Bilangan prima: Perbedaan antara revisi

[[Berkas:Primes-vs-composites.svg|al=Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but prime numbers cannot|jmpl|Bilangan komposit dapat disusun menjadi [[persegi panjang]], sedangkan bilangan prima tidak dapat.]]

 

Sifat-sifat yang menjadikan bilangan prima disebut '''primalitas'''. Metode sederhana namun lambat yang memeriksa primalitas untuk bilangan <math>n</math>, disebut [[pembagian percobaan]]. Metode ini menguji apakah <math>n</math> kelipatan dari suatu bilangan bulat antara <math>2</math> dan <math>\sqrt{n}</math>. Algoritma lebih cepatnya adalah [[uji primalitas Miller–Rabin]], algoritma cepat namun memiliki kesempatan galat kecil; dan [[uji primalitas Agrawal–Kayal–Saxena]], algoritma yang selalu memberikan solusi yang benar dalam [[waktu polinomial]], namun sangat lambat bila dipraktekkan. Metode cepat khususnya tersedia dalam bilangan bentuk khusus, seperti [[bilangan Mersenne]]. Hingga pada Desember 2018, [[bilangan prima terbesar yang diketahui]] merupakan [[bilangan prima Mersenne]] dengan 24.862.048 [[digit]].<ref>{{Cite web|title=51st Known Mersenne Prime Discovered|url=https://www.mersenne.org/primes/press/M82589933.html|website=www.mersenne.org|access-date=21 Desember 2018}}</ref>

 

 

Beberapa masalah-masalah bersejarah yang melibatkan bilangan prima masih belum terpecahkan. Masalah di antaranya [[konjektur Goldbach]], yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 dapat dibentuk sebagai jumlah dua bilangan prima, dan [[konjektur bilangan prima kembar]], menyatakan bahwa ada tak berhingga banyaknya pasangan bilangan prima yang memiliki sebuah bilangan genap di antaranya. Masalah-masalah tersebut mendorong pengembangan berbagai cabang dalam teori bilangan, yang fokus pada aspek bilangan [[Teori bilangan analitik|analitik]] atau bilangan [[Teori bilangan aljabar|aljabar]]. Dalam kehidupan sehari-hari, bilangan prima dipakai dalam [[teknologi informasi]], seperti [[kriptografi kunci publik]], yang bergantung pada kesulitan memfaktorkan bilangan yang lebih besar menjadi faktor bilangan prima. Dalam [[aljabar abstrak]], objek yang umumnya berperilaku sebagai bilangan prima di antaranya [[elemen bilangan prima]] dan [[ideal bilangan prima]].

 

== Definisi dan contoh ==

[[Berkas:Prime_number_Cuisenaire_rods_7.png|jmpl|260x260px|Gambaran melalui [[batang Cuisenaire]] bahwa 7 adalah bilangan prima. Karena 2, 3, 4, 5, atau 6 yang tidak dapat membagi 7 secara merata.]]

 

Berikut adalah 25 bilangan prima pertama (semua bilangan prima yang lebih kecil dari 100):<ref name="ziegler2">{{cite journal|last=Ziegler|first=Günter M.|author-link=Günter M. Ziegler|year=2004|title=The great prime number record races|journal=[[Notices of the American Mathematical Society]]|volume=51|issue=4|pages=414–416|mr=2039814}}</ref>

 

 

Tidak ada [[bilangan genap]] <math>n</math> yang lebih besar dari 2 adalah bilangan prima karena bilangannya dapat dibentuk sebagai hasil kali <math display="inline">2 \times \frac{n}{2}</math>. Karena itu, setiap bilangan prima selain dari 2 adalah [[bilangan ganjil]], dan bilangan tersebut disebut ''bilangan prima ganjil''.<ref>{{Cite book|last=Stillwell|first=John|date=1997-10-30|url=https://books.google.com/books?id=4elkHwVS0eUC&pg=PA9|title=Numbers and Geometry|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-98289-2|pages=9|language=en|url-status=live}}</ref> Ketika ditulis dalam sistem desimal biasa dengan cara yang serupa, semua bilangan prima yang lebih besar dari 5 berakhir dengan digit satuan 1, 3, 7, atau 9. Bilangan yang berakhir dengan digit satuan yang berbeda adalah bilangan komposit: bilangan desimal yang digit satuannya adalah 0, 2, 4, 6, atau 8 adalah bilangan genap, dan bilangan desimal yang berakhir dengan digit satuan 0 dan 5 habis dibagi 5.<ref>[[Waclaw Sierpiński|Sierpiński, Wacław]] (1964). ''[[iarchive:selectionproblem00sier|A Selection of Problems in the Theory of Numbers]]''. New York: Macmillan. hlm. [[iarchive:selectionproblem00sier/page/n37|40]]. MR [https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0170843 0170843].</ref>

[[Papirus Matematika Rhind]] dari sekitar tahun 1550 SM, memiliki perluasan [[pecahan Mesir]] dalam bentuk yang berbeda untuk bilangan prima dan bilangan komposit.<ref>Bruins, Evert Marie, review in ''Mathematical Reviews'' of {{cite journal | last = Gillings | first = R.J. | doi = 10.1007/BF01307175 | journal = Archive for History of Exact Sciences | mr = 0497458 | pages = 291–298 | title = The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it? | volume = 12 | issue = 4 | year = 1974| s2cid = 121046003 }}</ref> Namun, catatan sejarah pertama kali yang mempelajari bilangan prima dengan eksplisit berasal dari [[matematika Yunani kuno]].. ''[[Elemen Euklides|Elemen]]'' dari [[Euklides]] (300 SM) membuktikan [[bilangan prima tak-hingga]] dan [[teorema dasar aritmetika]], dan menunjukkan cara membuat [[bilangan sempurna]] dari [[prima Mersenne]].<ref name="stillwell-2010-p40">{{cite book|title=Mathematics and Its History|series=Undergraduate Texts in Mathematics|first=John|last=Stillwell|author-link=John Stillwell|edition=3rd|publisher=Springer|year=2010|isbn=978-1-4419-6052-8|page=40|url=https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA40}}</ref> Penemuan Yunani lainnya yaitu [[tapis Eratosthenes]] masih digunakan untuk menyusun daftar bilangan prima.<ref name="pomerance-sciam">{{cite journal|title=The Search for Prime Numbers|first=Carl|last=Pomerance|author-link=Carl Pomerance|journal=[[Scientific American]]|volume=247|issue=6|date=December 1982|pages=136–147|jstor=24966751|doi=10.1038/scientificamerican1282-136|bibcode=1982SciAm.247f.136P}}</ref><ref name="mollin">{{cite journal | last = Mollin | first = Richard A. | doi = 10.2307/3219180 | issue = 1 | journal = Mathematics Magazine | mr = 2107288 | pages = 18–29 | title = A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers) | volume = 75 | year = 2002| jstor = 3219180 }}</ref>

 

 

Pada 1640, [[Pierre de Fermat]] menyatakan [[teorema kecil Fermat]] tanpa bukti, yang kemudian dibuktikan oleh [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] dan [[Leonhard Euler|Euler]].<ref>{{harvnb|Sandifer|2007}}, [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA45 8. Fermat's Little Theorem (November 2003), hal. 45]</ref> Fermat juga menyelidiki primalitas dari [[bilangan Fermat]] <math>2^{2^n}+1</math>,<ref>{{cite book|title=How Euler Did Even More|first=C. Edward|last=Sandifer|publisher=Mathematical Association of America|year=2014|isbn=978-0-88385-584-3|page=42|url=https://books.google.com/books?id=3c6iBQAAQBAJ&pg=PA42}}</ref> dan [[Marin Mersenne]] mempelajari [[prima Mersenne]], bilangan prima dari bentuk <math>2^p-1</math> dengan <math>p</math> sendiri adalah bilangan prima.<ref>{{cite book|title=Elementary Number Theory with Applications|first=Thomas|last=Koshy|publisher=Academic Press|year=2002|isbn=978-0-12-421171-1|page=369|url=https://books.google.com/books?id=-9pg-4Pa19IC&pg=PA369}}</ref> Dalam surat tahun 1742 untuk Euler, [[Christian Goldbach]] merumuskan [[konjektur Goldbach]], bahwa setiap bilangan genap adalah jumlah dari dua bilangan prima.<ref>{{cite book|title=Goldbach Conjecture|edition=2nd|volume=4|series=Series In Pure Mathematics|first=Wang|last=Yuan|publisher=World Scientific|year=2002|isbn=978-981-4487-52-8|page=21|url=https://books.google.com/books?id=g4jVCgAAQBAJ&pg=PA21}}</ref> Euler membuktikan konjektur Alhazen (yang saat ini disebut [[teorema Euklides–Euler]]) bahwa semua bilangan sempurna genap dapat dibangun dari bilangan prima Mersenne.<ref name="stillwell-2010-p40"/> Ia memperkenalkan metode dari [[analisis matematis]] ke cabang ini dalam bukti ketakterhinggaan bilangan prima dan [[kedivergenan jumlah timbal-balik bilangan prima]] <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{7}+\tfrac{1}{11}+\cdots</math>.<ref>{{cite book|last=Narkiewicz|first=Wladyslaw|year=2000|title=The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood|publisher=Springer|isbn=978-3-540-66289-1|series=Springer Monographs in Mathematics|page=11|contribution=1.2 Sum of Reciprocals of Primes|contribution-url=https://books.google.com/books?id=VVr3EuiHU0YC&pg=PA11}}</ref> Pada awal abad ke-19, Legendre dan Gauss menduga bahwa ketika <math>x</math> menuju ke takhingga, jumlah bilangan prima hingga <math>x</math> [[Analisis asimptotik|asimptotik]] ke <math>\tfrac{x}{\log x}</math>, dimana <math>\log x</math> melambangkan [[logaritma natural]] dari <math>x</math>. Versi lemah [[postulat Bertrand]] yang mengatakan bahwa untuk setiap <math>n > 1</math>, terdapat bilangan prima di antara <math>n</math> dan <math>2n</math>, dibuktikan oleh [[Pafnuty Chebyshev]] pada tahun 1852.<ref>{{cite journal|last=Tchebychev|first=P.|author-link=Pafnuty Chebyshev|year=1852|title=Mémoire sur les nombres premiers.|url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1852_1_17_A19_0.pdf|journal=Journal de mathématiques pures et appliquées|series=Série 1|language=fr|pages=366–390}}. (Proof of the postulate: 371–382). Also see Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, vol. 7, pp. 15–33, 1854</ref> Gagasan [[Bernhard Riemann]] dalam [[On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude|makalahnya tahun 1859 tentang fungsi zeta]] menggambarkan sebuah garis besar dalam membuktikan konjektur Legendre dan Gauss. Walaupun gagasannya yang berkaitan dengan [[hipotesis Riemann]] masih belum terpecahkan, namun garis besar Riemann diselesaikan oleh [[Jacques Hadamard|Hadamard]] dan [[Charles Jean de la Vallée-Poussin|de la Vallée Poussin]] pada tahun 1896, dan hasilnya saat ini dikenal sebagai [[teorema bilangan prima]].<ref>{{cite book|last=Apostol|first=Tom M.|year=2000|title=Number Theory|location=Basel|publisher=Birkhäuser|editor1-last=Bambah|editor1-first=R.P.|series=Trends in Mathematics|pages=1–14|contribution=A centennial history of the prime number theorem|mr=1764793|author-link=Tom M. Apostol|editor2-last=Dumir|editor2-first=V.C.|editor3-last=Hans-Gill|editor3-first=R.J.|contribution-url=https://books.google.com/books?id=aiDyBwAAQBAJ&pg=PA1}}</ref> Hasil penting lainnya pada abad ke-19 adalah [[teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika]], [[barisan aritmetika]] pasti memuat tak berhingga banyaknya bilangan prima.<ref>{{cite book|last=Apostol|first=Tom M.|year=1976|title=Introduction to Analytic Number Theory|location=New York; Heidelberg|publisher=Springer-Verlag|pages=146–156|contribution=7. Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetical Progressions|mr=0434929|author-link=Tom M. Apostol|contribution-url=https://books.google.com/books?id=3yoBCAAAQBAJ&pg=PA146}}</ref>

 

 

Sejak tahun 1951, semua [[bilangan prima terbesar yang diketahui]] telah ditemukan menggunakan uji ini pada [[komputer]].{{efn|Sebuah bilangan prima 44-digit yang ditemukan pada tahun 1951 oleh Aimé Ferrier dengan kalkulator mekanik tetap merupakan bilangan prima terbesar yang tidak ditemukan dengan bantuan komputer elektronik.<ref>{{cite book|title=The Once and Future Turing|first1=S. Barry|last1=Cooper|first2=Andrew|last2=Hodges|publisher=Cambridge University Press|year=2016|isbn=978-1-107-01083-3|pages=37–38|url=https://books.google.com/books?id=h12cCwAAQBAJ&pg=PA37}}</ref>}} Pencarian bilangan prima besar telah membangkitkan minat pada luar lingkaran matematika, melalui [[Great Internet Mersenne Prime Search]] dan proyek [[komputasi distribusi]] lainnya.<ref name="ziegler2" /><ref>{{harvnb|Rosen|2000}}, hal. 245.</ref> Gagasan bahwa bilangan prima memiliki beberapa penerapan diluar [[matematika murni]],{{efn|name="pure"|Misalnya, Beiler menulis bahwa ahli teori bilangan [[Ernst Kummer]] menyukai [[bilangan ideal]] miliknya, yang terkait erat dengan bilangan prima, "karena mereka tidak mengotori diri mereka dengan aplikasi praktis apa pun",<ref>{{cite book|title=Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains|first=Albert H.|last=Beiler|year=1999|publisher=Dover|orig-year=1966|isbn=978-0-486-21096-4|page=2|url=https://books.google.com/books?id=NbbbL9gMJ88C&pg=PA2|oclc=444171535}}</ref> bahkan Katz menulis bahwa [[Edmund Landau]] yang dikenal karena karyanya tentang distribusi bilangan prima yaitu "''loathed practical applications of mathematics''" dan untuk alasan tersebut untuk menghindari subjek seperti [[geometri]] yang telah terbukti berguna.<ref>{{cite journal | last = Katz | first = Shaul | doi = 10.1017/S0269889704000092 | issue = 1–2 | journal = Science in Context | mr = 2089305 | pages = 199–234 | title = Berlin roots&nbsp;– Zionist incarnation: the ethos of pure mathematics and the beginnings of the Einstein Institute of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem | volume = 17 | year = 2004| s2cid = 145575536 }}</ref>}} sekitar tahun 1970-an ketika [[kriptografi kunci publik]] dan [[RSA (sistem kripto)|RSA]] sistem kripto ditemukan dengan menggunakan bilangan prima sebagai basisnya.<ref name="ent-7">{{cite book|title=Elementary Number Theory|series=Textbooks in mathematics|first1=James S.|last1=Kraft|first2=Lawrence C.|last2=Washington|publisher=CRC Press|year=2014|isbn=978-1-4987-0269-0|page=7|url=https://books.google.com/books?id=4NAqBgAAQBAJ&pg=PA7}}</ref>

tidak pernah berakhir. Karena pertama kali yang membuktikan pernyataan ini adalah Euklides, pernyataan tersebut disebut teorema Euklides untuk menghormati matematikawan Yunani Kuno [[Euklides]]. Masih ada bukti mengenai ketakterhinggaan bilangan prima, diantaranya: bukti [[Analisis matematika|analitik]] oleh [[Leonhard Euler|Euler]], [[Bilangan Fermat#Sifat-sifat dasar|bukti]] [[Christian Goldbach|Goldbach]] berdasarkan [[bilangan Fermat]],<ref>[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0722.pdf Letter] in [[Latin]] from Goldbach to Euler, July 1730.</ref> [[Bukti Furstenberg tentang ketakterhinggaan bilangan prima|bukti Furstenberg melalui topologi umum]],<ref>{{Cite journal|last1=Furstenberg|first1=Harry|year=1955|title=On the infinitude of primes|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=62|issue=5|pages=353|doi=10.2307/2307043|jstor=2307043|mr=0068566|author1-link=Hillel Furstenberg}}</ref> dan bukti elegan [[Ernst Kummer|Kummer]].<ref>{{cite book|last1=Ribenboim|first1=Paulo|year=2004|url=https://books.google.com/books?id=SvnTBwAAQBAJ&pg=PA5|title=The little book of bigger primes|location=Berlin; New York|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-20169-6|page=4|author1-link=Paulo Ribenboim}}</ref>

 

 

: <math> N = 1 + p_1\cdot p_2\cdots p_n </math>.

=== Rumus untuk bilangan prima ===

{{Main|Rumus untuk bilangan prima}}

 

Contoh rumus yang menghasilkan bilangan prima lainnya berasal dari [[teorema Mills]] dan teorema [[E. M. Wright|Wright]]. Rumus ini mengatakan bahwa terdapat suatu konstanta real <math>A > 1</math> dan <math>\mu</math> sehingga

 

=== Pertanyaan terbuka ===

 

== Sifat-sifat analitik ==

===Aritmetika modular dan medan berhingga===

{{Main|Aritmetika modular}}

Bilangan asli lainnya dapat dipetakan ke dalam sistem ini dengan menggantinya dengan sisa setelah pembagian dengan <math>n</math>.<ref>{{harvtxt|Kraft|Washington|2014}}, [https://books.google.com/books?id=VG9YBQAAQBAJ&pg=PA96 Proposisi 5.3], hal. 96.</ref> Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian modular dihitung dengan melakukan penggantian yang sama dengan sisa hasil penjumlahan, pengurangan, atau perkalian bilangan bulat.<ref>{{cite book|title=Algebra in Action: A Course in Groups, Rings, and Fields|volume=27|series=Pure and Applied Undergraduate Texts|first=Shahriar|last=Shahriari|author-link= Shahriar Shahriari |publisher=American Mathematical Society|year=2017|isbn=978-1-4704-2849-5|pages=20–21|url=https://books.google.com/books?id=GJwxDwAAQBAJ&pg=PA20}}</ref> Kesamaan bilangan bulat sesuai dengan ''kongruensi'' dalam aritmetika modular:

 

Beberapa teorema tentang bilangan prima dirumuskan menggunakan aritmetika modular. Misalnya, [[teorema kecil Fermat]] menyatakan bahwa jika <math>a\not\equiv 0</math> (mod <math>p</math>), maka <math>a^{p-1}\equiv 1</math> (mod <math>p</math>).<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, Teorema kecil Fermat dan akar primitif modulo a prima, hal. 17–21.</ref> Menjumlahkan dari semua pilihan <math>a</math> diberikan persamaan

===Bilangan ''p''-adik===

{{main|bilangan P-adik}}

 

Urutan dari sebuah gambar, nilai absolut, dan medan lengkap yang diturunkan dari bilangan <math>p</math>-adik digeneralisasikan ke [[medan bilangan aljabar]] dan [[Penilaian (aljabar)|penilaian-penilaian]] tersebut (pemetaan tertentu dari Medan [[grup perkalian]] ke [[grup terurut total|grup aditif terurut total]] disebut juga sebagai urutan), [[Nilai absolut (aljabar)|nilai absolut]] (pemetaan perkalian tertentu dari medan ke bilangan real disebut juga sebagai norma),<ref name="childress">{{cite book | last = Childress | first = Nancy | doi = 10.1007/978-0-387-72490-4 | isbn = 978-0-387-72489-8 | mr = 2462595 | pages = 8–11 | publisher = Springer, New York | series = Universitext | title = Class Field Theory | url = https://books.google.com/books?id=RYdy4PCJYosC&pg=PA8 | year = 2009 }} Lihat pula hal. 64.</ref> dan tempat (ekstensi ke [[medan lengkap]] dimana medan yang diberikan adalah [[himpunan rapat]] disebut juga sebagai pelengkapan).<ref>{{cite book | last = Weil | first = André | author-link = André Weil | isbn = 978-3-540-58655-5 | mr = 1344916 | page = [https://archive.org/details/basicnumbertheor00weil_866/page/n56 43] | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin | series = Classics in Mathematics | title = Basic Number Theory | url = https://archive.org/details/basicnumbertheor00weil_866 | url-access = limited | year = 1995}} Namun perhatikan bahwa beberapa penulis seperti {{harvtxt|Childress|2009}} malah menggunakan "tempat" untuk mengartikan kelas norma yang setara.</ref> Perluasan dari bilangan rasional ke [[bilangan real]], misalnya adalah tempat dimana jarak antara bilangan adalah [[nilai absolut]] biasa dari perbedaannya. Pemetaan yang sesuai ke grup aditif akan menjadi [[logaritma]] dari nilai absolut, meskipun ini tidak memenuhi semua persyaratan penilaian. Menurut [[teorema Ostrowski]], gagasan ekuivalen alami berhingga, bilangan real dan bilangan <math>p</math>-adik dengan urutan dan nilai absolutnya adalah satu-satunya penilaian, nilai absolut, dan tempat pada bilangan rasional.<ref name="childress"/> [[Prinsip lokal-global]] memungkinkan masalah tertentu atas bilangan rasional untuk diselesaikan dengan menyatukan solusi dari masing-masing tempat, sekali lagi menggarisbawahi pentingnya bilangan prima untuk teori bilangan.<ref>{{cite book | last = Koch | first = H. | doi = 10.1007/978-3-642-58095-6 | isbn = 978-3-540-63003-6 | mr = 1474965 | page = 136 | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin | title = Algebraic Number Theory | url = https://books.google.com/books?id=wt1sCQAAQBAJ&pg=PA136 | year = 1997| citeseerx = 10.1.1.309.8812 }}</ref>

=== Anggota bilangan prima dalam gelanggang ===

{{Main|Anggota bilangan prima|Anggota taktereduksi}}

[[Gelanggang komutatif]] merupakan [[struktur aljabar]] dimana penambahan, pengurangan dan perkalian didefinisikan. Bilangan bulatnya merupakan sebuah gelanggang, dan bilangan prima dalam bilangan bulat telah dirampat menjadi gelanggang melalui dua cara seperti ''anggota bilangan prima'' dan ''anggota taktereduksi''. Sebuah anggota <math>p</math> dari sebuah gelanggang <math>R</math> dikatakan bilangan prima jika <math>p</math> adalah bilangan taknol, tidak mempunyai [[invers perkalian]] (yang berarti, gelanggang bukanlah sebuah [[Unit (teori gelanggang)|unit]]), dan memenuhi syarat berikut: jika <math>p</math> membagi hasil kali <math>xy</math> dari dua anggota <math>R</math>, maka <math>p</math> juga membagi setidaknya <math>x</math> ataupun <math>y</math>. Sebuah anggota adalah taktereduksi jika sebuah anggota bukan merupakan sebuah unit maupun hasil kali dari dua anggota takunit lainnya. Dalam gelanggang bilangan bulat, anggota bilangan prima dan anggota taktereduksi membentuk himpunan yang sama,

 

=== Ideal prima ===

{{Main|Ideal prima}}

''Ideal prima'' yang dimana generalisasi elemen prima dalam arti bahwa [[ideal utama]] yang dihasilkan oleh elemen prima adalah ideal prima adalah alat dan objek studi penting dalam [[aljabar komutatif]], [[teori bilangan|teori bilangan aljabar]] dan [[geometri aljabar]]. Ideal prima dari gelanggang bilangan bulat adalah ideal (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... Teorema dasar aritmetika digeneralisasikan ke [[teorema Lasker–Noether]] disebutkan setiap ideal dalam [[gelanggang komutatif]] [[gelanggang Noetherian|Noetherian]] sebagai perpotongan [[ideal prima]] yang merupakan generalisasi yang tepat dari [[prima kuasa]].<ref>{{cite book | last1=Eisenbud | first1=David | author1-link= David Eisenbud | title=Commutative Algebra | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin; New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94268-1| mr=1322960 | year=1995 | volume=150 | at=Section 3.3| doi=10.1007/978-1-4612-5350-1 }}</ref>

 

 

=== Teori grup ===

 

==Catatan==

* [http://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM Tes primalitas Online Cepat dengan faktorisasi] menggunakan Metode Kurva Elliptik (hingga angka seribu digit, memerlukan Java).

* [http://www.bigprimes.net/ Basis data bilangan prima terbesar]

{{Authority control}}

{{Sistem Bilangan}}

{{Kelas bilangan asli}}

{{Portal bar|Matematika|Aritmetika}}

[[Kategori:Bilangan prima| ]]

[[Kategori:Urutan bilangan bulat]]