Deret Fourier: Perbedaan antara revisi

'''Deret Fourier''' ({{IPAc-en|ˈ|f|ʊr|i|eɪ|,_|-|i|ər}}<ref>{{Dictionary.com|Fourier}}</ref>) merupakan bentuk penguraian [[fungsi periodik]] berupa [[deret (matematika)|penjumlahan]] nilai gelombang [[sin]] dan [[cos]]. [[Frekuensi]] dari setiap gelombang dalam operasi penjumlahan (atau yang dikenal sebagai [[harmonisa]]) merupakan [[kelipatan (matematika)|kelipatan]] interger terhadap [[frekuensi fundamental]] dari fungsi periodik. Setiap [[fase (gelombang)|fase]] harmonisa dapat ditentukan dengan [[analisis harmonisa]]. Deret Fourier memiliki kemungkinan untuk memuat harmonisa dengan jumlah [[penjumlahan tak terhingga|tak terhingga]]. Hasil penjumlahan bagian harmonisa dari deretan tersebut tidak selalu menghasilkan nilai pendekatan terhadap fungsi tersebut. Sebagai contoh, menggunakan beberapa harmonisa awal dari deret Fourier terhadap [[gelombang persegi]] akan menghasilkan nilai pendekatan dari gelombang persegi.

 

 

==Definisi==

:<math>x \in [0,1],</math> dan <math>P=1.</math>

:<math>x \in [-\pi,\pi],</math> dan <math>P=2\pi.</math>

 

 

{{Equation box 1

:*Banyaknya teks memilih nilai <math>P=2\pi</math> untuk menyederhanakan argumen dari fungsi sinusoid.

 

Proses '''sintesis''' (Deret Fourier sebenarnya) adalah:

 

 

[[Berkas:Fourier transform, Fourier series, DTFT, DFT.svg|thumb|400px|Jika <math>s(t)</math> adalah fungsi yang terdapat dalam interval panjang <math>P</math> (dan nol di tempat lain), kuadran kanan atas adalah contoh dari koefisien deret Fourier Pada nilak (<math>A_n</math>) mungkin terlihat seperti ketika diplot terhadap frekuensi harmonik yang sesuai. Kuadran kiri atas adalah transformasi Fourier yang sesuai dari <math>s(t).</math> Penjumlahan deret Fourier (tidak diperlihatkan) mensintesis penjumlahan periodik <math>s(t),</math> sedangkan invers Fourier transform (tidak ditampilkan) hanya mensintesis <math>s(t).</math>]]

 

:<math>A_n\cdot \cos\left(\tfrac{2\pi nx}{P}-\varphi_n\right) \ \equiv \ \underbrace{A_n \cos(\varphi_n)}_{a_n}\cdot \cos\left(\tfrac{2\pi nx}{P}\right) + \underbrace{A_n \sin(\varphi_n)}_{b_n}\cdot \sin\left(\tfrac{2\pi nx}{P}\right),</math>

|background colour=#F5FFFA}}

 

{{main|Konvergensi Deret Fourier}}

Dalam aplikasi [[rekayasa]], deret Fourier umumnya dianggap berkumpul hampir di semua tempat (pengecualian berada pada diskontinuitas diskrit) karena fungsi yang ditemui dalam teknik berperilaku lebih baik daripada fungsi yang dapat diberikan oleh ahli matematika sebagai contoh tandingan untuk pres ini. Secara khusus, jika <math>s</math> kontinu dan turunan dari <math>s(x)</math> (yang mungkin tidak ada di semua tempat) adalah integratif persegi, kemudian deret Fourier <math>s</math> menyatu secara mutlak dan seragam ke nilai <math>s(x)</math>.<ref>{{cite book |title=Deret Fourier |first=Georgi P. |last=Tolstov |publisher=Courier-Dover |year=1976 |isbn=0-486-63317-9 |url=https://books.google.com/?id=XqqNDQeLfAkC&pg=PA82&dq=fourier-series+converges+continuous-function}}</ref> Jika suatu fungsi adalah [[Fungsi terintegrasi persegi|integral-persegi]] pada interval <math>[x_0,x_0+P]</math>, kemudian deret Fourier [[Teorema Carleson|menyatu dengan fungsi di hampir setiap titik]]. Konvergensi deret Fourier juga bergantung pada jumlah hingga maksimal dan minimal dalam suatu fungsi yang dikenal sebagai salah satu [[Kondisi dirichlet|Kondisi dirichlet untuk deret Fourier]]. Lihat [[Konvergensi seri Fourier]]. Koefisien Fourier dapat didefinisikan untuk fungsi atau distribusi yang lebih umum, dalam kasus seperti itu konvergensi dalam norma atau [[Konvergensi lemah (ruang Hilbert)|konvergensi lemah]] biasanya berupa inte.

 

<gallery widths="256" heights="256">

Example_of_Fourier_Convergence.gif |Contoh konvergensi ke fungsi yang agak sewenang-wenang. Perhatikan perkembangan "dering" (fenomena Gibbs) pada transisi ke / dari bagian vertikal.

</gallery>

Animasi interaktif dapat dilihat [http://bl.ocks.org/jinroh/7524988 lihat.]

 

[[Berkas:sawtooth pi.svg|thumb|right|400px|Plot dari [[gelombang gigi gergaji]], kelanjutan periodik dari fungsi linier <math>s(x)=x/\pi</math> on the interval <math>(-\pi,\pi]</math>]]

[[Berkas:Periodic identity function.gif|thumb|right|400px|Plot animasi dari lima seri Fourier parsial pertama yang berurutan]]

Contoh ini mengarahkan kita ke solusi untuk [[Masalah Basel]].

 

Perluasan deret Fourier dari fungsi kita pada Contoh 1 terlihat lebih rumit daripada rumus sederhana pada nilai <math>s(x)=x/ \pi</math>, jadi tidak segera jelas mengapa seseorang membutuhkan seri Fourier. Meskipun ada banyak penerapan, motivasi Fourier adalah dalam memecahkan [[persamaan panas]]. Misalnya, perhatikan pelat logam berbentuk persegi yang sisinya berukuran <math>\pi</math> meter, dengan koordinat <math>(x,y) \in [0,\pi] \times [0,\pi]</math>. Jika tidak ada sumber panas di dalam pelat, dan jika tiga dari empat sisi ditahan pada 0 derajat Celcius, sedangkan sisi keempat, diberikan oleh nilai <math>y=\pi</math>, dipertahankan pada gradien suhu <math>T(x,\pi)=x</math> derajat Celsius, untuk <math>x</math> pada nilai <math>(0,\pi)</math>, maka seseorang dapat menunjukkan bahwa distribusi panas stasioner (atau distribusi panas setelah periode waktu yang lama telah berlalu) diberikan oleh

: <math>T(x,y) = 2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) {\sinh(ny) \over \sinh(n\pi)}.</math>

Di sini, <math>\sinh</math> adalah sebuah [[fungsi hiperbolik]]. Solusi persamaan panas tersebut diperoleh dengan cara mengalikan &nbsp;{{EquationNote|Eq.7}} menurut nilai <math>\sinh(ny)/\sinh(n\pi)</math>.<!--While our example function <math>s(x)</math> seems to have a needlessly complicated Fourier series, the heat distribution <math>T(x,y)</math> is nontrivial. The function <math>T</math> cannot be written as a [[closed-form expression]]. This method of solving the heat problem was made possible by Fourier's work.-->

 

 

Tabel ini menunjukkan beberapa operasi matematika dalam domain waktu dan efek yang sesuai dalam koefisien deret Fourier. Notasi:

* <math>z^{*}</math> adalah [[konjugasi kompleks]] dari fungsi <math>z</math>.

 

=== Properti simetri ===

 

\begin{array}{rccccccccc}

\text{Domain waktu} & f & = & f_{_{\text{RE}}} & + & f_{_{\text{RO}}} & + & i f_{_{\text{IE}}} & + &\underbrace{i\ f_{_{\text{IO}}}} \\

&\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F}\\

\end{array}

</math>

</math>

 

Notasi pada nilai <math>c_n</math> tidak memadai untuk membahas koefisien Fourier dari beberapa fungsi yang berbeda. Oleh karena itu, biasanya diganti dengan bentuk fungsi yang dimodifikasi (<math>s</math>, dalam kasus ini), seperti <math>\hat{s}(n)</math> atau <math>S[n]</math>, dan notasi fungsional sering menggantikan langganan:

 

Karena integral yang mendefinisikan transformasi Fourier dari fungsi periodik tidak konvergen, penting untuk melihat fungsi periodik dan transformasinya sebagai [[Distribusi (matematika) | distribusi]]. Dalam arti ini <math>\mathcal{F} \{ e^{i \frac{2\pi nx}{P} } \}</math> adalah [[Fungsi delta Dirac]], yang merupakan contoh distribusi.

}}

 

== Referensi ==

 

== Pranala luar ==

* [http://www.jhu.edu/~signals/phasorapplet2/phasorappletindex.htm Phasor Phactory] Allows custom control of the harmonic amplitudes for arbitrary terms

* [http://www.falstad.com/fourier/ Java applet] Ekspansi deret Fourier untuk fungsi sembarang

* [http://www.e-dsp.com/8/ Fourier series explanation] - pendekatan nonmatematis sederhana

* {{MathWorld | urlname= FourierSeries | title= Fourier Series}}