Persamaan kubik: Perbedaan antara revisi

Persamaan kubik dikenal oleh orang-orang Babilonia, Yunani, Tionghoa, India, dan Mesir kuno.<ref>{{Citation|last = Høyrup|first = Jens|title = Amphora: Festschrift for Hans Wussing on the Occasion of his 65th Birthday|chapter = The Babylonian Cellar Text BM 85200 + VAT 6599 Retranslation and Analysis|pages = 315–358|publisher = [[Birkhäuser]]|year = 1992|doi = 10.1007/978-3-0348-8599-7_16|isbn = 978-3-0348-8599-7}}</ref><ref name="oxf"/><ref name=wae/> Papan aksara paku [[Babilonia]] (abad ke-20 sampai ke-16 SM) telah ditemukan berisi tabel untuk menghitung kubik dan akar kubik.<ref>{{cite book|last=Cooke|first=Roger|title=The History of Mathematics|url=https://books.google.com/?id=CFDaj0WUvM8C&pg=PT63|date=8 November 2012|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-46029-0|page=63}}</ref><ref name="nen"/> Orang-orang Babilonia mungkin telah menggunakan tabel-tabel tersebut untuk menyelesaikan persamaan kubik, tetapi tidak ada bukti yang mengonfirmasinya.<ref name=co/> Masalah [[menggandakan kubus]] melibatkan persamaan kubik yang paling sederhana dan tua, dan dipercayai oleh orang-orang Mesir kuno tidak memiliki penyelesaian.<ref>{{Harvtxt|Guilbeau|1930|p=8}} menyatakan bahwa "orang-orang Mesir menganggap bahwa tidak mungkin ada penyelesaiannya, tetapi orang-orang Yunani lebih dekat menemukan penyelesaian."</ref> Pada abad ke-5 SM, [[Hippokrates dari Khios|Hippokrates]] mereduksi masalah ini menjadi masalah mencari rata-rata geometri antara suatu garis dengan garis lain yang dua kali lipat panjangnya, tetapi tidak bisa menyelesaikan ini menggunakan sebuah [[konstruksi jangka dan penggaris]],<ref name=Guilbeau>{{Harvtxt|Guilbeau|1930|pp=8–9}}</ref> cara yang sekarang diketahui tidak mungkin dilakukan. Metode untuk menyelesaikan persamaan kubik muncul dalam ''[[The Nine Chapters on the Mathematical Art]]'', sebuah teks [[matematika Tiongkok]] yang dikumpulkan pada sekitar abad ke-2 SM dan dikomentari oleh [[Liu Hui]] pada abad ke-3.<ref name="oxf"/> Pada abad ke-3 Masehi, [[Matematika Yunani|matematikawan Yunani]] [[Diofantos]] menemukan penyelesaian [[bilangan bulat]] atau rasional untuk beberapa persamaan bivariat ([[persamaan Diophantine]]).<ref name=wae/><ref>{{cite book|title=Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra|last=Heath|first=Thomas L.|author-link=Thomas_Little_Heath|pages=[https://archive.org/details/diophantusofalex00heatiala/page/87 87]–91|url=https://archive.org/details/diophantusofalex00heatiala|date=April 30, 2009|isbn=978-1578987542|publisher=Martino Pub}}</ref> [[Hippokrates dari Khios|Hippokrates]], [[Menaikhmos]] dan [[Archimedes]] dipercaya telah hampir menyelesaikan permasalahan menggandakan kubus menggunakan [[irisan kerucut]] yang berpotongan,<ref name=Guilbeau/> meskipun sejarawan seperti Reviel Netz mempertanyakan apakah para orang Yunani memikirkan tentang persamaan kubik atau hanya masalah yang bisa menghasilkan persamaan kubik. Sebagian yang lain seperti [[T. L. Heath]], yang menerjemahkan semua karya [[Archimedes]], tidak setuju, memberikan bukti bahwa Archimedes benar-benar menyelesaikan persamaan kubik menggunakan perpotongan dua irisan kerucut, tetapi juga mendiskusikan apabila akarnya ada 0, 1 atau 2.<ref>{{cite book|title=The works of Archimedes|author=Archimedes|author-link=Archimedes|others=Translation by T. L. Heath|date=October 8, 2007|isbn= 978-1603860512|publisher=Rough Draft Printing}}</ref>

Pada abad ke-11, penyair-matematikawan Persia, [[Umar Khayyam]] (1048–1131), membuat kemajuan signifikan dalam teori persamaan kubik. Dalam karangan lamanya, dia menemukan bahwa sebuah persamaan kubik bisa memiliki lebih dari satu penyelesaiaan dan menyatakan bahwa persamaan kubik tidak bisa diselesaikan menggunakan konstruksi jangka dan penggaris. Dia juga menemukan sebuah [[#Penyelesaian Omar Khayyám|penyelesaian geometris]].<ref>A paper of Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), pages 323–337</ref><ref>In {{MacTutor|id=Khayyam|title=Omar Khayyam}} one may read ''This problem in turn led Khayyam to solve the cubic equation'' {{math|''x''³ + 200''x'' {{=}} 20''x''² + 2000}} ''and he found a positive root of this cubic by considering the intersection of a rectangular hyperbola and a circle. An approximate numerical solution was then found by interpolation in trigonometric tables''. The ''then'' in the last assertion is erroneous and should, at least, be replaced by ''also''. The geometric construction was perfectly suitable for Omar Khayyam, as it occurs for solving a problem of geometric construction. At the end of his article he says only that, for this geometrical problem, if approximations are sufficient, then a simpler solution may be obtained by consulting [[Generating trigonometric tables|trigonometric tables]]. Textually: ''If the seeker is satisfied with an estimate, it is up to him to look into the table of chords of Almagest, or the table of sines and versed sines of Mothmed Observatory.'' This is followed by a short description of this alternate method (seven lines).</ref> Dalam karya lainnya kemudian, ''Treatise on Demonstration of Problems of Algebra'', dia menulis sebuah pengelompokan lengkap persamaan kubik dengan penyelesaian geometris umum yang ditemukan dengan cara memotongkan irisan kerucut.<ref>J. J. O'Connor and E. F. Robertson (1999), [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Khayyam.html Omar Khayyam] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110921071716/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Khayyam.html |date=2011-09-21 }}, [[MacTutor History of Mathematics archive]], states, "Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations."<!-- quotation is in MacTutor--></ref><ref>{{Harvtxt|Guilbeau|1930|p=9}} states, "Omar Al Hay of Chorassan, about 1079 AD did most to elevate to a method the solution of the algebraic equations by intersecting conics."</ref>

Cardano memperhatikan bahwa metode Tartaglia terkadang perlu melibatkan [[akar kuadrat]] dari bilangan negatif. Dia bahkan memasukkan sebuah penghitungan [[bilangan kompleks|bilangan-bilangan kompleks]] tersebut dalam ''Ars Magna'', tetapi dia tidak benar-benar memahaminya. [[Rafael Bombelli]] mempelajai masalah ini secara rinci<ref name="Bombelli">{{Citation|last2 = Mazur|first2 = Barry|author2-link = Barry Mazur|last = La Nave|first = Federica|journal = [[The Mathematical Intelligencer]]|title = Reading Bombelli|volume = 24|issue = 1|pages = 12–21|year = 2002|doi = 10.1007/BF03025306}}</ref> dan dianggap sebagai penemu bilangan kompleks.

[[François Viète]] (1540–1603) secara mandiri menurunkan penyelesiaanpenyelesaian trigonometri untuk kubik dengan tidak akar real, dan [[René Descartes]] (1596–1650) memperluas karya Viète.<ref name=Nickalls/>

Seperti yang ditunjukkan di {{slink||Sifat akar}}, dua akar lainnya adalah bilangan [[konjugasi kompleks]] tidak real, dalam kasus ini. Itu kemudian ditunjukkan (Cardano tidak tahu [[bilangan kompleks]]) bahwa dua akar lainnya diperoleh dengan mengalikan salah satu [[akar pangkat tiga]] dengan [[akar primitif kesatuan|akar pangkat tiga primitif kesatuan]] <math>\frac{-1+i\sqrt 3} 2</math>, dan akar pangkat tiga lainnya oleh <math>\frac{-1-i\sqrt 3} 2</math>.