Wikipedia

Balok jajar genjang: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.401 suntingan
sedang dikerjakan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.401 suntingan
Tidak ada ringkasan suntingan
 
(6 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{Dalam perbaikan}}
{| class="wikitable" align="right"
! colspan="2" bgcolor="#e7dcc3" |ParallelepipedBalok jajar genjang
|-
| colspan="2" align="center" |[[Berkas:Parallelepiped_2013-11-29.svg|240x240px|Parallelepiped]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |Jenis
|[[Prisma (geometri)|Prisma]]<br>[[Plesiohedron]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |Muka
Baris 21 ⟶ 20:
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |Sifar
|cembucembung, [[zonohedron]]
|}
Dalam [[geometri]], '''balok jajargenjangjajar genjang''' ({{Lang-en|parallelepiped}}) adalah [[Geometri padat|bangunan dimensi tiga]] yang dibentuk oleh enam bangun datar [[jajaran genjang|jajargenjangjajar genjang]], mirip seperti [[kubus]] yang dibentuk oleh enam muka [[persegi]]. Balok jajargenjangjajar genjang mempunyai tiga definisi yang ekuivalen
 
* sebuah [[polihedron]] yang mempunyai enam muka ([[heksahedron]]), tetapi berupa jajargenjangjajar genjang;
* sebuah heksahedron yang mempunyai tiga pasangan muka yang sejajar; dan
* sebuah prisma yang mempunyai alas berbentuk jajargenjangjajar genjang.
 
Terdapat kasus istimewa dari balok jajar genjang, seperti:di Balokantaranya [[kuboid]] berbentuk [[persegi panjang]], yang mempunyai enam muka persegi panjang; [[kubus]] yang mempunyai enam muka [[persegi]]; dan [[rombohedron]] yang mempunyai enam muka [[Layang-layang (geometri)|layang-layang]].
 
Balok jajar genjang merupakan subkelas dari [[prismatoid]].
 
== Sifat ==
Salah satuSebarang dari tiga pasangan permukaanmuka paralelyang sejajar dapat dipandang sebagai bidang alas [[prisma]]. ParalelepipedBalok memilikijajar genjang mempunyai tiga set dari empat tepirusuk yang sejajar, paralel;dan tepirusuk dalam setiap set memilikimempunyai panjang yang sama.
 
ParallelepipedBalok memilikijajar genjang merupakan hasil [[transformasi linear]] dari [[kubus]].
 
KarenaBalok setiapjajar permukaangenjang memilikimerupakan simetri titik[[zonohedron]], paralelepipedsebab adalahmasing-masing bentukmuka darimempunyai [[zonohedronsimetri titik]]. AdaSecara pulakeseluruhan, seluruhbalok paralelepipedjajar memilikigenjang titikmempunyai simetri titik {{math|''C''<sub>i</sub>}}. (lihatMasing-masing pulamuka [[triklinik]]).balok Setiapjajar sisigenjang dapatakan dilihatterlihat berupa gambar cerminan dari luar,muka salahyang satuberhadapan, bayanganjika cerminmemandang daribalok sisijajar yanggenjang berlawanandari luar. MukaBentuk muka pada bangun ruang umumnya berbentukadalah [[kiral]], tetapi parallelepipedbalok nyajajar genjang tidak mempunyainya.
 
Sebuah [[Sarang lebah madu (geometri)|teselasi ''space-filling'']] dapat dikonstruksi dengan menggunakan salinan kongruen dari sebarang balok jajar genjang.
Sebuah [[tessellation]] ruang yang mengisi kemungkinan dengan kongruen salinan parallelepiped apapun.
 
== Volume ==
== Rumus paralelipiped pada luas permukaan ==
[[Berkas:Parallelepiped-v.svg|thumb|250px|Parallelepiped,Balok denganjajar genjang dihasilkan menggunakan vektor.]]▼
[[Luas permukaan]] pada paralelepiped adalah jumlah dari [[luas]] [[jajaran genjang]] pembatas:▼
Sebuah [[paralelepiped]]balok jajar genjang dapat dianggapdipandang sebagai [[Prisma oblique|prisma miring''oblique'']] dengan [[jajaran genjang|jajar genjang]] sebagai alasnya. Karena itu, volume pada <math>V</math> dari sebuah parallelepiped adalah hasil kali dari luas alas <math>L</math> dandengan tinggi <math>t</math> (sebagai diagram). Yaitu ▼
:<math> A = 2 \cdot \left(|\vec a \times \vec b| + |\vec a \times \vec c| + |\vec b \times \vec c|\right)</math>▼
<math display="block">V = L\cdot h = (|\mathbf a| |\mathbf b| \sin \gamma) \cdot |\mathbf c||\cos \theta~| = |\mathbf a \times \mathbf b|~|\mathbf c|~|\cos \theta~| = |(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}|~.</math>dengan <math>L</math> dan tinggi <math>h</math> (lihat gambar).{{efn|1=Luas alas dirumuskan sebagai <math>L = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \sin \gamma = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|</math> dengan <math>\gamma</math> adalah sudut di antara vektor <math>\mathbf a</math> dan <math>\mathbf b</math>). Tinggi dirumuskan sebagai <math>h = |\mathbf c| \cdot |\cos \theta|</math>, dengan <math>\theta</math> adalah sudut vektor di antara vektor <math>\mathbf c</math> dan garis [[garis normal (geometri)|normal]] yang tegak lurus dengan alas.}}
::<math>= 2(ab\sin\gamma+ bc\sin\alpha+ca\sin\beta)\ </math>.
 
Hasil kali dari tiga vektor disebut sebagai [[hasil kali rangkap tiga]], yang dijelaskan dengan menggunakan [[determinan]]. Karena <math>\mathbf a=(a_1,a_2,a_3)^\mathrm{T}, ~\mathbf b=(b_1,b_2,b_3)^\mathrm{T}, ~\mathbf c=(c_1,c_2,c_3)^\mathrm{T},</math> maka volumenya ditulis sebagai:
== Rumus paralelipiped pada volume ==
{{NumBlk||<math display="block">V = \left| \det \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3
{{Dalam perbaikan}}
\end{bmatrix}\; \right| . </math>|{{EquationRef|V1}}}}▼
{{Terjemahan}}
▲[[Berkas:Parallelepiped-v.svg|thumb|250px|Parallelepiped, dengan menggunakan vektor]]
▲Sebuah [[paralelepiped]] dapat dianggap sebagai [[prisma miring]] dengan [[jajaran genjang]] sebagai alasnya. Karena itu volume pada <math>V</math> dari sebuah parallelepiped adalah hasil kali dari luas alas <math>L</math> dan tinggi <math>t</math> (sebagai diagram). Yaitu
:<math>L = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin \gamma = |\vec a \times \vec b|~</math> (darimana <math>\gamma</math> adalah segitiga vektor <math>\vec a</math> dan <math>\vec b</math>), dan
:<math>h = |\vec c| \cdot |\cos \theta~|~</math> (darimana <math>\theta</math> adalah segitiga vektor <math>\vec c</math> dan [[Normal (geometri)|normal]]) yaitu:
:<math>V = L\cdot t = (|\vec a| |\vec b| \sin \gamma) \cdot |\vec c||\cos \theta~| = |\vec a \times \vec b|~|\vec c|~|\cos \theta~| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|~.</math>
The mixed product of three vectors is called [[triple product]]. It can be described by a [[determinant]]. Hence for <math>\vec a=(a_1,a_2,a_3)^T, ~\vec b=(b_1,b_2,b_3)^T, ~\vec c=(c_1,c_2,c_3)^T,</math> the volume is:
:'''(V1)''' <math>\quad V = \left| \det \begin{bmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
▲ \end{bmatrix}\; \right|
</math> .
 
Adapun representasi lain dari volume balok jajar genjang. Representasi tersebut hanya menggunakan sifat geometri, yaitu sudut dan panjang rusuk.
[[Produk campuran]] dari tiga vektor disebut perkalian tiga. Hal tersebut bisa dijelaskan oleh determinan. Karena:
V{{NumBlk||<math display="block">V = abc\sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)},</math>|{{EquationRef|V2}}}}▼
:'''(V2)'''<math>\quad
Darimanadengan <math display="inline">\ \alpha = \angle(\vecmathbf b, \vecmathbf c) ,\; \beta = \angle(\vecmathbf a, \vecmathbf c) ,\; \gamma = \angle(\vecmathbf a, \vecmathbf b) ,\ </math> anddan <math display="inline">a,b,c </math> adalahmenyatakan panjang tepirusuk.▼
▲V = abc\sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)}
</math> ,
 
== Luas permukaan ==
▲Darimana <math>\ \alpha=\angle(\vec b, \vec c) ,\; \beta=\angle(\vec a,\vec c) ,\; \gamma=\angle(\vec a,\vec b) ,\ </math> and <math>a,b,c </math> adalah panjang tepi.
▲[[Luas permukaan]] padabalok paralelepipedjajar genjang adalah jumlah dari [[luas]] [[jajaran genjang]] pembatas:
▲:<math> A = 2 \cdot \left(|\vecmathbf a \times \vecmathbf b| + |\vecmathbf a \times \vecmathbf c| + |\vecmathbf b \times \vecmathbf c|\right) = 2(ab\sin\gamma+ bc\sin\alpha+ca\sin\beta). </math>
 
== Catatan ==
;Proof of (V2)
<references group="lower-alpha" />
 
[[Kategori:Zonohedron]]
The proof of '''(V2)''' uses [[Determinant#Properti pada determinant|properti pada determinant]] dan [[Produk campuran#Definisi Geometri|produk campuran pada geometri]]:
 
Let be <math>M</math> the 3x3-matrix, whose columns are the vectors <math>\vec a, \vec b,\vec c</math> (see above). Then the following is true:
 
:<math> V^2=(\det M)^2=\det M \det M= \det M^T\det M=\det (M^TM)</math>
::<math>=\det \begin{bmatrix}
\vec a\cdot \vec a & \vec a\cdot \vec b & \vec a\cdot \vec c \\
\vec b\cdot \vec a & \vec b\cdot \vec b & \vec b\cdot \vec c \\
\vec c\cdot \vec a & \vec c\cdot \vec b & \vec c\cdot \vec c
\end{bmatrix} =\ a^2b^2c^2\;\left(1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)\right). </math>
 
(The last step uses <math>\ \vec a\cdot \vec a=a^2, ...,\; \vec a\cdot \vec b=ab\cos\gamma,\; \vec a\cdot \vec c=ac\cos\beta,\; \vec b\cdot \vec c=bc\cos\alpha, ... </math>)
 
;
;Tetrahedron yang sesuai
 
Volume setiap [[tetrahedron]] yang berbagi tiga tepi konvergen dari parallelepiped sama dengan seperenam volume dari parallelepiped tersebut (lihat [[Tetrahedron#Volume|bukti]]).
 
== Referensi ==
{{Reflist}}
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Balok_jajar_genjang"