Tindakan grup (matematika): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Add 1 book for Wikipedia:Pemastian (20220509)) #IABot (v2.0.8.7) (GreenC bot |
NikolasKHF (bicara | kontrib) Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (2 revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan) | |||
Baris 34:
Grup {{mvar | G}} dikatakan bertindak atas {{mvar | X}} (dari kiri). Himpunan {{mvar | X}} bersama dengan tindakan{{mvar | G}} disebut ''himpunan''-{{mvar | G}} (''kiri'').
Dari dua tindakanoma ini, dapat disimpulkan bahwa untuk {{mvar | g}} tetap di {{mvar | G}}, fungsi dari {{mvar | X}} ke yang memetakan {{mvar | x}} ke {{math | '' g '' ⋅ '' x ''}} adalah [[bijeksi]], dengan bijeksi terbalik untuk peta yang sesuai {{math|''g''<sup>−1</sup>}}. Oleh karena itu, salah satunya dapat secara setara mendefinisikan tindakan grup {{mvar | G}} pada {{mvar | X}} sebagai homomorfisme grup dari {{mvar | G}} ke grup simetris {{math|Sym(''X'')}} dari semua bias dari {{mvar | X}} ke dirinya sendiri.<ref>This is done, for example, by {{cite book|author=Smith |title=Introduction to abstract algebra|year=2008|url={{Google books|plainurl=y|id=PQUAQh04lrUC|page=253|text=group action}}|page=253}}</ref>
=== Tindakan grup kanan ===
Baris 73:
Selanjutnya, jika ''G ''bekerja pada [[ruang topologi]] '' X '', maka tindakannya adalah:
*''[[Himpunan pengembaraan|Pengembaraan]]'' jika setiap titik ''x'' pada ''X ''memiliki lingkungan ''U '' sehingga <math>\{g \in G : g \cdot U \cap U \neq \emptyset\}</math> is terhingga.<ref name="Thurston 1980 p175">{{Citation | last1=Thurston | first1=William | title=The geometry and topology of three-manifolds | url=http://library.msri.org/books/gt3m/ | series=Princeton lecture notes | year=1980 | page=175 | accessdate=2020-12-25 | archive-date=2020-07-27 | archive-url=https://web.archive.org/web/20200727020107/http://library.msri.org/books/gt3m/ | dead-url=yes }}</ref> Misalnya, tindakan <math>\mathbb Z^n</math> pada <math>\mathbb R^n</math> oleh translasi mengembara. tindakan [[grup pengembaraan]] pada setengah bidang Poincaré juga mengembara.
*Jika '' X '' adalah [[ruang kompak lokal]] dan untuk setiap himpunan bagian kompak ''K'' ⊂ ''X'' thehimpunan <math>\{g \in G: gK \cap K \neq \emptyset \}</math> terbatas. Tindakan mengembara yang diberikan di atas juga terputus-putus. Di sisi lain, tindakan <math>\mathbb Z</math> pada <math>\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}</math> given by <math>n\cdot (x, y) = (2^n x, 2^{-n} y)</math> wendering dan bebas tetapi tidak terputus-putus dengan benar.{{sfn|Thurston|1980|p=176}}
*''{{visible anchor|Layak}}'' jika '' G '' adalah grup topologi dan peta dari <math>G \times X \rightarrow X \times X : (g,x) \mapsto (g \cdot x,x)</math> adalah [[Peta layak|layak]].<ref name="tom Dieck 1987 p29">{{Citation | last1=tom Dieck | first1=Tammo | title=Transformation groups | url=https://books.google.com/books?id=azcQhi6XeioC | publisher=Walter de Gruyter & Co. | location=Berlin | series=de Gruyter Studies in Mathematics | isbn=978-3-11-009745-0 | mr=889050 | year=1987 | volume=8 | page=29 | doi=10.1515/9783110858372.312}}</ref> Jika '' G '' adalah [[Grup diskrit|diskrit]] maka kesesuaian setara dengan diskontinuitas yang tepat untuk tindakan '' G ''.
Baris 118:
Jika '' G '' berhingga maka teorema penstabil orbit, bersama dengan [[Teorema Lagrange (teori grup)|Teorema Lagrange]], memberikan
:<math>|G\cdot x| = [G\,:\,G_x] = |G| / |G_x|,</math>
dengan kata lain panjang orbit '' x '' kali urutan penstabilnya adalah urutan grup. Secara khusus yang menyiratkan bahwa panjang orbit adalah [[pembagi]] dari ordo grup.
: '''Contoh:''' Misalkan '' G '' menjadi sekelompok orde utama '' p '' yang bekerja pada himpunan '' X '' dengan elemen '' k ''. Karena setiap orbit memiliki elemen 1 atau '' p '', setidaknya ada <math>k \bmod p</math> orbit dengan panjang 1 yang merupakan '' G '' elemen invarian.
Baris 125:
[[Berkas:Labeled cube graph.png|thumb|Grafik kubik dengan simpul berlabel]]
: '''Contoh:''' Kita dapat menggunakan teorema penstabil orbit untuk menghitung automorfisme dari sebuah [[Graf (matematika diskret)|graf]]. Pertimbangkan [[grafik kubik]] seperti yang digambarkan, dan biarkan '' G '' menunjukkan grup [[Graf keautomorfan|keautomorfan]]. Kemudian ''G ''bertindak pada himpunan verteks {1, 2, ..., 8}, dan tindakan ini bersifat transitif seperti yang dapat dilihat dengan menyusun rotasi di sekitar pusat [[kubus]]. Jadi, dengan teorema penstabil orbit, <math>|G| = |G\cdot1||G_1| = 8|G_1|</math>. Menerapkan teorema sekarang ke penstabil '' G ''<sub> 1 </sub>, kita bisa mendapatkan <math>|G_1| = |(G_1)\cdot2||(G_1)_2|</math>. Setiap elemen '' G '' yang menetapkan 1 harus mengirim 2 ke 2, 4, atau 5. Sebagai contoh automorfisme tersebut pertimbangkan rotasi di sekitar sumbu diagonal melalui 1 dan 7 oleh <math>2\pi/3</math> yang membolehkan 2,4,5 dan 3,6,8, dan fix 1 dan 7. Jadi, <math>\left|(G_1)\cdot2\right| = 3</math>. Menerapkan teorema untuk ketiga kalinya memberikan <math>|(G_1)_2| = |((G_1)_2)\cdot3||((G_1)_2)_3|</math>. Setiap elemen '' G '' yang menetapkan 1 dan 2 harus mengirim 3 ke 3 atau 6. Mencerminkan kubus di bidang melalui 1,2,7 dan 8 adalah automorfisme yang mengirim 3 hingga 6, jadi <math>\left|((G_1)_2)\cdot3\right| = 2</math>. Salah satunya juga melihat bahwa <math>((G_1)_2)_3</math> hanya terdiri dari automorfisme identitas, karena setiap elemen dari '' G '' yang memperbaiki 1, 2 dan 3 juga harus memperbaiki semua simpul lainnya, karena mereka ditentukan oleh kedekatannya dengan 1, 2 dan 3. Menggabungkan perhitungan sebelumnya, sekarang kita bisa mendapatkan <math>|G| = 8\cdot3\cdot2\cdot1 = 48</math>.
Hasil yang terkait erat dengan teorema penstabil orbit adalah [[lema Burnside]]:
Baris 159:
=== Lain ===
* {{Cite book|last1=Aschbacher|first1=Michael|author1-link=Michael Aschbacher|title=Finite Group Theory|url=https://archive.org/details/finitegrouptheor0000asch|publisher=Cambridge University Press|year=2000|mr=1777008 |isbn=978-0-521-78675-1}}
* Brown, Ronald (2006). [http://arquivo.pt/wayback/20160514115224/http://www.bangor.ac.uk/r.brown/topgpds.html ''Topology and groupoids''], Booksurge PLC, {{ISBN|1-4196-2722-8}}.
*[http://138.73.27.39/tac/reprints/articles/7/tr7abs.html Categories and groupoids, P.J. Higgins] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071007143558/http://138.73.27.39/tac/reprints/articles/7/tr7abs.html |date=2007-10-07 }}, downloadable reprint of van Nostrand Notes in Mathematics, 1971, which deal with applications of groupoids in group theory and topology.
| |||