehanya twist.dengan Theresetengah isputaran. noTidak clearada evidencebukti thatjelas theyang one-sidednessmengatakan ofbahwa thisrepresentasi visual representationkesepihakan ofdari celestialwaktu timebenda wasalam intentional;dibuat itdengan couldsengaja, havemelainkan beenrepresentasi chosenitu merelyhanya asdapat adipilih waysebagai tocara makeuntuk allmembuat ofsemua thelambang signszodiak ofmuncul thepada zodiacsisi appearpita onyang theterlihat. visibleAda sidejuga ofyang themengatakan strip.bahwa Somebeberapa othergambaran ancientkuno depictionsseperti of thegambar [[ourobourosouroboros]] oratau ofhiasan berbentuk [[LemniscateLemniskat|figure-eightangka delapan]]-shaped decorationsmenggambarkan arestrip alsoMöbius, allegedtetapi tomaksud depictdari strip Möbius strips,yang butmenggambarkan whethersebarang theyjenis werepita intended to depict flatyang stripsrata ofatau anybukan typemasih isbelum {{nowrap|unclearjelas.{{r|ancient}}}}
Independently of the mathematical tradition, machinists have long known that [[Belt (mechanical)|mechanical belts]] wear half as quickly when they form Möbius strips, because they use the entire surface of the belt rather than only the inner surface of an untwisted belt.{{r|roman}} Additionally, such a belt may be less prone to curling from side to side. An early written description of this technique dates to 1871, which is after the first mathematical publications regarding the Möbius strip. Much earlier, an image of a [[chain pump]] in a work of [[Ismail al-Jazari]] from 1206 depicts a Möbius strip configuration for its drive {{nowrap|chain.{{r|ancient}}}} Another use of this surface was made by seamstresses in Paris (at an unspecified date): they initiated novices by requiring them to stitch a Möbius strip as a collar onto a {{nowrap|garment.{{r|roman}}}}
== Sifat-sifat ==
[[Berkas:Fiddler_crab_mobius_strip.gif|kiri|jmpl|Sebuah objek dua dimensi bergerak melintang sekali disekitar pitastrip Möbius dan kembali ke posisi semula dalam bentuk yang tercermin.|309x309px]]
PitaStrip Möbius mempunyai beberapa sifat yang aneh. PitaStrip Möbius merupakan [[Keterarahkan|permukaan takterarahkan]], yang berarti bahwa jika sebuah benda dimensi dua asimetris yang meluncur sekali di sekitar pita tersebut, maka benda tersebut kembali ke posisi semula dengan bentuk yang tercermin. Khususnya, sebuah kurva dengan panah yang mengarah ke jarum jam (↻) akan kembali ketika sebuah panah yang mengarah ke arah jarum jam yang berlawanan (↺). Hal ini menyiratkan bahwa dalam pitastrip Möbius mustahil untuk selalu menentukan apakah benda mengarah ke jarum jam atau sebaliknya. PitaStrip Möbius merupakan permukaan takterarahkan yang sederhana, yang mengatakan bahwa setiap permukaan lain adalah takterarahkan jika dan hanya jika permukaan tersebut mempunyai pitastrip Möbius sebagai {{nowrap|subhimpunan.{{r|chirality}}}} Relatedly,Hal whenini embeddedberkaitan intodengan [[Euclideanstrip space]],Möbius theyang Möbiushanya stripmempunyai hassatu onlysisi oneketika side.dibenamkan Amenjadi three-dimensional[[ruang objectEuklides]]. thatSebuah slidesbenda onetiga timedimensi aroundyang theberjalan surfacesekali ofdi thesekitar permukaan strip istersebut nottidak mirroredtercermin, melainkan butkembali insteadke returnstitik toyang thesama sameyang pointmuncul ofdi thesisi striplain. onKarena whatitu, appearssifat locallytersebut tomemperlihatkan bebahwa itskedua otherposisinya side,hanya showingmerupakan thatbagian bothdari positionssatu aresisi reallypada partstrip of a single sidetersebut. ThisPerilaku behaviorpada isstrip differentini fromberbeda familiardengan [[Orientable surface|orientablepermukaan surfacesterarahkan]] inyang threeterkenal dimensionsdalam suchtiga asdimensi thoseseperti modeledstrip byyang flatdimodelkan sheetsdengan oflembaran paper,kertas cylindrical drinkingyang strawsrata, orsedotan hollowminuman ballsyang berbentuk tabung, foratau whichbola oneberongga sidedengan ofsatu thebuah surfacesisi ispermukaannya nottidak connectedterhubung todengan theyang otherlain.{{sfnp|Pickover|2005|pp=8–9}} HoweverAkan tetapi, thisperilaku istersebut amerupakan propertysifat ofpembenaman itsstrip embeddingtersebut intoyang spacemenjadi ratherruang, thanbukan ansebuah intrinsicsifat propertyintristik ofdari thestrip Möbius stripsendiri itself:yang theremengatakan existterdapat otherruang topologicaltopologis spaceslain inyang which thestrip Möbius stripdapat candibenamkan besehingga embeddedmempunyai so that it has twodua {{nowrap|sidessisi.{{r|woll}}}} ForSebagai instancecontoh, ifjika themuka frontkubus anddi backdepan facesdan ofdi abelakang cubeditempelkan areke gluedsatu tosama eachlain otherdengan withmencerminkan asebelah left-rightkiri mirrordan reflectionsebelah kanan, themaka resulthasilnya isberbentuk asebuah three-dimensionalruang topologicaltopologis spacedimensi tiga (theyaitu, [[Cartesiandarab productCartesius]] ofdari astrip Möbius stripdengan with ansebuah interval) inyang whichbagian theatas topdan andbawah bottomkubus halvesdapat ofdipisah thedari cubesatu cansama belain separateddengan fromdua eachsisi otherpada by a two-sided Möbiusstrip {{nowrap|stripMöbius.{{efn|Essentially this example, but for a [[Klein bottle]] rather than a Möbius strip, is given by {{harvtxt|Blackett|1982}}.{{r|blackett}}}}}} In contrast to disks, spheres, and cylinders, for which it is possible to simultaneously embed an [[uncountable set]] of [[Disjoint sets|disjoint]] copies into three-dimensional space, only a countable number of Möbius strips can be simultaneously {{nowrap|embedded.{{r|frolkina|defy|melikhov}}}}
A path along the edge of a Möbius strip, traced until it returns to its starting point on the edge, includes all boundary points of the Möbius strip in a single continuous curve. For a Möbius strip formed by gluing and twisting a rectangle, it has twice the length of the centerline of the strip. In this sense, the Möbius strip is different from an untwisted ring and like a circular disk in having only one {{nowrap|boundary.{{sfnp|Pickover|2005|pp=8–9}}}} A Möbius strip in Euclidean space cannot be moved or stretched into its mirror image; it is a [[Chirality (mathematics)|chiral]] object with right- or {{nowrap|left-handedness.{{sfnp|Pickover|2005|p=52}}}} Möbius strips with odd numbers of half-twists greater than one, or that are knotted before gluing, are distinct as embedded subsets of three-dimensional space, even though they are all equivalent as two-dimensional topological {{nowrap|surfaces.{{sfnp|Pickover|2005|p=12}}}} More precisely, two Möbius strips are equivalently embedded in three-dimensional space when their centerlines determine the same knot and they have the same number of twists as each {{nowrap|other.{{r|kyle}}}} With an even number of twists, however, one obtains a different topological surface, called the {{nowrap|[[Annulus (mathematics)|annulus]].{{sfnp|Pickover|2005|p=11}}}}
== Konstruksi ==
Ada berbagai cara dalam mendefinisikan permukaan geometris melalui pitastrip Möbius dalam topologi, <u>yieldingyang realizationsmeghasilkan withrealisasi additionaldengan geometricsifat-sifat geometris properties</u>tambahan.
=== Menyapu sebuah ruas garis ===
[[Berkas:Mobius strip.gif|jmpl|180x180px200x200px|Sebuah pitastrip Möbius disapu dengan memutar ruas garis dalam sebuah bidang putaran.]]
[[Berkas:Plucker's conoid (n=2).gif|jmpl|[[Konoid Plücker]] disapu dengan gerakan suatuberbeda ruasdari garissebuah yangruas berbedagaris.]]
OneCara wayagar tomembenamkan embed thestrip Möbius stripdalam inruang three-dimensionalEuklides Euclideanberdimensi spacetiga isadalah todengan sweepmenyapu itmelalui outsebuah byruas agaris lineyang segmentmemutar rotatingdi insebuah a planebidang, whichyang inberputar turndi rotatessekitar aroundsalah one of itssatu {{nowrap|linesgarisnya.{{r|maschke}}}} ForDalam themenyapu sweptpermukaan surfaceagar tobertemu meetdi uptitik withawal itselfsetelah aftermelakukan asetengah half-twistputaran, theruas linegarisnya segmentmemutar shoulddi rotatesekitar aroundpusatnya itsdi centerbidang atyang halfmemutar thedengan angularsetengah velocitykecepatan of the plane's rotationsudut. ThisHal canini bedapat describeddinyatakan assebagai asebuah [[parametricpermukaan surfaceparametrik]] definedyang byterdefinisi equationsmelalui forpersamaan theuntuk [[Cartesiankoordinat coordinatesKartesius]] of itsdari pointstitiknya,<math display="block">
\begin{align}
x(u,v)&= \left(1+\frac{v}{2} \cos \frac{u}{2}\right)\cos u\\
y(u,v)&= \left(1+\frac{v}{2} \cos\frac{u}{2}\right)\sin u\\
z(u,v)&= \frac{v}{2}\sin \frac{u}{2}\\
\end{align}</math>foruntuk <math>0 \le u< 2\pi</math> anddan {{nowrap|<math>-1 \le v\le 1</math>,}} wheredengan onesebuah parameter <math>u</math> describesmenyatakan thesudut rotationputaran anglebidang ofdi thesekitar planesumbu aroundpusat its central axis and the otherdan parameter {{nowrap|<math>v</math>}} describesmenyatakan theposisi positiontitik ofdi asepanjang pointruas alonggaris theyang rotatingberputar. lineHal segment.ini Thismenghasilkan producessebuah astrip Möbius strip ofdengan widthlebarnya 1, whoseyang centerpusat circlelingkarannya hasmempunyai radiusjari-jari 1, liesterletak in thedi bidang-<math>xy</math>-plane and isdan centeredberpusat atdi {{nowrap|<math>(0, 0, 0)</math>.{{r|parameterization}}}} TheMetode sameyang methodsama candapat producemenghasilkan strip Möbius stripsdengan withsetiap anysetengah oddputaran numberyang ofberjumlahkan half-twistsganjil, bydengan rotatingmemutar theruas segmentgaris morelebih quicklycepat indi itsbidang planetersebut. The rotating segment sweeps out a circular disk in the plane that it rotates within, and the Möbius strip that it generates forms a slice through the [[solid torus]] swept out by this disk. Because of the one-sidedness of this slice, the sliced torus remains {{nowrap|connected.{{r|split-tori}}}}
A line or line segment swept in a different motion, rotating in a horizontal plane around the origin as it moves up and down, forms [[Plücker's conoid]] or cylindroid, an algebraic [[ruled surface]] in the form of a self-crossing Möbius {{nowrap|strip.{{r|francis}}}} It has applications in the design of {{nowrap|[[gear]]s.{{r|dooner-seirig}}}}
A rectangular Möbius strip, made by attaching the ends of a paper rectangle, can be embedded smoothly into three-dimensional space whenever its aspect ratio is greater than {{nowrap|<math>\sqrt 3\approx 1.73</math>,}} the same ratio as for the flat-folded equilateral-triangle version of the Möbius {{nowrap|strip.{{r|sadowsky-translation}}}} This flat triangular embedding can lift to a smooth{{efn|This piecewise planar and cylindrical embedding has [[smoothness]] class <math>C^2</math>, and can be approximated arbitrarily accurately by [[infinitely differentiable]] {{nowrap|(class <math>C^\infty</math>)}} embeddings.{{r|bartels-hornung}}}} embedding in three dimensions, in which the strip lies flat in three parallel planes between three cylindrical rollers, each tangent to two of the {{nowrap|planes.{{r|sadowsky-translation}}}} Mathematically, a smoothly embedded sheet of paper can be modeled as a [[developable surface]], that can bend but cannot {{nowrap|stretch.{{r|bartels-hornung|starostin-vdh}}}} As its aspect ratio decreases toward <math>\sqrt 3</math>, all smooth embeddings seem to approach the same triangular {{nowrap|form.{{r|darkside}}}}
The lengthwise folds of an accordion-folded flat Möbius strip prevent it from forming a three-dimensional embedding in which the layers are separated from each other and bend smoothly without crumpling or stretching away from the {{nowrap|folds.{{r|fuchs-tabachnikov}}}} Instead, unlike in the flat-folded case, there is a lower limit to the aspect ratio of smooth rectangular Möbius strips. Their aspect ratio cannot be less than {{nowrap|<math>\pi/2\approx 1.57</math>,}} even if self-intersections are allowed. Self-intersecting smooth Möbius strips exist for any aspect ratio above this {{nowrap|bound.{{r|fuchs-tabachnikov|halpern-weaver}}}} Without self-intersections, the aspect ratio must be at {{nowrap|least{{r|schwartz}}}}<math display="block">\frac{2\sqrt{4-2\sqrt3}+4}{\sqrt{2\sqrt3}+2\sqrt{2\sqrt3-3}}\approx 1.695.</math>{{unsolved|matematika|Dapatkah secarik kertas berbentuk persegi panjang dengan ukuran <math>12\times 7</math> ditempelkan dari ujung ke ujung agar membentuk sebuah pita Möbius mulus yang dibenamkan di sebuah ruang? {{efn|Di antara {{math|1,695}} dan {{math|1,73}}, {{sfrac|1=12|2=7}} merupakan bilangan rasional paling sederhana <u>in the range of aspect ratios</u>, di antara 1,695 dan 1,73,dalam <u>forsejumlah whichrasio theaspek existenceyang ofkeberadaan asuatu smoothpembenaman embeddingmulus isbelum unknowndiketahui.</u>}}}}
For aspect ratios between this bound {{nowrap|and <math>\sqrt 3</math>,}} it is unknown whether smooth embeddings, without self-intersection, {{nowrap|exist.{{r|fuchs-tabachnikov|halpern-weaver|schwartz}}}} If the requirement of smoothness is relaxed to allow [[continuously differentiable]] surfaces, the [[Nash–Kuiper theorem]] implies that any two opposite edges of any rectangle can be glued to form an embedded Möbius strip, no matter how small the aspect ratio {{nowrap|becomes.{{efn|These surfaces have smoothness class <math>C^1</math>. For a more fine-grained analysis of the smoothness assumptions that force an embedding to be developable versus the assumptions under which the [[Nash–Kuiper theorem]] allows arbitrarily flexible embeddings, see remarks by {{harvtxt|Bartels|Hornung|2015}}, p. 116, following Theorem 2.2.{{r|bartels-hornung}}}}}} The limiting case, a surface obtained from an infinite strip of the plane between two parallel lines, glued with the opposite orientation to each other, is called the ''unbounded Möbius strip'' or the real [[tautological line bundle]].{{r|dundas}} Although it has no smooth embedding into three-dimensional space, it can be embedded smoothly into four-dimensional Euclidean {{nowrap|space.{{r|blanusa}}}}
| total_width = 480
| image1 = Mobius to Klein.gif
| caption1 = GluingDengan twomenempelkan dua strip Möbius, stripsakan tomembentuk formsebuah abotol Klein bottle
| image2 = MobiusStrip-02.png
| caption2 = ASebuah projectionproyeksi ofdari the Sudanesestrip Möbius stripSudan
}}
The edge, or [[Boundary (topology)|boundary]], of a Möbius strip is [[Homeomorphic|topologically equivalent]] to a [[circle]]. In common forms of the Möbius strip, it has a different shape from a circle, but it is [[Unknot|unknotted]], and therefore the whole strip can be stretched without crossing itself to make the edge perfectly {{nowrap|circular.{{r|hilbert-cohn-vossen}}}} One such example is based on the topology of the [[Klein bottle]], a one-sided surface with no boundary that cannot be embedded into three-dimensional space, but can be [[Immersion (mathematics)|immersed]] (allowing the surface to cross itself in certain restricted ways). A Klein bottle is the surface that results when two Möbius strips are glued together edge-to-edge, and{{snd}}reversing that process{{snd}}a Klein bottle can be sliced along a carefully chosen cut to produce two Möbius {{nowrap|strips.{{r|spivak}}}} For a form of the Klein bottle known as Lawson's Klein bottle, the curve along which it is sliced can be made circular, resulting in Möbius strips with circular {{nowrap|edges.{{r|ddg}}}}
Secara topologis, tepi atau [[Batas (topologi)|batas]] dari strip Möbius [[Homeomorfik|ekuivalen]] dengan sebuah [[circle|lingkaran]]. Dalam bentuk strip Möbius yang umum, batasnya mempunyai bentuk lingkaran yang berbeda, tetapi batasnya merupakan strip yang [[Unknot|tak dibuhul]]. Oleh sebab itu, seluruh permukaan strip dapat ditarik tanpa berpotongan diri agar tepinya menjadi melingkar dengan {{nowrap|sempurna.{{r|hilbert-cohn-vossen}}}} Contoh tersebut didasari pada [[botol Klein]], sebuah permukaan sepihak tanpa batas yang tidak dapat dibenamkan menjadi ruang dimensi tiga, tetapi dapat [[Celupan (matematika)|dicelup]] (yang dapat membuat permukaan berpotongan diri melalui cara terbatas). Botol Klein adalah permukaan yang dapat dihasilkan ketika ada dua buah strip Möbius ditempelkan dari tepi ke tepi, dan dengan membalikkan proses tersebut, sebuah botol Klein dapat diiris di sepanjang bagian yang dipotong sehingga menghasilkan dua buah pita {{nowrap|Möbius.{{r|spivak}}}} Kurva yang diiris di sepanjang bentuk dari botol Klein yang dikenal sebagai botol Klein Lawson dapat dibuat menjadi melingkar, sehingga menghasilkan strip Möbius strips dengan tepi yang {{nowrap|melingkar.{{r|ddg}}}}
Lawson's Klein bottle is a self-crossing [[minimal surface]] in the [[unit hypersphere]] of 4-dimensional space, the set of points of the form<math display="block">(\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,\cos2\theta\sin\phi,\sin2\theta\sin \phi)</math>for {{nowrap|<math>0\le\theta<\pi,0\le\phi<2\pi</math>.{{r|lawson}}}} Half of this Klein bottle, the subset with <math>0\le\phi<\pi</math>, gives a Möbius strip embedded in the hypersphere as a minimal surface with a [[great circle]] as its {{nowrap|boundary.{{r|schleimer-segerman}}}} This embedding is sometimes called the "Sudanese Möbius strip" after topologists Sue Goodman and Daniel Asimov, who discovered it in the {{nowrap|1970s.{{r|sudanese}}}} Geometrically Lawson's Klein bottle can be constructed by sweeping a great circle through a great-circular motion in the 3-sphere, and the Sudanese Möbius strip is obtained by sweeping a semicircle instead of a circle, or equivalently by slicing the Klein bottle along a circle that is perpendicular to all of the swept {{nowrap|circles.{{r|ddg|franzoni}}}} [[Stereographic projection]] transforms this shape from a three-dimensional spherical space into three-dimensional Euclidean space, preserving the circularity of its {{nowrap|boundary.{{r|ddg}}}} The most symmetric projection is obtained by using a projection point that lies on that great circle that runs through the midpoint of each of the semicircles, but produces an unbounded embedding with the projection point removed from its {{nowrap|centerline.{{r|schleimer-segerman}}}} Instead, leaving the Sudanese Möbius strip unprojected, in the 3-sphere, leaves it with an infinite group of symmetries isomorphic to the [[orthogonal group]] {{nowrap|<math>\mathrm{O}(2)</math>,}} the group of symmetries of a {{nowrap|circle.{{r|lawson}}}} ▼
▲Lawson'sBotol Klein bottleLawson is a self-crossingadalah [[ minimalpermukaan surfaceminimal]] inyang themenyilang diri dalam [[ unithiperbola hyperspheresatuan]] ofdari 4-dimensionalruang space,dimensi theempat. setBentuk oftersebut pointsmempunyai ofhimpunan the formtitik<math display="block">(\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,\cos2\theta\sin\phi,\sin2\theta\sin \phi)</math> foruntuk {{nowrap|<math>0\le\theta<\pi,0\le\phi<2\pi</math>.{{r|lawson}}}} HalfSetengah ofdari thisbotol Klein bottletersebut, thesubhimpunan subset withdengan <math>0\le\phi<\pi</math>, givesmemberikan asebuah strip Möbius stripyang embeddeddibenamkan indalam thebentuk hyperspherehiperbola assebagai apermukaan minimal surfacedengan withbatasnya ayang berupa {{nowrap|[[ greatlingkaran circlebesar]] as its {{nowrap|boundary.{{r|schleimer-segerman}}}} ThisPembenaman embeddingitu isterkadang sometimes called thedisebut " Sudanesestrip Möbius stripSudan" , dinamai dari ahli aftertopologi topologistsbernama Sue Goodman anddan Daniel Asimov , whoyang discoveredmenemukannya itpada in thetahun {{nowrap| 1970s1970-an.{{r|sudanese}}}} Geometrically , Lawson's Klein bottle can be constructed by sweeping a great circle through a great-circular motion in the 3-sphere, and the Sudanese Möbius strip is obtained by sweeping a semicircle instead of a circle, or equivalently by slicing the Klein bottle along a circle that is perpendicular to all of the swept {{nowrap|circles.{{r|ddg|franzoni}}}} [[Stereographic projection]] transforms this shape from a three-dimensional spherical space into three-dimensional Euclidean space, preserving the circularity of its {{nowrap|boundary.{{r|ddg}}}} The most symmetric projection is obtained by using a projection point that lies on that great circle that runs through the midpoint of each of the semicircles, but produces an unbounded embedding with the projection point removed from its {{nowrap|centerline.{{r|schleimer-segerman}}}} Instead, leaving the Sudanese Möbius strip unprojected, in the 3-sphere, leaves it with an infinite group of symmetries isomorphic to the [[orthogonal group]] {{nowrap|<math>\mathrm{O}(2)</math>,}} the group of symmetries of a {{nowrap|circle.{{r|lawson}}}}
[[Berkas:Cross-cap_level_sets.svg|jmpl|Schematic depiction of a cross-cap with an open bottom, showing its [[Level set|level sets]]. This surface crosses itself along the vertical line segment.]]
The Sudanese Möbius strip extends on all sides of its boundary circle, unavoidably if the surface is to avoid crossing itself. Another form of the Möbius strip, called the '''cross-cap''' or '''crosscap''', also has a circular boundary, but otherwise stays on only one side of the plane of this {{nowrap|circle,{{r|huggett-jordan}}}} making it more convenient for attaching onto circular holes in other surfaces. In order to do so, it crosses itself. It can be formed by removing a [[quadrilateral]] from the top of a hemisphere, orienting the edges of the quadrilateral in alternating directions, and then gluing opposite pairs of these edges consistently with this {{nowrap|orientation.{{r|flapan}}}} The two parts of the surface formed by the two glued pairs of edges cross each other with a [[Pinch point (mathematics)|pinch point]] like that of a [[Whitney umbrella]] at each end of the crossing {{nowrap|segment,{{r|richeson}}}} the same topological structure seen in Plücker's {{nowrap|conoid.{{r|francis}}}}
== Penerapan ==
[[Berkas:Möbius_resistor.svg|jmpl|Electrical flow in a [[Möbius resistor]]]]
Adapun penerapan pitastrip Möbius yang telah dibahas di atas, seperti desain sabuk mekanis yang memakai di seluruh permukaannya dengan rata, dan konoid Plücker dalam desain gerigi. Selain itu, ada penerapan lain mengenai pitastrip Möbius, seperti:
* [[Graphene]] ribbons twisted to form Möbius strips with new electronic characteristics including helical magnetism{{r|graphene}}
|
