Fungsi kuintik: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) ce, displayblock |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (3 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 6:
Dengan menetapkan {{math|''g''(''x'') {{=}} 0}}, dan mengasumsi bahwa {{math|''a'' ≠ 0}}, akan menghasilkan '''persamaan kuintik''' dalam bentuk:<math display="block">ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0.\,</math>
Memecahkan [[persamaan kuintik]] dalam bentuk [[Akar ke-n|akar]] adalah masalah utama dalam aljabar pada abad ke-16, ketika menemukan solusi dari [[persamaan kubik]] dan [[persamaan kuartik]]. Hingga pada setengah abad ke-19, kemustahilan untuk mendapatkan solusi umum dari polinomial tersebut dibuktikan dengan menggunakan [[teorema Abel–Ruffini]].
== Mencari akar dari persamaan kuintik ==
Baris 16:
== Persamaan kuintik yang terpecahkan ==
Beberapa persamaan kuintik dapat diselesaikan dalam bentuk akar, dan persamaan tersebut didefinisikan dengan polinomial [[polinomial tak tersederhanakan|tersederhanakan]], seperti {{math|''x''<sup>5</sup> − ''x''<sup>4</sup> − ''x'' + 1 {{=}} (''x''<sup>2</sup> + 1)(''x'' + 1)(''x'' − 1)<sup>2</sup>}}. Sebagai contoh, persamaan<math display="block">x^5-x-r=0</math>telah diperlihatkan<ref>Michele Elia and Piero Filipponi. "Equations of the Bring-Jerrard form, the golden section, and square Fibonacci numbers", ''Fibonacci Quarterly'' 36, June-July 1998, 282–286. http://www.fq.math.ca/Scanned/36-3/elia.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230417160819/https://www.fq.math.ca/Scanned/36-3/elia.pdf |date=2023-04-17 }}</ref> mempunyai solusi dalam ekspresi akar [[jika dan hanya jika]] persamaan tersebut mempunyai solusi [[bilangan bulat]] atau <math>r</math> bernilai ±15, ± 22440, atau ± 2759640. Pada kasus ini, polinomial tersebut dapat disederhanakan.
Penyelesaian persamaan kuintik tersederhanakan disederhanakan secara langung agar membentuk penyelesaian polinomial dengan derajat yang lebih kecil, sehingga yang tersisa hanyalah persamaan kuintik tak tersederhanakan. Karena itu, istilah "kuintik" hanya akan merujuk pada kuintik tak tersederhanakan. '''Kuintik terpecahkan''' ({{Lang-en|solvable quintic}}) adalah polinomial kuintik tak tersederhanakan yang akarnya dapat dinyatakan dalam ekspresi akar
Untuk mengkarakterisasi kuintik terpecahkan, dan untuk polinomial dengan derajat yang lebih tinggi, [[Évariste Galois]] mengembangkan teknik yang memunculkan [[teori grup]] dan [[teori Galois]]. Ketika menerapkan teknik tersebut, [[Arthur Cayley]] menemukan kriteria umum untuk menentukan apakah sebarang persamaan kuintik terselesaikan (dapat diselesaikan).<ref>A. Cayley. "On a new auxiliary equation in the theory of equation of the fifth order", Philosophical Transactions of the Royal Society of London (1861).</ref> Kriteria tersebut menjelaskan sebagai berikut.<ref>Formulasi hasil Cayley ini diambil dari Lazard (2004) paper.</ref>
Baris 32:
</math>Hasil Cayley memungkinkan seseorang untuk menguji apakah persamaan kuintik tersebut terpecahkan. Jika demikian, maka mencari akarnya adalah masalah yang lebih sulit, yang terdiri dari mencari akar dalam ekspresi radikal yang melibatkan koefisien dari persamaan kuintik dan akar rasional dari resolven Cayley.
Pada tahun 1888, [[George Paxton Young]]<ref>George Paxton Young. ''Solvable Quintics Equations with Commensurable Coefficients'' ''American Journal of Mathematics'' '''10''' (1888), 99–130 [https://www.jstor.org/pss/2369502 at JSTOR] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230726135131/https://www.jstor.org/stable/2369502 |date=2023-07-26 }}</ref> menjelaskan cara menyelesaikan suatu persamaan kuintik terselesaikan tanpa menyediakan rumus yang eksplisit. Rumus tersebut ditulis dalam tiga halaman oleh [[Daniel Lazard]].<ref>{{harvtxt|Lazard|2004|p=207}}</ref><!--
===Quintics in Bring–Jerrard form===
Baris 218:
Memecahkan lokasi [[titik Lagrangian]] dari orbit astronomi dengan massa dari kedua objek tidak dapat diabaikan melibatkan penyelesaian kuintik.
Lebih tepatnya, lokasi <math>L_2</math> dan <math>L_1</math> adalah solusi untuk persamaan berikut, dengan [[Gravitasi|gaya gravitasi]] dua objek bermassa terhadap objek ketiga (sebagai contoh, Matahari dan Bumi terhadap satelit seperti [[Gaia probe|Gaia]] di <math>L_2</math> dan [[Observatorium Surya dan Heliosfer|SOHO]] di <math>L_1</math>) memberikan [[gaya sentripetal]] satelit yang diperlukan untuk tetap berada dalam orbit sinkron dengan Bumi di sekitar Matahari:
: <math>\frac{G m M_S}{(R \pm r)^2} \pm \frac{G m M_E}{r^2} = m \omega^2 (R \pm r)</math>
Baris 252:
* Blair Spearman and Kenneth S. Williams, "Characterization of solvable quintics {{math|''x''<sup>5</sup> + ''ax'' + ''b''}}, ''American Mathematical Monthly'', Vol. 101 (1994), pp. 986–992.
* Ian Stewart, ''Galois Theory'' 2nd Edition, Chapman and Hall, 1989. {{isbn|0-412-34550-1}}. Discusses Galois Theory in general including a proof of insolvability of the general quintic.
* [[Jörg Bewersdorff]], ''Galois theory for beginners: A historical perspective'', [[American Mathematical Society]], 2006. {{isbn|0-8218-3817-2}}. Chapter 8 ({{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100331181637/http://www.ams.org/bookstore/pspdf/stml-35-prev.pdf|title=The solution of equations of the fifth degree|date=31 March 2010}}) gives a description of the solution of solvable quintics {{math|''x''<sup>5</sup> + ''cx'' + ''d''}}.
* Victor S. Adamchik and David J. Jeffrey, "Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard," ''ACM SIGSAM Bulletin'', Vol. 37, No. 3, September 2003, pp. 90–94.
* Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, "A method for removing all intermediate terms from a given equation," ''ACM SIGSAM Bulletin'', Vol. 37, No. 1, March 2003, pp. 1–3.
Baris 259:
== Pranala luar ==
* [http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html Mathworld - Quintic Equation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201023004530/https://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html |date=2020-10-23 }} – more details on methods for solving Quintics.
* [http://www.emba.uvm.edu/~dummit/quintics/solvable.pdf Solving Solvable Quintics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120307030156/http://www.emba.uvm.edu/~dummit/quintics/solvable.pdf |date=2012-03-07 }} – a method for solving solvable quintics due to David S. Dummit.
* [https://web.archive.org/web/20090226035640/http://www.sigsam.org/bulletin/articles/143/tschirnhaus.pdf A method for removing all intermediate terms from a given equation] - a recent English translation of Tschirnhaus' 1683 paper.
| |||