Teorema Pythagoras: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Rescuing 1 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.9.2 |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (3 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 42:
Bukti ini didasarkan pada [[Kesebandingan (matematika)|Kesebandingan]] sisi-sisi dari dua segitiga yang sama, yaitu, pada kenyataan bahwa [[rasio]] dari setiap dua sisi yang sesuai dari segitiga yang sama adalah sama terlepas dari ukuran segitiga.
Biarkan ''ABC'' mewakili segitiga siku-siku, dengan sudut kanan terletak di ''C'', seperti yang ditunjukkan pada gambar. Gambar [[Ketinggian (segitiga)|ketinggian]] dari titik ''C'', dan dikatakan ''H'' persimpangan dengan sisi ''AB''. Titik ''H'' membagi panjang sisi miring ''c'' menjadi bagian ''d'' dan ''e''. ''ACH'' segitiga baru [[Kesamaan (geometri)|sama]] dengan segitiga ''ABC'', karena mereka berdua memiliki sudut kanan (menurut definisi ketinggian), dan mereka berbagi sudut pada ''A'', yang berarti bahwa sudut ketiga akan sama di kedua segitiga juga, ditandai sebagai θ pada gambar. Dengan alasan yang sama, segitiga ''CBH'' juga mirip dengan ''ABC''. Bukti kesamaan segitiga membutuhkan [[postulat segitiga]]: jumlah [[Sudut dalam dan luar|sudut dalam]] segitiga adalah dua sudut kanan, dan setara dengan [[postulat paralel]]. Kesamaan segitiga menyebabkan rasio kesetaraan dari sisi yang sesuai:
:<math> \frac{BC}{AB}=\frac{BH}{BC} \text{ dan } \frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}.</math>
Baris 63:
=== Bukti Euklid ===
[[Berkas:Illustration_to_Euclid's_proof_of_the_Pythagorean_theorem.svg|jmpl|Bukti dalam ''Elemen'' Euclid]]
Secara garis besar, berikut adalah bagaimana bukti dalam ''[[Elemen Euclid|Elemen]]'' [[Euclid]] berasal. Persegi besar dibagi menjadi [[persegi panjang]] kiri dan kanan. Sebuah segitiga dibangun yang memiliki setengah luas persegi panjang kiri. Kemudian segitiga lain dibangun yang memiliki setengah luas persegi di sisi paling kiri. Dua segitiga ini terbukti kongruen, membuktikan bahwa persegi ini memiliki area yang sama dengan persegi panjang kiri. Argumen ini diikuti oleh versi yang sama untuk persegi panjang kanan dan persegi yang tersisa. Menempatkan dua persegi panjang bersama-sama untuk mereformasi alun-alun pada sisi miring, luasnya sama dengan jumlah luas dari dua kotak lainnya. Detailnya mengikuti.
Biarkan ''A'', ''B'', ''C'' menjadi [[Vertex (geometri)|simpul]] dari segitiga siku-siku, dengan sudut siku-siku pada ''A''. Letakkan tegak lurus dari ''A'' ke sisi yang berlawanan dengan sisi miring dalam persegi pada sisi miring. Garis itu membagi persegi pada sisi miring menjadi dua persegi panjang, masing-masing memiliki luas yang sama dengan salah satu dari dua kotak pada kaki.
Baris 70:
# Jika dua segitiga memiliki dua sisi yang satu sama dengan dua sisi yang lain, masing-masing untuk masing-masing, dan sudut yang dimasukkan oleh sisi yang sama, maka segitiga adalah kongruen ([[sisi-sudut-sisi]]).
# Luas segitiga adalah setengah luas dari setiap [[jajar genjang]] pada alas yang sama dan memiliki ketinggian yang sama.
# Luas persegi panjang sama dengan produk dari dua sisi yang berdekatan.
# Luas kotak sama dengan produk dari dua sisinya (mengikuti dari 3).
Baris 84:
# Gabungkan dengan DF dan AD, untuk membentuk segitiga BCF dan BDA
# Sudut CAB dan BAG keduanya adalah sudut kanan; oleh karena itu C, A, dan G adalah kollinear. Demikian pula untuk B, A, dan H.
# Sudut CBD dan FBA keduanya sudut kanan; Oleh karena itu sudut ABD sama dengan sudut FBC, karena keduanya adalah jumlah dari sudut kanan dan sudut [[American Broadcasting Company|ABC]].
# Karena AB sama dengan FB dan BD sama dengan BC, segitiga ABD harus kongruen dengan segitiga FBC.
# Karena AKL adalah garis lurus, sejajar dengan BD, maka persegi panjang BDLK memiliki dua kali luas segitiga ABD karena mereka berbagi basis BD dan memiliki ketinggian BK yang sama, yaitu, garis normal ke basis umum mereka, menghubungkan garis paralel BD dan AL. (lemma 2)
Baris 163:
=== Bentuk serupa di tiga sisi ===
Generalisasi teorema Pythagoras yang melampaui bidang bujur sangkar pada tiga sisi hingga [[Kesamaan (geometri)|bentuk yang sama]] diketahui oleh [[Hippocrates of Chios]] pada abad ke-5 SM, dan dimasukkan oleh [[Euclid]] dalam buku ''[[Euclid's Elements|Elements]]'':<blockquote>Jika salah satu memasang angka yang sama (lihat [[geometri Euclidean]]) dengan sisi yang sesuai di sisi segitiga siku-siku, maka jumlah area yang ada di dua sisi yang lebih kecil sama dengan luas area yang ada di sisi yang lebih besar.</blockquote>Perpanjangan ini mengasumsikan bahwa sisi-sisi segitiga asli adalah sisi yang sesuai dari tiga angka yang kongruen (sehingga rasio sisi yang sama antara angka-angka yang sama adalah ''a:b:c'').<ref name="Putz">Putz, John F. and Sipka, Timothy A. "On generalizing the Pythagorean theorem", ''The College Mathematics Journal'' 34 (4), September 2003, pp. 291–295.</ref> Sementara bukti Euclid hanya berlaku untuk [[poligon]] cembung, teorema juga berlaku untuk poligon cekung dan bahkan untuk angka-angka serupa yang memiliki batas melengkung (tetapi masih dengan bagian dari batas gambar menjadi sisi segitiga asli).<ref name="Putz" />
Gagasan dasar di balik generalisasi ini adalah bahwa luas bidang gambar [[Kesebandingan (matematika)|sebanding]] dengan kuadrat dimensi linear apa pun, dan khususnya sebanding dengan kuadrat panjang sisi mana pun. Jadi, jika gambar yang serupa dengan area ''A'', ''B'' dan ''C'' didirikan pada sisi dengan panjang yang sesuai ''a'', ''b'' dan ''c'' maka:
Baris 188:
dimana <math>\theta</math> adalah sudut antara sisi <math>a</math> dan <math>b</math>.
Saat <math>\theta</math> adalah <math>\frac{\pi}{2}</math> [[radian]] atau 90°, lalu <math>\cos{\theta} = 0</math>, dan rumusnya direduksi menjadi teorema Pythagoras yang biasa.
== Lihat pula ==
| |||