Kalkulus: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) hindari kata "kita" per GAYA:MTK/NOKITA dan mengubah tulisan kalimat. Selain itu, kata "apabila" diganti dengan "jika" karena umumnya tidak ada yang menggunakan selain kata "jika" |
Tag: Pembatalan |
||
| (9 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{calculus}}
'''
|title=Calculus Concepts: An Applied Approach to the Mathematics of Change
|first1=Donald R.
Baris 14:
|isbn=0-618-78981-2
|page=2
|url=http://books.google.com/books?id=bQhX-3k0LS8C
|accessdate=2013-11-08
|archive-date=2023-03-27
|archive-url=https://web.archive.org/web/20230327123024/https://books.google.com/books?id=bQhX-3k0LS8C&hl=en
|dead-url=no
}}, [http://books.google.com/books?id=bQhX-3k0LS8C&pg=PA2 Chapter 1, p 2] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230327123025/https://books.google.com/books?id=bQhX-3k0LS8C&pg=PA2&hl=en |date=2023-03-27 }}</ref>
Kalkulus memiliki dua cabang utama, '''[[kalkulus diferensial]]''' dan '''[[integral|kalkulus integral]]''' yang saling berhubungan melalui [[teorema dasar kalkulus]]. Contoh cabang kalkulus yang lain adalah kalkulus proposisional, kalkulus variasi, kalkulus lambda, dan kalkulus proses. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari [[fungsi (matematika)|fungsi]] dan [[limit]], yang secara umum dinamakan [[analisis matematika]].<ref name=concepts/>
Baris 25 ⟶ 29:
=== Perkembangan ===
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu [[abad Kuno|zaman kuno]], [[abad Pertengahan|zaman pertengahan]], dan [[zaman modern]]. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis.<ref>Morris Kline, ''Mathematical thought from ancient to modern times'', Vol. I</ref> Perhitungan [[volume]] dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada [[Papirus Matematika Moskwa|Papirus Moskwa]] [[Mesir]] (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume [[piramid]]a terpancung.<ref name=Aslaksen>Helmer Aslaksen. [http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/calculus.html Why Calculus?] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20101014164501/http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/calculus.html |date=2010-10-14 }} [[Universitas Nasional Singapura|National University of Singapore]].</ref> [[Archimedes]] mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan [[heuristik]] yang menyerupai [[integral|kalkulus integral]].<ref>Archimedes, ''Method'', in ''The Works of Archimedes'' ISBN 978-0-521-66160-7</ref>
Pada zaman pertengahan, matematikawan [[India]], [[Aryabhata]], menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun [[499]] dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk [[persamaan diferensial]] dasar.<ref>
| publisher=School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland
| work=Biography of Madhava
Baris 37 ⟶ 41:
| dead-url=yes
}}</ref> yang dituliskan dalam teks ''[[Yuktibhasa]]''.<ref name="scotlnd">{{cite web
| publisher=School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland
| work=Indian Maths
| url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Indian_mathematics.html
| title=An overview of Indian mathematics
| accessdate=2006-07-07
| archive-date=2006-07-03
}}▼
| archive-url=https://web.archive.org/web/20060703002618/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Indian_mathematics.html
</ref><ref name="pdffile3">{{cite web▼
| dead-url=no
▲}}</ref><ref name="pdffile3">{{cite web
| publisher=Prof.C.G.Ramachandran Nair
| work=Government of Kerala — Kerala Call, September 2004
Baris 70 ⟶ 76:
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".<ref name=leibniz/>
Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus. Salah satu karya perdana yang paling lengkap mengenai analisis finit dan infinitesimal ditulis pada tahun 1748 oleh [[Maria Gaetana Agnesi]].<ref>{{cite web| url=http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/agnesi.htm| title=Maria Gaetana Agnesi| first=Elif| last=Unlu| month=April| year=1995| publisher
[[Berkas:Maria Gaetana Agnesi.jpg|jmpl|150px|ka|[[Maria Gaetana Agnesi]]]]
Baris 84 ⟶ 90:
{{see also|Daftar topik kalkulus}}
=== Limit dan kecil tak terhingga ===
{{main|Limit (matematika)}}
[[Berkas:Límite 01.svg|jmpl|300px|Definisi limit mengatakan bahwa ketika <math>x</math> mendekati titik <math>p</math>, maka limit <math>f(x)</math> mendekati <math>L</math>, jika untuk setiap bilangan <math>\varepsilon > 0</math>, terdapat bilangan <math>\delta > 0</math> sedemikian rupa sehingga <math display="block"> 0 < |x-p| <\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon </math>]]
Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan ''dx'' yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, {{Sfrac|1|2}}, {{Sfrac|1|3}}, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi "ciri-ciri Archimedes". Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.<ref name=Larson>{{Cite book|first1=Ron|last1=Larson|authorlink1=Ron Larson (mathematician)|first2=Bruce H.|last2=Edwards|title=Calculus of a single variable|edition=Ninth|publisher=[[Brooks/Cole]], [[Cengage Learning]]|year=2010|isbn=978-0-547-20998-2}}</ref>
Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep [[limit (matematika)]]. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu.<ref name=Larson/> Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:
{{quote|1=Diberikan fungsi <math>f(x)</math> yang didefinisikan pada interval di <math>p</math>, terkecuali mungkin pada <math>p</math> itu sendiri. Ketika <math>x</math> mendekati <math>p</math>, maka limit ''<math>f(x)</math>'' dapat dikatakan mendekati <math>L</math>, dan dituliskan sebagai:
Baris 134 ⟶ 140:
'''Notasi Lagrange''' diperkenalkan oleh [[Joseph-Louis de Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi <math>f(x)</math> ditulis sebagai <math>f'(x)</math> ataupun hanya <math>f'</math>.
'''Notasi Newton''', juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan.
'''Notasi [[Leonhard Euler|Euler]]''' menggunakan operator diferensial <math>D</math> yang diterapkan pada fungsi ''<math>f</math>'' untuk memberikan turunan pertamanya <math>Df</math>.
:<math>D_x y\,</math> atau <math>D_x f(x)\,</math>.
Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan [[persamaan diferensial|persamaan diferensial linear]].
Baris 172 ⟶ 178:
[[Berkas:Riemann.gif|jmpl|250px|ka|Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.]]
Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi [[integral Riemann]]. Integral Riemann didefinisikan sebagai limit dari "[[Jumlah Riemann|penjumlahan Riemann]]". Misalkan ingin mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi <math>f</math> pada interval tertutup <math>[a, b]</math>. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval <math>[a, b]</math> dapat dibagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan memilih sejumlah <math>n-1</math> titik <math>\{x_1,x_2,x_3,\dots,x_{n-1}\}</math> antara <math>a</math> dengan <math>b</math> sehingga memenuhi hubungan:<ref name=riemann>Bernard Riemann. "Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" (On the representability of a function by a trigonometric series; i.e., when can a function be represented by a trigonometric series). Makalah ini diserahkan kepada Universitas Göttingen pada tahun 1854 sebagai ''Habilitationsschrift'' Riemann (kualifikasi untuk menjadi instruktur). Diterbitkan pada tahun 1868 dalam ''Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen'' (Proceedings of the Royal Philosophical Society at Göttingen), vol. 13, hlm. 87-132. (dapat dibaca [http://books.google.com/books?id=PDVFAAAAcAAJ&pg=RA1-PA87 di sini] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230327123004/https://books.google.com/books?id=PDVFAAAAcAAJ&pg=RA1-PA87&hl=en |date=2023-03-27 }}.) Definisi integral Riemann, lihat bagian 4, "Über der Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit" (On the concept of a definite integral and the extent of its validity), hlm. 101-103.</ref>
::<math> a = x_0 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n = b . \,\!</math>
Baris 183 ⟶ 189:
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:<ref name="riemann" />
{{quote|1=Diberikan <math>f(x)</math> sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup <math>[a, b]</math>. Bilangan <math>I</math> dikatakan sebagai '''integral tertentu''' <math>f</math> di sepanjang <math>[a, b]</math> dan bahwa <math>I</math> adalah limit dari penjumlahan Riemann <math>\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i </math> jikamemenuhi syarat berikut: Untuk setiap bilangan <math>\varepsilon > 0</math>, terdapat sebuah bilangan <math>\delta > 0</math> yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupa untuk setiap partisi <math>P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}</math> di sepanjang <math>[a, b]</math> dengan <math>\lVert P \rVert < \delta </math> dan pilihan <math>t_i</math> apapun pada <math>[x_{k-1}, t_i]</math>, maka didapatkan▼
::<math>\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta x_i - I \right| < \varepsilon.</math>}}▼
▲Diberikan <math>f(x)</math> sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup <math>[a, b]</math>. Bilangan <math>I</math> dikatakan sebagai '''integral tertentu''' <math>f</math> di sepanjang <math>[a, b]</math> dan bahwa <math>I</math> adalah limit dari penjumlahan Riemann <math>\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i </math> jikamemenuhi syarat berikut: Untuk setiap bilangan <math>\varepsilon > 0</math>, terdapat sebuah bilangan <math>\delta > 0</math> yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupa untuk setiap partisi <math>P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}</math> di sepanjang <math>[a, b]</math> dengan <math>\lVert P \rVert < \delta </math> dan pilihan <math>t_i</math> apapun pada <math>[x_{k-1}, t_i]</math>, maka didapatkan
▲::<math>\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta x_i - I \right| < \varepsilon.</math>
▲</blockquote>Secara matematis dapat ditulis:
:<math>\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i = I = \int_a^b f(x)\,dx</math>
:<math>\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x = I = \int_a^b f(x)\,dx</math>
Baris 197 ⟶ 202:
;'''Contoh'''
Sebagai
<math>\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i</math>
Baris 217 ⟶ 222:
==== Integral tak tentu ====
Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, [[teorema dasar kalkulus]] ([[Kalkulus#teorema dasar kalkulus|lihat bagian bawah]]) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah
{{quote|1=Jika
:<math>F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x).</math>
Baris 226 ⟶ 230:
maka keseluruhan himpunan '''antiturunan'''/'''antiderivatif''' sebuah fungsi <math>f</math> adalah '''integral tak tentu''' ataupun '''primitif''' dari <math>f</math> terhadap <math>x</math> dan dituliskan secara matematis sebagai:
:<math>\int f(x) dx = F(x) + C</math>
▲}}
Bentuk <math>F(x) + C</math> adalah '''antiderivatif umum''' <math>f</math> dan <math>C</math> adalah konstanta sembarang.
Baris 234 ⟶ 238:
Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk <math>\int_a^b f(x) \, dx </math> adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu:<math>\int f(x) \, dx </math> adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang <math>C</math>.
=== Teorema dasar ===
Baris 240 ⟶ 245:
Teorema dasar kalkulus menyatakan:
{{quote|1=Jika sebuah fungsi <math>f</math> adalah [[Fungsi kontinu|kontinu]] pada interval <math>[a,b]</math> dan jika <math>F</math> adalah fungsi yang mana turunannya adalah <math>f</math> pada interval <math>(a,b)</math>, maka▼
▲Jika sebuah fungsi <math>f</math> adalah [[Fungsi kontinu|kontinu]] pada interval <math>[a,b]</math> dan jika <math>F</math> adalah fungsi yang mana turunannya adalah <math>f</math> pada interval <math>(a,b)</math>, maka
:<math>\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).</math>
Baris 247 ⟶ 251:
Lebih lanjut, untuk setiap <math>x</math> di interval <math>(a,b)</math>,
:<math>F'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x).</math>
Sebagai contoh, jika ingin menghitung nilai integral <math>\int_a^b x\, dx</math>, daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann ([[kalkulus#integral tertentu|lihat bagian atas]]), maka teorema dasar kalkulus dapat digunakan dalam menghitung nilai integral tersebut.
Baris 270 ⟶ 274:
Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, menggunakan perumusan kalkulus diferensial karena percepatan bisa dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan. [[Persamaan Maxwell|Teori elektromagnetik Maxwell]] dan teori relativitas [[Albert Einstein|Einstein]] juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.<ref name=concepts/>
==Lihat pula==
{{Portal|Matematika |Ilmu}}
== Referensi ==
{{Reflist|2}}
== Daftar
* Donald A. McQuarrie (2003). ''Mathematical Methods for Scientists and Engineers'', University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5
* James Stewart (2002). ''Calculus: Early Transcendentals'', 5th ed., Brooks Cole. ISBN 978-0-534-39321-2
Baris 306 ⟶ 312:
* [http://www.math.temple.edu/~cow/ COW: Calculus on the Web] di Universitas Temple
* [http://integrals.wolfram.com/ Online Integrator (WebMathematica)] dari Wolfram Research
* [http://www.ericdigests.org/pre-9217/calculus.htm The Role of Calculus in College Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210726234750/http://www.ericdigests.org/pre-9217/calculus.htm |date=2021-07-26 }} dari ERICDigests.org
* [http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/index.htm OpenCourseWare Calculus] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100505005607/http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/index.htm |date=2010-05-05 }} dari [[Institut Teknologi Massachusetts]]
* [http://eom.springer.de/I/i050950.htm Infinitesimal Calculus] Encyclopaedia of Mathematics, Michiel Hazewinkel ed. .
| |||