Aksioma: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
k clean up |
||
| (64 revisi perantara oleh 41 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Euklid fuenftes Postulat.png|jmpl|Aksioma Matematika yang disebut dengan postulat]]
'''Aksioma''', '''postulat''' atau '''asumsi''' adalah pernyataan yang berfungsi sebagai [[premis]] atau titik awal untuk alasan dan argumen lebih lanjut. Aksioma diartikan juga sebagai suatu pernyataan yang memuat istilah dasar dan istilah terdefinisi dan tidak berdiri sendiri dan tidak diuji kebenarannya.<ref>{{Cite book|edition=Cetakan kedua|title=Teka-teki terakhir|url=https://www.worldcat.org/oclc/1035214120|location=Jakarta|isbn=9786020302980|oclc=1035214120|first=Ihsani,|last=Annisa,}}</ref> Akan tetapi, aksioma dalam matematika '''bukan''' berarti proposisi yang terbukti dengan sendirinya. Melainkan, suatu titik awal dari [[Sistem Logika, Ratiosinatif dan Induktif|sistem logika]]. Misalnya, <math>1 + 1 = 2</math> Nama lain dari aksioma adalah '''[[postulat]]'''. Suatu aksioma adalah basis dari sistem [[logika]] formal yang bersama-sama dengan aturan inferensi mendefinisikan [[logika]]. Pada akhirnya aksioma merupakan sebuah pernyataan yang sudah pasti kebenarannya.<ref>{{Cite book|title=TeenLit: Teka-Teki terakhir|url=https://books.google.co.id/books?id=gkRFDwAAQBAJ&lpg=PA126&dq=aksioma%20adalah&hl=id&pg=PA126#v=onepage&q=aksioma%20adalah&f=false|publisher=Gramedia Pustaka Utama|date=2017-10-30|isbn=9786020302980|language=id|first=Annisa|last=Ihsani}}</ref>
Istilah aksioma paling umum digunakan sebagai istilah dalam matematika, sasaran atau objek penelahan matematika yang berupa fakta, konsep, operasi dan prinsip memerlukan metode tertentu dalam menemukan kebenaran atau keabsahan dari konsep yang terkandung didalamnya. Objek penelaahan tersebut menggunakan simbol-simbol yang kosong dari arti, artinya bahwa setiap simbol yang digunakan dalam matematika merupakan simbol abstrak. Ciri ini yang memungkinkan matematika dapat memasuki wilayah bidang studi atau cabang ilmu lain. Pada hakekatnya berpikir matematika itu dilandasi oleh kesepakatan-kesepakatan yang disebut aksioma. Karena itu matematika merupakan sistem yang aksiomatik.<ref>{{Cite book|title=Ilmu dalam perspektif|url=https://books.google.co.id/books?id=Jq_kZ68TuFAC&lpg=PP1&dq=Jujun%20S.Suriasumantri,%20Ilmu%20dalam%20Perspektif&hl=id&pg=PP1#v=onepage&q=Jujun%20S.Suriasumantri,%20Ilmu%20dalam%20Perspektif&f=false|publisher=Yayasan Obor Indonesia|date=1999|isbn=9789794612811|language=id}}</ref>
Salah satu fenomena tentang aksioma yang ada adalah Selama 2000 tahun aksioma tentang [[bilangan]] dan [[geometri]] dianggap sebagai suatu kebenaran yang pasti karena teorema merupakan konsekuensi logis dari aksioma, maka [[teorema]] pun dianggap sebagai kebenaran yang tidak terbantahkan lagi.
== Defenisi ==
Kata ''aksioma'' berasal dari [[bahasa Yunani]] kata {{Lang|grc|ἀξίωμα}} ''(Axioma),'' sebuah [[nomina verbal|verbal noun]] dari {{Lang|grc|ἀξιόειν}} kata kerja ''(Axioein),'' yang berarti "untuk menganggap layak", tetapi juga "membutuhkan", yang pada gilirannya berasal dari {{Lang|grc|ἄξιος}} ( ''áxios'' ), yang berarti "seimbang", dan karenanya "memiliki (sama) nilai (sebagai)", "layak", "pantas". Di antara para [[filsuf|filosof]] [[Yunani Kuno|Yunani kuno]], sebuah aksioma adalah klaim yang dapat dilihat sebagai kebenaran yang terbukti dengan sendirinya tanpa perlu pembuktian.<ref name=":0">{{Cite web|title=Axiom — Powszechna Encyklopedia Filozofii|url=http://www.ptta.pl/pef/haslaen/a/axiom.pdf|website=Polskie Towarzystwo Tomasza z Akwinu|access-date=23 Desember 2021}}</ref><ref>{{Cite book|last=Andayani|first=|year=2015|url=https://www.google.co.id/books/edition/Problema_dan_Aksioma/_fRECQAAQBAJ?hl=en&gbpv=1&dq=Problema+dan+Aksioma+dalam+Metodologi+Pembelajaran+Bahasa+Indonesia&printsec=frontcover|title=Problema dan Aksioma dalam Metodologi Pembelajaran Bahasa Indonesia|location=Yogyakarta|publisher=CV BUDI UTAMA|isbn=978-602-280-698-1|pages=63|url-status=live}}</ref>
Istilah aksioma juga dimengerti dalam [[matematika]].Kata aksioma dalam [[matematika]] juga disebut postulat. Arti dasar dari kata ''postulat'' adalah "menuntut"; misalnya, [[Euklides|Euclid]] menuntut agar seseorang setuju bahwa beberapa hal dapat dilakukan (misalnya, dua titik mana pun dapat digabungkan dengan garis lurus).<ref>Wolff, P. ''[https://123dok.com/document/zx9pjnoz-breakthroughs-in-mathematics-p-wolff.html Breakthroughs in Mathematics]'', 1963, New York: New American Library, halaman 47–48.</ref>
Geometri kuno mempertahankan beberapa perbedaan antara aksioma dan postulat. Saat mengomentari buku-buku Euclid, [[Proclus]] menyatakan bahwa " [[Gemini|Geminus]] berpendapat bahwa Postulat [4] ini tidak boleh digolongkan sebagai postulat tetapi sebagai aksioma, karena tidak, seperti tiga Postulat pertama, menegaskan kemungkinan beberapa konstruksi tetapi mengungkapkan suatu properti penting."<ref>[[T. L. Heath|Heath, T.]] 1956. ''[https://www.wilbourhall.org/pdfs/Heath_Euclid_II.pdf The Thirteen Books of Euclid's Elements]''. New York: Dover, halaman 200''.''</ref> [[Boethius]] menerjemahkan 'postulat' sebagai ''petitio'' dan menyebut aksioma ''notiones communes'' tetapi dalam manuskrip-manuskrip selanjutnya penggunaan ini tidak selalu dijaga dengan ketat.
== Sejarah ==
=== Yunani awal ===
Metode logika-deduktif dimana kesimpulan (pengetahuan baru) mengikuti dari premis (pengetahuan lama) melalui penerapan argumen suara ( [[silogisme]], [[kaidah penalaran|aturan inferensi]] ) dikembangkan oleh orang Yunani kuno, dan telah menjadi prinsip inti matematika modern. [[Tautologi (logika)|Tautologi]] dikecualikan, tidak ada yang dapat disimpulkan jika tidak ada yang diasumsikan. Aksioma dan postulat dengan demikian asumsi dasar yang mendasari tubuh tertentu pengetahuan deduktif. Mereka diterima tanpa demonstrasi. Semua pernyataan lain ( [[teorema]], dalam kasus matematika) harus dibuktikan dengan bantuan asumsi dasar ini. Namun, interpretasi pengetahuan matematika telah berubah dari zaman kuno ke modern, dan akibatnya istilah ''aksioma'' dan ''postulat'' memiliki arti yang sedikit berbeda untuk matematikawan masa kini, daripada yang mereka lakukan untuk [[Aristoteles]] dan [[Euklides|Euclid]].<ref name=":02">{{Cite web|title=Axiom — Powszechna Encyklopedia Filozofii|url=http://www.ptta.pl/pef/haslaen/a/axiom.pdf|website=Polskie Towarzystwo Tomasza z Akwinu}}</ref>
Orang Yunani kuno menganggap [[geometri]] hanya sebagai salah satu dari beberapa [[Ilmu|ilmu pengetahuan]], dan menganggap teorema geometri setara dengan fakta ilmiah. Dengan demikian, mereka mengembangkan dan menggunakan metode logika-deduktif sebagai sarana untuk menghindari kesalahan, dan untuk menyusun dan mengkomunikasikan pengetahuan. [[Analytica Posteriora|Analisis posterior]] Aristoteles adalah eksposisi definitif dari pandangan klasik. Sebuah "aksioma", dalam terminologi klasik, mengacu pada asumsi yang terbukti dengan sendirinya umum untuk banyak cabang ilmu pengetahuan. Contoh yang baik adalah pernyataan bahwa "''Ketika jumlah yang sama diambil dari yang sama, hasil jumlah yang sama."''
Di dasar berbagai ilmu terdapat [[hipotesis]] tambahan tertentu yang diterima tanpa bukti. Hipotesis semacam itu disebut ''postulat'' . Sementara aksioma yang umum untuk banyak ilmu pengetahuan, postulat masing-masing ilmu tertentu berbeda. Validitas mereka harus ditetapkan melalui pengalaman dunia nyata. Aristoteles memperingatkan bahwa isi suatu ilmu tidak dapat berhasil dikomunikasikan jika pelajar ragu-ragu tentang kebenaran postulat.<ref>Aristotle, ''[http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus:abo:tlg,0086,025:4 Metaphysics Bk IV]'', Chapter 3, 1005b "Physics also is a kind of Wisdom, but it is not the first kind. – And the attempts of some of those who discuss the terms on which truth should be accepted, are due to want of training in logic; for they should know these things already when they come to a special study, and not be inquiring into them while they are listening to lectures on it." W.D. Ross translation, in The Basic Works of Aristotle, ed. Richard McKeon, (Random House, New York, 1941)</ref>
Pendekatan klasik diilustrasikan dengan baik oleh [[Elemen Euklides|Euclid's Elements]], di mana daftar postulat diberikan (fakta geometris yang masuk akal diambil dari pengalaman kami), diikuti oleh daftar "gagasan umum" (sangat mendasar, self -pernyataan yang jelas).
==== Postulat ====
# Dimungkinkan untuk menggambar [[Garis (geometri)|garis lurus]] dari titik mana pun ke titik lainnya.
# Dimungkinkan untuk memperpanjang segmen garis secara terus menerus di kedua arah.
# Dimungkinkan untuk menggambarkan [[lingkaran]] dengan pusat dan jari-jari apa pun.
# Memang benar bahwa semua [[Sudut siku-siku|sudut siku]] -siku sama besar satu sama lain.
# (" [[Postulat paralel|Postulat Sejajar]] ") Memang benar bahwa, jika garis lurus yang jatuh pada dua garis lurus membuat [[Poligon|sudut-sudut]] dalam pada sisi yang sama kurang dari dua sudut siku-siku, dua garis lurus, jika dibuat tanpa batas, [[Persimpangan garis-garis|berpotongan]] pada sisi yang [[Sudut (geometri)|sudut yang]] lebih kecil dari dua sudut siku-siku.
==== Gagasan umum ====
# Hal-hal yang sama dengan hal yang sama juga sama satu sama lain.
# Jika sama ditambahkan ke sama, keutuhannya sama.
# Jika yang sama dikurangkan dari yang sama, maka sisanya adalah sama.
# Hal-hal yang bertepatan satu sama lain adalah sama satu sama lain.
# Keseluruhan lebih besar daripada bagian.
== Zaman modern ==
Pelajaran yang dipetik oleh matematika dalam 150 tahun terakhir adalah berguna untuk melepaskan makna dari pernyataan matematika (aksioma, postulat, [[Kalkulus proposisional|proposisi]], teorema) dan definisi. Seseorang harus mengakui perlunya [[gagasan primitif]], atau istilah atau konsep yang tidak ditentukan, dalam studi apa pun. Abstraksi atau formalisasi semacam itu membuat pengetahuan matematika lebih umum, mampu memiliki banyak arti yang berbeda, dan oleh karena itu berguna dalam berbagai konteks. [[Alessandro Padoa]], [[Mario Pieri]], dan [[Giuseppe Peano]] adalah pionir dalam gerakan ini.<ref name=":1">{{Citation|last=Raatikainen|first=Panu|title=Gödel's Incompleteness Theorems|date=2018|url=https://plato.stanford.edu/archives/fall2018/entries/goedel-incompleteness/|journal=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Fall 2018|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|access-date=23 Desember 2021}}</ref>
Matematika strukturalis melangkah lebih jauh, dan mengembangkan teori-teori dan aksioma (misalnya [[Medan (matematika)|teori medan]], [[Grup (matematika)|teori grup]], [[Ruang topologis|topologi]], [[ruang vektor]] ) ''tanpa'' aplikasi tertentu dalam pikiran. Perbedaan antara "aksioma" dan "postulat" menghilang. Postulat-postulat Euclid dimotivasi secara menguntungkan dengan mengatakan bahwa postulat-postulat itu mengarah pada kekayaan besar fakta-fakta geometris. Kebenaran dari fakta-fakta rumit ini bertumpu pada penerimaan hipotesis dasar. Namun, dengan membuang postulat kelima Euclid, seseorang bisa mendapatkan teori yang memiliki makna dalam konteks yang lebih luas (misalnya, [[geometri hiperbolik]] ). Dengan demikian, seseorang harus siap untuk menggunakan label seperti "garis" dan "paralel" dengan fleksibilitas yang lebih besar. Perkembangan geometri hiperbolik mengajarkan matematikawan bahwa berguna untuk menganggap postulat sebagai pernyataan formal murni, dan bukan sebagai fakta berdasarkan pengalaman.<ref name=":1" />
Ketika matematikawan menggunakan [[Medan (matematika)|aksioma lapangan]], niatnya bahkan lebih abstrak. Proposisi teori medan tidak menyangkut satu aplikasi tertentu; matematikawan sekarang bekerja dalam abstraksi lengkap. Ada banyak contoh bidang; teori medan memberikan pengetahuan yang benar tentang mereka semua.<ref name=":1" />
Tidak benar untuk mengatakan bahwa aksioma teori medan adalah "proposisi yang dianggap benar tanpa bukti". Sebaliknya, aksioma lapangan adalah satu set kendala. Jika ada sistem penjumlahan dan perkalian yang memenuhi batasan ini, maka seseorang berada dalam posisi untuk segera mengetahui banyak informasi tambahan tentang sistem ini.<ref name=":1" />
Matematika modern memformalkan fondasinya sedemikian rupa sehingga teori matematika dapat dianggap sebagai objek matematika, dan matematika itu sendiri dapat dianggap sebagai cabang [[logika]] . [[Gottlob Frege|Frege]], [[Bertrand Russell|Russell]], [[Henri Poincaré|Poincaré]], [[David Hilbert|Hilbert]], dan [[Kurt Gödel|Gödel]] adalah beberapa tokoh kunci dalam perkembangan ini.<ref name=":1" />
Pelajaran lain yang dipelajari dalam matematika modern adalah memeriksa bukti-bukti yang diakui secara hati-hati untuk asumsi-asumsi yang tersembunyi.<ref name=":1" />
Dalam pemahaman modern, seperangkat aksioma adalah [[kelas|kumpulan]] pernyataan yang dinyatakan secara formal yang diikuti oleh pernyataan lain yang dinyatakan secara formal – dengan penerapan aturan tertentu yang terdefinisi dengan baik. Dalam pandangan ini, logika hanya menjadi sistem formal lainnya. Serangkaian aksioma harus [[Konsistensi (logika)|konsisten]] ; seharusnya tidak mungkin untuk menurunkan kontradiksi dari aksioma. Serangkaian aksioma juga harus tidak berlebihan; pernyataan yang dapat disimpulkan dari aksioma lain tidak perlu dianggap sebagai aksioma.<ref name=":1" />
Itu adalah harapan awal ahli logika modern bahwa berbagai cabang matematika, mungkin semua matematika, dapat diturunkan dari kumpulan aksioma dasar yang konsisten. Keberhasilan awal dari program formalis adalah formalisasi Hilbert dari [[Geometri Euklides|geometri Euclidean]], dan demonstrasi terkait dari konsistensi aksioma tersebut.<ref name=":1" />
Dalam konteks yang lebih luas, ada upaya untuk mendasarkan semua matematika pada [[teori himpunan]] [[Georg Cantor|Cantor]] . Di sini, munculnya [[paradoks Russell]] dan antinomi serupa dari [[teori himpunan naif]] meningkatkan kemungkinan bahwa sistem semacam itu bisa berubah menjadi tidak konsisten.<ref name=":1" />
Proyek formalis mengalami kemunduran yang menentukan, ketika pada tahun 1931 Gödel menunjukkan bahwa adalah mungkin, untuk setiap set aksioma yang cukup besar ( aksioma [[Aksioma Peano|Peano]], misalnya) untuk membangun sebuah pernyataan yang kebenarannya tidak tergantung pada set aksioma tersebut. Sebagai [[akibat wajar]], Gödel membuktikan bahwa konsistensi teori seperti [[Aksioma Peano|aritmatika Peano]] adalah pernyataan yang tidak dapat dibuktikan dalam ruang lingkup teori itu.<ref name=":1" />
Masuk akal untuk percaya pada konsistensi aritmatika Peano karena dipenuhi oleh sistem [[bilangan asli]], [[Himpunan takhingga|sistem formal yang tak terbatas]] tetapi dapat diakses secara intuitif. Namun, saat ini, tidak ada cara yang diketahui untuk menunjukkan konsistensi [[aksioma Zermelo–Fraenkel]] modern untuk teori himpunan. Selanjutnya, dengan menggunakan teknik [[Memaksa (matematika)|pemaksaan]] ( [[Paul Cohen|Cohen]] ) seseorang dapat menunjukkan bahwa [[hipotesis kontinum]] (Cantor) tidak bergantung pada aksioma Zermelo–Fraenkel.<ref>{{Citation|last=Koellner|first=Peter|title=The Continuum Hypothesis|date=2019|url=https://plato.stanford.edu/archives/spr2019/entries/continuum-hypothesis/|journal=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Spring 2019|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|access-date=23 Desember 2021}}</ref> Jadi, bahkan rangkaian aksioma yang sangat umum ini tidak dapat dianggap sebagai landasan definitif untuk matematika.
== Logika matematika ==
Di bidang [[logika matematika]], perbedaan yang jelas dibuat antara dua pengertian aksioma: ''logis'' dan ''non-logis'' (agak mirip dengan perbedaan kuno antara "aksioma" dan "postulat" masing-masing).
=== Sistem aksioma ===
Ini adalah [[formula berbentuk rapi|rumus]] -rumus tertentu dalam [[bahasa formal]] yang [[Tautologi (logika)|berlaku universal]], yaitu rumus-rumus yang [[kepuasan|dipenuhi]] oleh setiap [[Tugas (logika matematika)|penetapan]] nilai. Biasanya seseorang mengambil sebagai aksioma logis ''setidaknya'' beberapa tautologi minimal yang cukup untuk membuktikan semua [[Tautologi (logika)|tautologi]] dalam bahasa; dalam kasus [[Logika predikat tingkat pertama|logika predikat]] aksioma lebih logis dari yang diperlukan, untuk membuktikan [[kebenaran logis]] yang tidak tautologi dalam arti yang ketat.
==== Contoh ====
Dalam [[Kalkulus proposisional|logika proposisional]] adalah umum untuk mengambil sebagai aksioma logis semua rumus dari bentuk berikut, di mana: <math>\phi</math>, <math>\chi</math>, dan <math>\psi</math> dapat berupa formula bahasa apa pun dan di mana [[Operator logika|penghubung primitif yang]] disertakan hanya " <math>\neg</math> " untuk [[negasi]] dari proposisi segera berikut dan " <math>\to</math> " untuk [[Konsekuensi logis|implikasi]] dari proposisi anteseden ke konsekuen<blockquote>
# <math>\phi \to (\psi \to \phi)</math>
# <math>(\phi \to (\psi \to \chi)) \to ((\phi \to \psi) \to (\phi \to \chi))</math>
# <math>(\lnot \phi \to \lnot \psi) \to (\psi \to \phi).</math>
</blockquote>Masing-masing pola ini adalah ''[[skema aksioma]]'', aturan untuk menghasilkan aksioma dalam jumlah tak terbatas. Misalnya, jika <math>A</math>, <math>B</math>, dan <math>C</math> adalah [[Variabel proposisional|variabel proposisi]], maka <math>A \to (B \to A)</math> dan <math>(A \to \lnot B) \to (C \to (A \to \lnot B))</math> keduanya merupakan contoh dari skema aksioma 1, dan karenanya merupakan aksioma. Dapat ditunjukkan bahwa hanya dengan tiga skema aksioma dan ''[[modus ponens]]'', seseorang dapat membuktikan semua tautologi kalkulus proposisional. Juga dapat ditunjukkan bahwa tidak ada pasangan skema ini yang cukup untuk membuktikan semua tautologi dengan ''modus ponens''.
== Lihat pula ==
{{Portal|Matematika|Filsafat}}
* [[Sistem aksiomatik]]
* [[Dogma]]
* [[Prinsip pertama]], aksioma dalam sains dan [[filsafat]]
* [[Daftar aksioma]]
* [[Teori model]]
* [[Regulæ Juris]]
* [[Teorema]]
* [[Presuposisi]]
* [[Hukum fisika]]
* [[Prinsip]]
== Referensi ==
{{reflist}}
== Bacaan lebih lanjut ==
* Mendelson, Elliot (1987). ''Introduction to mathematical logic.'' Belmont, California: Wadsworth & Brooks. {{ISBN|0-534-06624-0}}
* {{cite book|last=Wilson|first=John Cook|author-link=John Cook Wilson|title=[[s:On an Evolutionist Theory of Axioms|On an Evolutionist Theory of Axioms]]|year=1889|publisher=Clarendon Press|location=Oxford}}
== Pranala luar ==
{{Wiktionary|Aksioma}}
{{EB1911 poster|Aksioma}}
* {{PhilPapers|search|axiom}}
* {{planetmath|urlname=Axiom|title=Axiom}}
* [http://us.metamath.org/mpegif/mmset.html#axioms ''Metamath'' axioms page]
{{Logika matematika}}
{{Authority control}}
[[Kategori:Aksioma Matematika| ]]
[[Kategori:Istilah matematika]]
[[Kategori:Sistem formal]]
[[Kategori:Konsep dalam logika]]
[[Kategori:Asumsi (penalaran)]]
[[Kategori:Aljabar]]
[[Kategori:Logika]]
[[Kategori:Yunani Kuno]]
| |||