Poligon: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) n-gon = segi-n |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) |
||
| (12 revisi perantara oleh 4 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Assorted polygons.svg|jmpl|Berbagai macam poligon|400x400px]]Dalam [[geometri]], '''poligon
Ruas garis dari sirkuit poligonal disebut sebagai [[Sisi (geometri)|sisi]]. Perpotongan dari dua sisi pada poligon dikenal sebagai [[titik sudut]]. '''Segi-''n''''' adalah sebuah poligon yang mempunyai <math>n</math> sisi, contohnya, segi-3 ([[segitiga]]).
[[Poligon sederhana]] adalah sebuah poligon yang tidak saling berpotongan diri. Akan tetapi, para matematikawan seringkali hanya melibatkan rantai poligonal terbatas dari poligon sederhana, dan karena itu mereka seringkali mendefinisikannya sebagai poligon. Sebuah batas poligonal dapat diperbolehkan untuk berpotongan terhadap dirinya, sehingga mengakibatkan terbentuknya [[poligon bintang]] dan [[Daftar poligon berpotongan diri|poligon yang saling berpotongan diri]] lainnya.
Poligon merupakan contoh bangun dimensi dua dari [[politop]] yang lebih umum dalam sebarang dimensi. Banyak [[Poligon#Perumuman|perumumannya]] yang didefinisikan untuk tujuan lain.
== Etimologi ==
Kata ''poligon ''berasal dari kata sifat [[bahasa Yunani|Yunani]], πολύς (''polús''), berarti "banyak", dan γωνία (''gōnía''), berarti "sudut". Akan tetapi, ada yang mengatakan bahwa kata Yunani γόνυ (''gónu''), berarti "kaki", dapat berawal dari kata ''gon''.<ref>{{cite book|
== Penggolongan ==
Baris 12 ⟶ 18:
=== Konveksitas dan non-konveksitas ===
Poligon dapat dicirikan berdasarkan jenis konveksitas (kecembungan) atau non-konveksitas:
* Poligon [[poligon cembung|konveks]] atau [[poligon cembung|cembung]]: sebarang garis yang ditarik melalui poligon (dan tidak menyinggung sisi atau titik
* Poligon non-cembung: sebuah garis dapat ditemukan ketika bertemu ke batasnya lebih dari dua kali. Dengan kata lain, terdapat sebuah ruas garis di antara dua titik batas yang melalui poligon.
* [[Poligon sederhana]]: batas poligon tidak menyilang dirinya sendiri. Semua poligon cembung berbentuk sederhana.
Baris 18 ⟶ 24:
* [[Poligon berbentuk bintang]]: seluruh titik dalam terlihat dan setidaknya ada satu buah, tanpa melewati sebarang sisi. Poligon harus berbentuk sederhana, serta dapat berbentuk cembung atau cekung. Selain itu, semua poligon cembung juga berbentuk bintang.
* [[Daftar poligon yang berpotongan diri|Poligon tak berpotongan diri]]: batas poligon yang tidak memotong diri.
* [[Poligon bintang]]: poligon tidak beraturan secara teratur. Poligon ini tidak boleh berbentuk
=== Kesetaraan dan simetri ===
* [[Poligon sama sudut]]: semua sudut di titik
* [[Poligon sama sisi]]: semua sisi memiliki panjang yang sama.
* [[Poligon beraturan]]: sebuah poligon berarti mempunyai sudut dan sisi yang sama.
Baris 37 ⟶ 43:
[[Berkas:Winkelsumme-polygon.svg|jmpl|Segi-<math>n</math> dibagi menjadi <math>n-2</math> segitiga.]]
Sebarang poligon memiliki banyak sudut yang sama dengan banyaknya sisi. Masing-masing sudut di poligon memiliki beberapa sudut. Dua sudut yang terpenting, di antaranya:
*
*
=== Luas ===
Misalkan titik
==== Poligon sederhana ====
Baris 53 ⟶ 59:
Q_{i+1,j} & Q_{i+1,j+1} \end{vmatrix} , </math>
dengan <math> Q_{i,j} </math> adalah jarak kuadrat di antara titik <math>(x_i, y_i)</math> dan <math>(x_j, y_j).</math>
Math. Debrecen 1, 42–50 (1949)</ref><ref>{{cite web|last=Bourke|first=Paul|date=Juli 1988|title=Calculating The Area And Centroid Of A Polygon|url=http://www.seas.upenn.edu/~sys502/extra_materials/Polygon%20Area%20and%20Centroid.pdf|work=|publisher=|archive-url=https://web.archive.org/web/20120916104133/http://www.seas.upenn.edu/~sys502/extra_materials/Polygon%20Area%20and%20Centroid.pdf|archive-date=2012-09-16|dead-url=yes|accessdate=6 Feb 2013}}</ref>
Luas bertanda bergantung pada orde dari titik
Luas <math>
<math display="block">A = \frac12 (
{} + a_2[a_3 \sin(\theta_2) + a_4 \sin(\theta_2 + \theta_3) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})]
{} + \cdots + a_{n-2}[a_{n-1} \sin(\theta_{n-2})]
Rumus ini dijelaskan oleh Lopshits pada tahun 1963.<ref name="lopshits">{{cite book
Jika poligon dapat digambarkan di sebuah kisi yang berjarak sama, sehingga semua titik
Setiap poligon dengan keliling <math>p</math> dan luas <math>A</math>'','' berlaku [[pertidaksamaan isoperimetrik]] <math>p^2 > 4\pi A</math>.<ref>[http://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200215.pdf Dergiades, Nikolaos, "An elementary proof of the isoperimetric inequality", ''Forum Mathematicorum'' 2, 2002, 129–130.]</ref>
Untuk dua poligon sederhana yang luasnya sama, [[teorema Bolyai–Gerwien]] mengatakan bahwa poligon pertama dapat dipotong menjadi potongan poligonal yang dapat disatukan kembali untuk membentuk poligon kedua.<!--Panjang sisi poligon secara umum tidak menentukan luasnya.<ref>Robbins, "Polygons inscribed in a circle," ''American Mathematical Monthly'' 102, June–July 1995.</ref> Akan tetapi, jika poligon berupa siklik, maka sisinya yang menentukan luas.<ref>{{cite journal|last=Pak|first=Igor|authorlink=Igor Pak|doi=10.1016/j.aam.2004.08.006|issue=4|journal=[[Advances in Applied Mathematics]]|mr=2128993|pages=690–696|title=Area poligon siklik: kemajuan terbaru pada dugaan Robbins|volume=34|year=2005|arxiv=math/0408104}}</ref> Jadi, luas terbesar di antara semua <math>n</math>-gon jika panjang sisinya diketahui adalah poligon siklik, dan luas terbesar di antara semua <math>n</math>-gon jika kelilingnya diketahui adalah poligon beraturan (and therefore cyclic).<ref>Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in ''Mathematical Plums'' (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.</ref>-->
==== Poligon beraturan ====
Terdapat banyak rumus khusus yang dipakai untuk luas [[poligon beraturan]]. Sebagai contoh, luas poligon beraturan dirumuskan dengan menggunakan jari-jari <math>r</math> (atau lebih tepatnya, [[apotema]]) dari [[lingkaran dalam]] dan keliling poligon<math display="block">A = \frac{1}{2} \cdot p \cdot r.</math>Luas segi-<math>n</math> beraturan dengan jari-jari <math>R</math> dari [[lingkaran luar]] dapat dinyatakan dengan menggunakan trigonometri:<ref>[https://www.mathopenref.com/polygonregularareaderive.html Area of a regular polygon - derivation] from Math Open Reference.</ref><ref>Sebuah poligon beraturan yang mempunyai jumlah sisi yang tak terhingga merupakan sebuah lingkaran:<math display="block">\lim_{n \to +\infty} R^2 \cdot \frac{n}{2} \cdot \sin \frac{2\pi}{n} = \pi \cdot R^2.</math></ref><math display="block">A = R^2 \cdot \frac{n}{2} \cdot \sin \frac{2\pi}{n} = R^2 \cdot n \cdot \sin \frac{\pi}{n} \cdot \cos \frac{\pi}{n}</math>Luas segi-<math>n</math> beraturan di dalam lingkaran berjari-jari satuan, dengan sisi <math>s</math> dan sudut dalam <math>\alpha</math>, juga dapat dinyatakan dengan menggunakan trigonometri:<math display="block">A = \frac{ns^{2}}{4}\cot \frac{\pi}{n} = \frac{ns^{2}}{4}\cot\frac{\alpha}{n-2} = n \cdot \sin \frac{\alpha}{n-2} \cdot \cos \frac{\alpha}{n-2}.</math><!--
<!--====Self-intersecting====
The area of a [[Complex polygon|self-intersecting polygon]] can be defined in two different ways, giving different answers:
Baris 107 ⟶ 84:
* Considering the enclosed regions as point sets, we can find the area of the enclosed point set. This corresponds to the area of the plane covered by the polygon or to the area of one or more simple polygons having the same outline as the self-intersecting one. In the case of the cross-quadrilateral, it is treated as two simple triangles.{{citation needed|date=February 2019}}-->
===
<math display="block">C_x = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (x_i + x_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i), </math><math display="block">C_y = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (y_i + y_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i).</math>
Pada kedua rumus tersebut, nilai bertanda dari luas <math>A</math> harus digunakan.<!--For [[triangle]]s ({{math|1=''n'' = 3}}), the centroids of the vertices and of the solid shape are the same, but, in general, this is not true for {{math|''n'' > 3}}. The [[centroid]] of the vertex set of a polygon with {{mvar|n}} vertices has the coordinates
:<math>c_x=\frac 1n \sum_{i = 0}^{n - 1}x_i,</math>
:<math>c_y=\frac 1n \sum_{i = 0}^{n - 1}y_i.</math>-->
== Perumuman ==
Gagasan dari poligon diperumum melalui berbagai cara. Ada beberapa perumuman dari poligon yang lebih penting, di antaranya:
* [[Poligon bola]] adalah poligon yang mempunyai sirkuit dari busur lingkaran besar (yakni, sisi) dan titik sudut pada permukaan bola. Hal ini memungkinkan [[digon]], poligon yang hanya memiliki dua sisi dan dua titik sudut, yang tidak mungkin dilakukan pada bidang datar. Poligon bola memainkan peran penting dalam [[kartografi]] (pembuatan peta) dan dalam [[konstruksi Wythoff]] dari [[polihedron seragam]].
* [[Poligon pencong]] tidak terletak di bidang datar, melainkan di garis zigzag dalam dimensi tiga atau lebih. [[Poligon Petrie]] dari politop beraturan adalah contoh yang terkenal.
* [[Apeirogon]] adalah sebuah poligon yang mempunyai barisan tak hingga dari sisi dan sudut. Barisan tersebut tidak tertutup tetapi tidak punyai titik akhir, sebab barisan tersebut secara tak langsung memperluas ke dua arah.
* [[Apeirogon pencong]] adalah sebuah poligon yang mempunyai barisan tak hingga dari sisi dan sudut yang tidak terletak di sebuah bidang datar.
* [[Politop kompleks|Poligon kompleks]] adalah sebuah [[konfigurasi (politop)|konfigurasi]] yang mirip seperti poligon biasa. Yang membedakannya adalah poligon ini berada di [[bidang kompleks]] dari dua dimensi [[bilangan real]] dan dua dimensi [[bilangan imajiner]].
* [[Politop abstrak|Poligon abstrak]] adalah [[himpunan terurut parsial]] aljabar yang mewakili berbagai elemen (seperti sisi, titik sudut, dsb.) serta keterhubungannya. Sebuah poligon geometri real dikatakan sebagai ''realisasi'' dari poligon abstrak iring.
* [[Polihedron]] adalah benda padat dimensi tiga yang dibatasi oleh muka poligonal datar, mirip seperti poligon dalam dimensi dua yang dibatasi oleh sisi, Bentuk yang korespondensi dalam dimensi empat atau lebih disebut sebagai [[politop]].<ref>Coxeter (3rd Ed 1973)</ref>
==
Kata ''poligon'' diambil dari [[bahasa Latin]] ''polygōnum'', bahasa Yunani πολύγωνον (''polygōnon/polugōnon'', yang berarti "sudut banyak". Pemberian nama pada masing-masing poligon disesuaikan dengan jumlah sisi, dan gabungan dari [[awalan bilangan]] dalam [[bahasa Yunani]] dan akhiran -gon, sebagai contoh ''[[pentagon]]'' (mempunyai lima sisi), ''[[dodekagon]]'' (mempunyai dua belas sisi). Akan tetapi, terdapat pengecualian untuk penamaan tersebut seperti ''[[nonagon]]''.
Penamaan ini juga dilakukan tanpa menggunakan kata serapan dari bahasa Latin maupun bahasa Yunani. Pemberian nama pada masing-masing poligon ditulis dari kata "segi-" dan jumlah sisi melalui angka. Sebagai contoh, ''[[segitiga]]'' (mempunyai tiga sisi), ''[[segi empat]]'' (mempunyai empat sisi).
Untuk bilangan yang lebih besar, [[matematikawan]] biasanya menulis dengan menggunakan notasi numerik, atau dalam artian menggunakan [[angka]]. Sebagai contoh, segi-17 (atau segi tujuh belas) dan segi-257.
{| class="wikitable"
|-
!Penamaan dengan menggunakan kata awalan "segi-"
! Penamaan dengan menggunakan kata serapan !! Jumlah sisi
|-
| -
| [[henagon]] (atau monogon) || 1
|-
| -
| [[digon]] || 2
|-
|[[segitiga]]
| trigon || 3
|-
|
| tetragon |-
|
| pentagon |-
|[[segi enam]]
| [[heksagon]] (atau seksagon) || 6
|-
|[[segi tujuh]]
|[[Segi tujuh|heptagon]] (atau septagon) || 7
|-
|[[segi delapan]]
|[[Segi delapan|oktagon]]|| 8
|-
|[[segi sembilan]]
|[[Segi sembilan|nonagon]] (atau [[enneagon]]) || 9
|-
|[[segi sepuluh]]
|[[Segi sepuluh|dekagon]]|| 10
|-
|segi sebelas
| [[hendekagon]] atau undekagon || 11
|-
|segi dua belas
| [[dodekagon]] atau (duodekagon)|| 12
|-
| rowspan="19" |
| [[tridekagon]] atau triskaidekagon || 13
|-
| [[tetradekagon]] atau
|-
| [[pentadekagon]] (atau
|-
| [[heksadekagon]] atau
|-
| [[heptadekagon]] atau
|-
| [[oktadekagon]] atau
|-
| [[enneadekagon]] (atau
|-
| [[ikosagon]] || 20
Baris 180 ⟶ 171:
| [[tetrakontagon]] ||40
|-
|
|-
|
|-
|
|-
|
|-
|
|-
|
|-
|
|-
|
|-
| [[
|}
Poligon yang mempunyai jumlah sisi yang lebih dari 20 dan kurang dari 100 dinamakan dengan menggunakan awalan kata nama.<ref name="namingpolygons2">{{cite book|last=Salomon|first=David|date=2011|url=https://books.google.com/books?id=DX4YstV76c4C&pg=PA90|title=The Computer Graphics Manual|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-85729-886-7|pages=88–90}}</ref> Kata "kai" dapat dipakai untuk segi-13 dan poligon yang lebih tinggi darinya. Penggunaan kata "kai" dipakai oleh [[Johannes Kepler|Kepler]], dan kemudian [[John H. Conway|Conway]] memperkenalkan penggunaan kata tersebut untuk menjelaskan awalan bilangan yang digabungkan dalam penamaan [[polihedron kuasiberaturan]].<ref name="drmath">{{cite web|title=Naming Polygons and Polyhedra|url=http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.polygon.names.html|work=Ask Dr. Math|publisher=The Math Forum–Drexel University|access-date=3 May 2015}}</ref> Meskipun demikian, banyak sumber yang tidak memakai kata tersebut.
{| class="wikitable" style="vertical-align:center;"
|- style="text-align:center;"
! colspan="2" rowspan="2" | Angka
! ''dan''
! colspan="2" | Angka
! Imbuhan
|-
! rowspan="9" | -kai-
| 1
| -hena-
! rowspan="9" | -gon
|-
| 20 || icosa- || 2 || -di-
Baris 231 ⟶ 218:
|-
| 90 || enneaconta- || 9 || -ennea-
|}
== Sejarah ==
[[Berkas:Fotothek df tg 0003352 Geometrie ^ Dreieck ^ Viereck ^ Vieleck ^ Winkel.jpg|jmpl|Gambar bersejarah tentang poligon (1699)]]
Poligon telah lama dikenal sejak zaman dahulu. Poligon beraturan dipelajari orang [[Yunani kuno]]. [[Pentagram]], sebuah poligon beraturan non-[[cembung]] ([[poligon bintang]]), ditemukan di [[krater]] Aristophonus, sebuah wadah yang ditemukan Caere, dan saat ini berada di [[Museum Capitolini]].<ref>{{citation|title=A History of Greek Mathematics, Volume 1|first=Sir Thomas Little|last=Heath|author-link=Thomas Little Heath|publisher=Courier Dover Publications|year=1981|isbn=978-0-486-24073-2|page=162|url=https://books.google.com/books?id=drnY3Vjix3kC&pg=PA162}}. Reprint of original 1921 publication with corrected errata. Heath uses the Latinized spelling "Aristophonus" for the vase painter's name.</ref><ref>[http://en.museicapitolini.org/collezioni/percorsi_per_sale/museo_del_palazzo_dei_conservatori/sale_castellani/cratere_con_l_accecamento_di_polifemo_e_battaglia_navale Cratere with the blinding of Polyphemus and a naval battle] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131112080845/http://en.museicapitolini.org/collezioni/percorsi_per_sale/museo_del_palazzo_dei_conservatori/sale_castellani/cratere_con_l_accecamento_di_polifemo_e_battaglia_navale|date=2013-11-12}}, Castellani Halls, Capitoline Museum, accessed 2013-11-11. Terdapat dua pentagram yang terlihat di dekat pusat gambar.</ref>
Kajian tentang poligon non-cembung dimulai oleh [[Thomas Bradwardine]] yang hidup pada abad ke-14.<ref>Coxeter, H.S.M.; ''Regular Polytopes'', 3rd Edn, Dover (pbk), 1973, p.114</ref>
Pada tahun 1952, [[Geoffrey Colin Shephard]] memperumum gagasan tentang poligon bidang kompleks, dengan masing-masing dimensi [[Bilangan riil|real]] disertai dengan dimensi [[Bilangan imajiner|imaginer]], untuk membangun [[Politipe kompleks|poligon kompleks]].<ref>Shephard, G.C.; "Regular complex polytopes", ''Proc. London Math. Soc.'' Series 3 Volume 2, 1952, pp 82-97</ref>
{{Clear}}
== Referensi ==
{{Reflist}}
| |||