Logaritma: Perbedaan antara revisi

 

 

 

: <math> ^b\!\log(xy) = \, ^b\!\log x + \, ^b\!\log y,</math>

 

 

 

Konsep logaritma sebagai invers dari eksponensiasi juga memperluas ke struktur matematika lain. Namun pada umumnya, logaritma cenderung merupakan fungsi bernilai banyak. Sebagai contoh, [[logaritma kompleks]] merupakan [[Fungsi invers|invers]] dari fungsi eksponensial pada [[bilangan kompleks]]. Mirip dengan contoh sebelumnya, [[logaritma diskret]] dalam grup hingga, merupakan invers fungsi eksponensial bernilai banyak yang memiliki kegunaan dalam [[kriptografi kunci publik]].

 

== Alasan ==

 

: <math>b^y=x.</math>

Sebagai contoh, {{math|2}} pangkat {{math|3}} memberikan nilai {{math|8}}. Secara matematis, <math>2^3 = 8</math>.

 

 

Salah satu alasan bersejarah utamanya dalam memperkenalkan logaritma adalah rumus

: <math>^b\!\log(xy)= \,^b\!\log x + \,^b\!\log y,</math>

 

 

== Definisi ==

 

 

== Identitas logaritma ==

 

=== Hasil kali, hasil bagi, pangkat, dan akar ===

{| class="wikitable" style="margin: 0 auto;"

!

 

Hal ini memperlihatkan faktor konversi dari nilai {{math|1=^''k''log}} ke nilai {{math|1=^''b''log}} yang serupa agar memperoleh bentuk {{math|1={{sfrac|1=1|2=^''k''log ''b''}}}}

 

: <math> ^b\!\log x = \frac{^{10}\!\log x}{^{10}\!\log b} = \frac{^{e}\!\log x}{^{e}\!\log b}.</math>

 

 

: <math> b = x^\frac{1}{y},</math>

 

 

== Bilangan pokok khusus ==

[[Berkas:Log4.svg|jmpl|Grafik logaritma dengan bilangan pokok 0,5; 2; dan {{mvar|e}}]]

 

: <math>^{10}\!\log(10 x) = \, ^{10}\!\log 10 + \, ^{10}\!\log x = 1 + \, ^{10}\!\log x.\ </math>

 

 

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"

! scope="col" |Bilangan pokok

== Sejarah ==

{{Main|Sejarah logaritma}}

 

 

 

: <math>\int \frac{dy}{y}.</math>

 

== Tabel logaritma, mistar hitung, dan penerapan bersejarah ==

Dengan menyederhanakan perhitungan yang rumit sebelum adanya mesin hitung komputer, logaritma berkontribusi pada kemajuan pengetahuan, khususnya [[astronomi]]. Logaritma sangat penting terhadap kemajuan dalam [[Ilmu ukur wilayah|survei]], [[navigasi benda langit]], dan cabang lainnya. [[Pierre-Simon Laplace]] menyebut logaritma sebagai

 

 

 

=== Tabel logaritma ===

 

: <math>^{10}\!\log 3542 = \,^{10}\!\log (1000 \cdot 3,542) = 3 + \,^{10}\!\log 3,542 \approx 3 + \,^{10}\!\log 3,54</math>

 

=== Perhitungan ===

 

: <math> cd = 10^{\, ^{10}\!\log c} \, 10^{\,^{10}\!\log d} = 10^{\,^{10}\!\log c \, + \, ^{10}\!\log d}</math>

: <math>\frac c d = c d^{-1} = 10^{\, ^{10}\!\log c \, - \, ^{10}\!\log d}.</math>

 

 

 

 

dan

 

 

Perhitungan trigonometri dilengkapi dengan tabel-tabel yang memuat logaritma umum dari [[fungsi trigonometri]].

=== Mistar hitung ===

Penerapan penting lainnya adalah [[mistar hitung]], sepasang skala yang dibagi secara logaritmik yang digunakan dalam perhitungan. Adapun skala logaritmik yang tidak memiliki sorong, [[mistar Gunter]], ditemukan tak lama setelah penemuan Napier dan disempurnakan oleh [[William Oughtred]] untuk menciptakan sepasang skala logaritmik yang dapat dipindahkan terhadap satu sama lain, yaitu mistar hitung. Angka yang ditempatkan pada skala hitung pada jarak sebanding dengan selisih antara logaritmanya. Menggeser skala atas dengan tepat berarti menambahkan logaritma secara mekanis, seperti yang diilustrasikan berikut ini:

 

== Sifat analitik ==

 

=== Keberadaan ===

 

 

=== Karakterisasi melalui rumus hasil kali ===

 

=== Grafik fungsi logaritma ===

Seperti yang dibahas sebelumnya, fungsi {{math|^''b''log}} invers terhadap fungsi eksponensial <math>x\mapsto b^x</math>. Karena itu, [[Grafik fungsi|grafiknya]] berkorespondensi dengan satu sama lain saat menukar koordinat-{{mvar|x}} dan koordinat-{{mvar|y}} (atau saat melakukan pencerminan di garis diagonal {{Math|1=''x'' = ''y''}}), seperti yang diperlihatkan sebagai berikut: sebuah titik {{math|1=(''t'', ''u'' = {{mvar|b}}^''t'')}} pada grafik dari {{Mvar|f}} menghasilkan sebuah titik {{math|1=(''u'', ''t'' = ^''b''log&thinsp;''u'')}} pada grafik logaritma dan sebaliknya. Akibatnya, {{math|^''b''log&thinsp;(''x'')}} [[Limit barisan|divergen menuju takhingga]] (dalam artian semakin besar dari setiap bilangan yang diberikan) jika {{mvar|x}} naik menuju takhingga, asalkan {{mvar|b}} lebih besar dari satu. Pada kasus tersebut, {{math|^''b''log(''x'')}} merupakan [[fungsi menaik]]. Sedangkan untuk kasus {{math|''b'' < 1}}, {{math|^''b''log&thinsp;(''x'')}} cenderung menuju ke negatif takhingga. Ketika {{mvar|x}} mendekati nol, {{math|^''b''log&thinsp;''x''}} menuju ke negatif takhingga untuk {{math|''b'' > 1}} dan menuju ke plus takhingga untuk {{math|''b'' < 1}}.

 

=== Turunan dan antiturunan ===

Sifat analitik tentang fungsi adalah melalui fungsi inversnya.<ref name="LangIII.3" /> Jadi, ketika {{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|b}}^''x''}} adalah fungsi kontinu dan [[Fungsi terdiferensialkan|terdiferensialkan]], maka {{math|^''b''log&thinsp;''y''}} fungsi kontinu dan terdiferensialkan juga. Penjelasan kasarnya, sebuah fungsi kontinu adalah terdiferensialkan jika grafiknya tidak mempunyai "ujung" yang tajam. Lebih lanjut, ketika [[turunan]] dari {{math|''f''(''x'')}} menghitung nilai {{math|ln(''b'') ''b''^''x''}} melalui sifat-sifat [[fungsi eksponensial]], [[aturan rantai]] menyiratkan bahwa turunan dari {{math|^''b''log&thinsp;''x''}} dirumuskan sebagai <ref name="LangIV.2" /><ref>{{citation|work=Wolfram Alpha|title=Calculation of ''d/dx(Log(b,x))''|publisher=[[Wolfram Research]]|access-date=15 Maret 2011|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx(Log(b,x))}}</ref>

 

Artinya, [[kemiringan]] dari [[garis singgung]] yang menyinggung grafik logaritma dengan bilangan pokok {{math|''b''}} di titik {{math|(''x'', ^''b''log&thinsp;(''x''))}} sama dengan {{math|{{sfrac|1=1|2=''x'' ln(''b'')}}}}.

 

 

Turunan dengan argumen fungsional rampat {{math|''f''(''x'')}} dirumuskan sebagai

: <math>\int \ln(x) \,dx = x \ln(x) - x + C.</math>

 

 

=== Representasi integral mengenai fungsi logaritma ===

[[Logaritma alami]] dari {{Mvar|t}} dapat didefinisikan sebagai [[integral tentu]]:

 

: <math>\ln t = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.</math>

 

 

: <math> \ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).</math>

 

Persamaan (1) membagi integral menjadi dua bagian, sementara (2) mengubah variabel {{Math|''w''}} menjadi {{Math|{{sfrac|1=''x''|2=''t''}}}}. Pada ilustrasi dibawah, pembagian integral tersebut dapat disamakan dengan pembagian luasnya menjadi bagian berwarna kuning dan biru. Dengan mengukur luas berwarna biru kembali secara vertikal melalui faktor {{Mvar|t}} dan menyusutnya melalui faktor yang sama secara horizontal tidak mengubah ukuran luasnya. Dengan memindahkan daerah biru ke daerah kuning, luasnya menyesuaikan grafik fungsi {{math|1=''f''(''x'') = {{sfrac|1=1|2=''x''}}}} lagi. Oleh karena itu, luas biru di sebelah kiri, yang merupakan integral dari fungsi {{math|''f''(''x'')}} dengan interval dari {{Mvar|t}} hingga {{Mvar|tu}} sama dengan integral dari fungsi yang sama dengan interval 1 hingga {{Mvar|u}}. Hal ini membenarkan persamaan &nbsp;(2) melalui bukti geometri lainnya.

 

: <math>

 

=== Transendensi logaritma ===

 

== Perhitungan ==

 

: <math>^2\!\log\left(x^2\right) = 2 \cdot \, ^2\!\log |x|.</math>

 

==== Deret Taylor ====

Untuk setiap bilangan {{mvar|z}} yang memenuhi sifat {{math|0 < ''z'' ≤ 2}}, maka berlaku rumus:{{refn|Deret yang sama berlaku untuk nilai utama dari logaritma kompleks untuk bilangan kompleks {{mvar|z}} yang memenuhi {{math|{{!}}''z'' − 1{{!}} < 1}}.|group=nb}}<ref name="AbramowitzStegunp.68">{{Harvard citations|editor1-last=Abramowitz|editor2-last=Stegun|year=1972|nb=yes|loc=hlm. 68}}</ref>

 

</math>

 

 

: <math>

 

==== Deret lebih efisien ====

 

: <math>

</math>

 

: <math>\ln (z)=y+\ln (A).</math>

 

 

 

: <math>\ln (n+1) = \ln(n) + 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{1}{2 n+1}\right)^{2k+1}.</math>

 

=== Algoritma Feynman ===

 

== Penerapan ==

=== Penerapannya dalam skala logaritmik ===

{{Main|Skala logaritmik}}

 

Kekuatan gempa bumi diukur dengan mengambil logaritma umum dari energi yang dipancarkan saat terjadinya gempa dalam satuan [[skala magnitudo momen]] atau [[skala Richter|skala magnitudo Ritcher]]. Sebagai contoh, gempa berkekuatan 5,0 melepaskan 32&nbsp;kali {{math|(10^1,5)}} dan gempa berkekuatan 6,0 melepaskan 1000&nbsp;kali{{math|(10³)}} energi berkekuatan 4,0.<ref>{{Citation|last1=Crauder|first1=Bruce|last2=Evans|first2=Benny|last3=Noell|first3=Alan|title=Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra|publisher=Cengage Learning|location=Boston|edition=4th|isbn=978-0-547-15669-9|year=2008}}, bagian 4.4.</ref> Skala logaritmik juga dipakai dalam [[Magnitudo semu|magnitudo kentara]] untuk mengukur kecerahan bintang.<ref>{{Citation|last1=Bradt|first1=Hale|title=Astronomy methods: a physical approach to astronomical observations|publisher=[[Cambridge University Press]]|series=Cambridge Planetary Science|isbn=978-0-521-53551-9|year=2004}}, bagian 8.3, hlm.&nbsp;231</ref> Dalam [[kimia]], negatif dari logaritma desimal, yang disebut sebagai '''{{vanchor|kologaritma}}''' desimal, ditunjukkan dengan huruf "p".<ref name="Jens">{{cite journal|author=Nørby, Jens|year=2000|title=The origin and the meaning of the little p in pH|journal=Trends in Biochemical Sciences|volume=25|issue=1|pages=36–37|doi=10.1016/S0968-0004(99)01517-0|pmid=10637613}}</ref> Sebagai contoh, [[pH]] merupakan kologaritma desimal dari [[Aktivitas termodinamika|keaktifan]] dari [[ion]] berbentuk [[hidrogen]] {{chem|H|+|}} yang terbentuk dari air, [[hidronium]].<ref>{{Citation|author=IUPAC|title=Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book")|edition=2nd|editor=A. D. McNaught, A. Wilkinson|publisher=Blackwell Scientific Publications|location=Oxford|year=1997|url=http://goldbook.iupac.org/P04524.html|isbn=978-0-9678550-9-7|doi=10.1351/goldbook|author-link=IUPAC|doi-access=free}}</ref> Keaktifan dari ion hidronium dalam air yang netral bernilai 10⁻⁷&nbsp;[[Molaritas|mol·L⁻¹]], sehingga nilai pH adalah 7. Contoh lainnya, nilai pH dari asam cuka biasanya sekitar 3. Perbedaan nilai sebesar 4 sesuai dengan rasio 10⁴ berdasarkan aktivitasnya, yaitu nilai dari aktivitas ion hidronium cuka sekitar 10⁻³ mol·L⁻¹.

=== Penerapannya dalam teori peluang dan statistika ===

{{multiple image

}}

Dalam [[teori probabilitas]], [[hukum bilangan besar]] mengatakan bahwa, untuk sebuah [[mata uang seimbang]], ketika jumlah pelemparan koin naik menuju takhingga, maka kesebandingan dari gambar kepala (atau ekor) yang diamati [[Distribusi binomial|mendekati satu setengah]]. Fluktuasi dari nilai kesebandingan yang bernilai satu setengah dijelaskan melalui hukum yang menggunakan logaritma, yaitu [[hukum logaritma teriterasi]].<ref>{{Citation|last1=Breiman|first1=Leo|title=Probability|publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]]|location=Philadelphia|series=Classics in applied mathematics|isbn=978-0-89871-296-4|year=1992}}, bagian 12.9</ref>

Logaritma muncul pula dalam [[sebaran log-normal]]. Ketika logaritma dari [[variabel acak]] mempunyai [[Distribusi normal|sebaran normal]], maka variabel dikatakan mempunyai sebaran log-normal.<ref>{{Citation|last1=Aitchison|first1=J.|last2=Brown|first2=J.A.C.|title=The lognormal distribution|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-04011-2|oclc=301100935|year=1969}}</ref> Sebaran log-normal ditemukan dalam banyak bidang, dengan suatu variabel dibentuk sebagai hasil kali dari banyaknya variabel acak indenpenden bernilai positif. Contohnya seperti dalam mempelajari turbulensi.<ref>{{Citation|title=An introduction to turbulent flow|author=Jean Mathieu and Julian Scott|publisher=Cambridge University Press|year=2000|isbn=978-0-521-77538-0|page=50|url={{google books |plainurl=y |id=nVA53NEAx64C|page=50}}}}</ref>

 

 

 

=== Penerapannya dalam kompleksitas perhitungan ===

Cabang dalam [[ilmu komputer]] yang mempelajari [[kompleksitas waktu|performa]] dari suatu [[algoritma]] dalam menyelesaikan persoalan atau masalah tertentu disebut [[analisis algoritma]].<ref name="Wegener">{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo|title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}}, hlm. 1–2</ref> Logaritma sangat penting dalam menjelaskan algoritma tersebut dengan [[Divide and Conquer|membagi suatu masalah]] menjadi lebih kecil, serta menghubungkan penyelesaian dari submasalah.<ref>{{Citation|last1=Harel|first1=David|last2=Feldman|first2=Yishai A.|title=Algorithmics: the spirit of computing|location=New York|publisher=[[Addison-Wesley]]|isbn=978-0-321-11784-7|year=2004}}, hlm.&nbsp;143</ref>

 

 

Suatu fungsi&nbsp;{{math|''f''(''x'')}} dikatakan [[pertumbuhan logaritmik|bertumbuh secara logaritmik]] jika {{math|''f''(''x'')}} (setidaknya atau kira-kira) sebanding dengan logaritma dari {{mvar|x}}, namun istilah ini dipakai sebagai fungsi eksponensial dalam menjelaskan pertumbuhan organisme secara biologis.<ref>{{Citation|last1=Mohr|first1=Hans|last2=Schopfer|first2=Peter|title=Plant physiology|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-58016-4|year=1995|url-access=registration|url=https://archive.org/details/plantphysiology0000mohr}}, bab 19, hlm.&nbsp;298</ref> Sebagai contoh, setiap [[bilangan asli]]&nbsp;{{mvar|N}} dapat direpresentasikan dalam [[sistem bilangan biner|bentuk bilangan biner]] yang tidak lebih dari {{math|²log&thinsp;''N'' + 1}}&nbsp;[[bit]]. Dengan kata lain, jumlah [[Memori (komputer)|memori]] diperlukan untuk menyimpan {{mvar|N}} pertumbuhan secara logaritmik dengan {{mvar|N}}.

 

=== Penerapannya dalam entropi dan ketidakteraturan ===

 

[[Entropi]] secara umum adalah ukuran dari ketidakteraturan dari suatu sistem. Dalam [[termodinamika statistik]], sebuah entropi, disimbolkan dengan {{Math|''S''}}, dari sebuah sistem, didefinisikan dengan:

 

=== Penerapannya dalam bangunan fraktal ===

Logaritma muncul dalam definiisi [[Dimensi fraktal|dimensi]] [[fraktal]].<ref>{{Citation|last1=Helmberg|first1=Gilbert|title=Getting acquainted with fractals|publisher=Walter de Gruyter|series=De Gruyter Textbook|location=Berlin, New York|isbn=978-3-11-019092-2|year=2007}}</ref> Fraktal merupakan benda-benda geometri yang menyerupai dirinya, dalam artian bahwa benda geometri tersebut mereproduksi dirinya lebih kecil, penjelasan kasarnya, di seluruh strukturnya. Contohnya seperti [[segitiga Sierpiński]], dengan [[dimensi Hausdorff]]<nowiki/>nya adalah {{math|{{sfrac|1=ln(3)|2=ln(2)}} ≈ 1,58}}, dapat diliputi dengan tiga salinan dirinya, masing-masing sisinya dibagi menjadi setengah dari panjang awalnya. Adapula gagasan dimensi fraktal berdasarkan logaritma lainnya diperoleh dengan [[Dimensi menghitung kotak|menghitung jumlah kotak]] yang diperlukan untuk meliputi frakal dalam himpunan.

 

| alt2 = Empat oktaf yang berbeda diperlihatkan pada skala logaritmik.

}}

Logaritma berkaitan dengan bunyi nada dan [[Interval (musik)|interval]] dalam musik. Dalam [[temperamen sama]], perbandingan frekuensi bergantung pada interval di antara dua nada saja, bukan pada frekuensi yang spesifik atau [[tinggi nada|tinggi]] dari nada tunggal. Sebagai contoh, nada&nbsp;[[A (not musik)|''A'']] mempunyai frekuensi 440&nbsp;[[Hertz|Hz]] dan [[B♭ (not musik)|''B-flat'']] mempunyai frekuensi 466&nbsp;Hz. Interval antara nada ''A'' dengan ''B-flat'' ini digolongkan sebagai [[semi-nada]], karena intervalnya berada di antara ''B-flat'' dan [[B (not musik)|''B'']] (yang mempunyai frekuensi 493&nbsp;Hz). Maka, perbandingan frekuensinya adalah:

 

: <math>e^a=z</math>

 

 

: <math>\textstyle r=\sqrt{x^2+y^2}.</math>

Dengan menggunakan pandangan geometris pada fungsi [[Sinus (trigonometri)|sinus]] dan [[kosinus]] beserta periodisitasnya dalam {{Math|2{{pi}}}}, setiap bilangan kompleks&nbsp;{{mvar|z}} dapat dinyatakan sebagai

 

 

 

[[Rumus Euler]] mengaitkan [[fungsi trigonometri]] [[Sinus (trigonometri)|sinus]] dan [[kosinus]] dengan [[Rumus Euler|eksponensial kompleks]]:

dengan {{math|ln(''r'')}} adalah fungsi logaritma real tunggal, {{math|''a''_''k''}} menyatakan logaritma kompleks dari {{mvar|z}}, dan {{mvar|k}} bilangan bulat sembarang. Karena itu, logaritma kompleks dari {{mvar|z}}, yang semua bilangan kompleks {{math|''a''_''k''}} untuk {{mvar|e}} pangkat {{math|''a''_''k''}} sama dengan {{mvar|z}}, mempunyai tak berhingga banyaknya nilai

 

 

Dengan mengambil {{mvar|k}} sehingga {{Math|''φ'' + 2''k''{{pi}}}} ada di dalam selang yang ditentukan untuk argumen prinsip, maka {{math|''a''_''k''}} disebut ''nilai prinsip'' dari logaritma, dinotasikan sebagai {{math|Log(''z'')}}. Argumen prinsip setiap bilangan real positif &nbsp;{{mvar|x}} bernilai 0, jadi {{math|Log(''x'')}} adalah sebuah bilangan real yang sama dengan logaritma (alami). Akan tetapi, rumus logaritma tentang darab dan perpangkatan bilangan di atas [[Eksponensiasi#Kegagalan identitas perpangkatan dan logaritma|tidak memberikan perumuman]] terkait nilai prinsip dari logaritma kompleks.<ref>{{Citation|last1=Wilde|first1=Ivan Francis|title=Lecture notes on complex analysis|publisher=Imperial College Press|location=London|isbn=978-1-86094-642-4|year=2006|url=https://books.google.com/books?id=vrWES2W6vG0C&q=complex+logarithm&pg=PA97}}, teorema 6.1.</ref>

 

 

=== Kebalikan dari fungsi eksponensial lainnya ===

Berdasarkan sudut pandang [[teori grup]], identitas {{math|log(''cd'') {{=}} log(''c'') + log(''d'')}} menyatakan [[isomorfisme grup]] antara bilangan [[Bilangan riil|riil]] positif terhadap perkalian bilangan riil positif terhadap penambahan. Fungsi logaritmik hanya isomorfisme kontinu antara grup.<ref>{{Citation|last1=Bourbaki|first1=Nicolas|author1-link=Nicolas Bourbaki|title=General topology. Chapters 5–10|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Elements of Mathematics|isbn=978-3-540-64563-4|mr=1726872|year=1998}}, bagian V.4.1</ref> Berdasarkan pengertian isomorfisme tersebut, [[ukuran Haar]] ([[ukuran Lebesgue]])&nbsp;{{math|''dx''}} pada riil berpadanan dengan ukuran Haar&nbsp;{{math|{{sfrac|1=''dx''|2=''x''}}}} pada bilangan real positif.<ref>{{Citation|last1=Ambartzumian|first1=R.V.|author-link=Rouben V. Ambartzumian|title=Factorization calculus and geometric probability|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-34535-4|year=1990|url-access=registration|url=https://archive.org/details/factorizationcal0000amba}}, bagian 1.4</ref> Bilangan riil taknegatif tidak hanya terhadap operasi perkalian, namun juga terhadap operasi penambahan, dan bilangan riil taknegatif membentuk [[semigelanggang]], yang disebut sebagai [[Semigelanggang#Probabilitas semigelanggang|semigelanggang probabilitas]], bahkan membentuk [[semigelanggang]]. Maka logaritma yang mengambil perkalian dengan penambahan (perkalian logaritma), dan mengambil penambahan dengan penambahan logaritma, memberikan [[isomorfisme]] semigelanggang di antara semigelanggang probabilitas dan [[semigelanggang logaritma]].

 

 

Selain itu, terdapat [[polilogaritma]], sebuah fungsi yang didefinisikan sebagai

*{{sister-inline|project=v|links=[[v:Speak Math Now!/Week 9: Six rules of Exponents/Logarithms|A lesson on logarithms can be found on Wikiversity]]|short=yes}}

* {{MathWorld|Logarithm|Logarithm|mode=cs2}}

* [https://web.archive.org/web/20121218200616/http://www.khanacademy.org/math/algebra/logarithms-tutorial Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures]

* {{springer|title=Logarithmic function|id=p/l060600}}