Fungsi kuintik: Perbedaan antara revisi

{{In use}}[[Berkas:Quintic polynomial.svg|thumb|right|233px|Grafik polinomial dengan derajat 5, mempunyai tiga akar real dan empat [[titik kritis (matematika)|titik kritis]].]]

Memecahkan [[persamaan kuintik]] dalam bentuk [[Akar ke-n|akar]] adalah masalah utama dalam aljabar pada abad ke-16, ketika menemukan solusi dari [[persamaan kubik]] dan [[persamaan kuartik]]. Hingga pada setengah abad ke-19, kemustahilan untuk mendapatkan solusi umum dari polinomial tersebut dibuktikan dengan menggunakan [[teorema Abel–Ruffini]].

Beberapa persamaan kuintik dapat diselesaikan dalam bentuk akar, dan persamaan tersebut didefinisikan dengan polinomial [[polinomial tak tersederhanakan|tersederhanakan]], seperti {{math|''x''⁵ − ''x''⁴ − ''x'' + 1 {{=}} (''x''² + 1)(''x'' + 1)(''x'' − 1)²}}. Sebagai contoh, persamaan<math display="block">x^5-x-r=0</math>telah diperlihatkan<ref>Michele Elia and Piero Filipponi. "Equations of the Bring-Jerrard form, the golden section, and square Fibonacci numbers", ''Fibonacci Quarterly'' 36, June-July 1998, 282–286. http://www.fq.math.ca/Scanned/36-3/elia.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230417160819/https://www.fq.math.ca/Scanned/36-3/elia.pdf |date=2023-04-17 }}</ref> mempunyai solusi dalam ekspresi akar [[jika dan hanya jika]] persamaan tersebut mempunyai solusi [[bilangan bulat]] atau <math>r</math> bernilai ±15, ± 22440, atau ± 2759640. Pada kasus ini, polinomial tersebut dapat disederhanakan.

Pada tahun 1888, [[George Paxton Young]]<ref>George Paxton Young. ''Solvable Quintics Equations with Commensurable Coefficients'' ''American Journal of Mathematics'' '''10''' (1888), 99–130 [https://www.jstor.org/pss/2369502 at JSTOR] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230726135131/https://www.jstor.org/stable/2369502 |date=2023-07-26 }}</ref> menjelaskan cara menyelesaikan suatu persamaan kuinitikkuintik terselesaikan tanpa menyediakan rumus yang eksplisit. Rumus tersebut ditulis dalam tiga halaman oleh [[Daniel Lazard]].<ref>{{harvtxt|Lazard|2004|p=207}}</ref><!--

Sekitar tahun 1835, [[George Jerrard|Jerrard]] memperlihatkan bahwa persamaan kuintik dapat diselesaikan dengan menggunakan [[ultraradikal]] (atau juga dikenal sebagai [[radikal Bring]]), sebuah akar real dari persamaan {{math|''t''⁵ + ''t'' − ''a'' {{=}} 0}} untuk bilangan real {{math|''a''}}. Pada tahun 1858, [[Charles Hermite]] memperlihatkan bahwa radikal Bring dapat dikarakterisasi dalam [[fungsi theta]] Jacobi dan [[fungsi modular eliptik]] iringannya, dengan menggunakan pendekatan yang mirip dengan pendekatan yang lebih dikenal dalam menyelesaikan [[persamaan kubik]] melalui [[fungsi trigonometri]]. Di sekitar waktu yang sama, [[Leopold Kronecker]] dan [[Francesco Brioschi]] menggunakan [[teori grup]] dan mengembangkan cara yang lebih sederhana untuk memperoleh hasil Hermite. [[Felix Klein]] kemudian menemukan metode yang mengaitkan simetri dari [[ikosahedron]], [[teori Galois]], dan fungsi modular eliptik yang dipakai dalam solusi Hermite; menjelaskan alasan fungsi tersebut harus dipakai, dan mengembangkan solusinya sendiri dengan menggunakan [[Fungsi hipergeometrik rampat|fungsi hipergeometrik diperumum]].<ref>{{Harv|Klein|1888}}; a modern exposition is given in {{Harv|Tóth|2002|loc=Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron, [https://books.google.com/books?id=i76mmyvDHYUC&pg=PA66 p. 66]}}</ref> Fenomena yang serupa terjadi dalam persamaan berderajat 7 (atau [[persamaan septik]]) dan persamaan berderajat 11, saat Klein mempelajarinya.<!--

Tanda ± samamewakili denganmasing-masing ''L''<submath>2L_2</submath> anddan ''L''<submath>1L_1</submath>, masing-masing; '' <math>G ''</math> adalah [[konstanta gravitasi]], ''<math>\omega</math> ω ''adalah [[kecepatan sudut]], '' <math>r</math> ''adalah jarak satelit ke Bumi, '' <math>R ''</math> jarak Matahari ke Bumi (yaitu, [[sumbu semi-mayor]] orbit bumi), danserta ''<math>m''</math>, ''M<submath>EM_E</submath>'', dan ''M<submath>SM_S</submath>'' adalah massa masing-masing satelit, [[Bumi]], dan [[Matahari]].

Menggunakan Hukum Ketiga Kepler <math display="inline">\omega^2=\frac{4 \pi^2}{P^2}=\frac{G (M_S+M_E)}{R^3}</math> dan mengaturmenyusun ulang semua istilahpartisipan persamaan menghasilkan kuintik:

dengan <math>a = \pm (M_S + M_E)</math> , <math>b = + (M_S + M_E) 3 R</math> , <math>c = \pm (M_S + M_E) 3 R^2</math> , <math>d = + (M_E \mp M_E) R^3</math> (thusjadi ''<math>d'' = 0</math> foruntuk ''L''<submath>2L_2</submath>), <math>e = \pm M_E 2 R^4</math> , <math>f = \mp M_E R^5</math> .

Memecahkanyang duajuga hasilakan kuintik inimenghasilkan {{math|1=''r'' = 1.5015 x 10⁹ ''m''}} for ''L''₂ dan {{math|1=''r'' = 1.491 x 10⁹ ''m''}} untuk ''L''₁.satelit [[Daftarpada objek di titik Lagrangian|Titik Lagrangian Matahari–Bumi]] ''L''<submath>2L_1</submath> dan ''L''<submath>1L_2</submath> biasanya diberikan sejauh 1,5 juta kmdalam darisistem Matahari-Bumi.

* [[Jörg Bewersdorff]], ''Galois theory for beginners: A historical perspective'', [[American Mathematical Society]], 2006. {{isbn|0-8218-3817-2}}. Chapter 8 ({{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100331181637/http://www.ams.org/bookstore/pspdf/stml-35-prev.pdf|title=The solution of equations of the fifth degree|date=31 March 2010}}) gives a description of the solution of solvable quintics {{math|''x''⁵ + ''cx'' + ''d''}}.

* [http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html Mathworld - Quintic Equation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201023004530/https://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html |date=2020-10-23 }} – more details on methods for solving Quintics.