Partisi (teori bilangan): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) →Referensi: reorder |
||
| (5 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Under construction}}
Dalam [[teori bilangan]] dan [[kombinatorik]], '''partisi''' dari [[bilangan bulat]] positif {{Math|''n''}} adalah suatu cara menulis bilangan {{Math|''n''}} sebagai jumlah dari bilangan bulat positif. Ini juga dikenal sebagai '''partisi bilangan bulat'''. Dua penjumlahan yang berbeda dalam urutan tinambahnya dianggap memiliki partisi yang sama.
Baris 14 ⟶ 16:
Sebagai gantinya, notasi kelipatan tersebut dapat ditulis sebagai <math>1^{m_1}2^{m_2}3^{m_3}\cdots</math>, dengan <math>m_1</math> melambangkan jumlah bilangan 1, <math>m_2</math> melambangkan jumlah bilangan 2, dan begitu seterusnya. Sebagai contoh, partisi dari <math>n = 5</math> ditulis <math>5^1, 1^1 4^1, 2^1 3^1, 1^2 3^1, 1^1 2^2, 1^3 2^1, 1^5</math>. Karena representasi tersebut, maka dapat ditulis langsung menggunakan rumus fungsi pembangkit berikut:<math display="block">\sum_{n\geq 0} p(n)q^n
= \prod_{i\geq 1}\sum_{m\geq0} q^{im}
=\prod_{i\geq 1}\frac{1}{1-q^i}.</math>
== Representasi melalui diagram ==
Partisi bilangan bulat dapat direpresenasikan menggunakan dua diagram. Diagram tersebut di antaranya: diagram Ferrers, yang dinamai dari [[Norman Macleod Ferrers]]; dan [[diagram Young]], yang dinamai dari [[Alfred Young]]. Dalam diagram Ferre, partisi dari 14, yaitu 6 + 4 + 3 + 1, dapat dinyatakan sebagai:
: [[Berkas:GrayDot.svg|16x16px|*]][[Berkas:GrayDot.svg|16x16px|*]][[Berkas:GrayDot.svg|16x16px|*]][[Berkas:GrayDot.svg|16x16px|*]][[Berkas:GrayDot.svg|16x16px|*]][[Berkas:GrayDot.svg|16x16px|*]]
: [[Berkas:GrayDot.svg|16x16px|*]][[Berkas:GrayDot.svg|16x16px|*]][[Berkas:GrayDot.svg|16x16px|*]][[Berkas:GrayDot.svg|16x16px|*]]
: [[Berkas:GrayDot.svg|16x16px|*]][[Berkas:GrayDot.svg|16x16px|*]][[Berkas:GrayDot.svg|16x16px|*]]
: [[Berkas:GrayDot.svg|16x16px|*]]
Keempat belas lingkaran tersebut disusun dengan 4 baris.
Di sisi lain, diagram Young menggunakan kotak daripada lingkaran kecil, seperti diagram Ferrers. Sebagai contoh, diagram Young untuk partisi 5 + 4 + 1 adalah:
: [[Image:Young diagram for 541 partition.svg|100px]]
sedangkan diagram Ferrers untuk partisi yang sama adalah
:{|
|- style="vertical-align:top; text-align:left;"
| [[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]]<br />[[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]]<br />[[File:GrayDot.svg|16px|*]]
|- style="vertical-align:top; text-align:center;"
|}
== Fungsi partisi ==
{{main|Fungsi partisi (teori bilangan)}}
[[Fungsi partisi (teori bilangan)|Fungsi partisi]] <math>p(n)</math> sama dengan jumlah yang dapat dimiliki partisi bilangan bulat non-negatif <math>n</math>. Sebagai contoh, <math>p(4)=5</math> karena <math>4</math> memiliki 5 partisi, yaitu: <math>1+1+1+1</math>, <math>1+1+2</math>, <math>1+3</math>, <math>2+2</math>, dan <math>4</math>. Nilai dari fungsi tersebut untuk <math>n=0,1,2,\dots</math> adalah:
: 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, ... {{OEIS|id=A000041}}.
[[Fungsi pembangkit]] dari <math>p</math> adalah
: <math>\sum_{n=0}^{\infty}p(n)q^n=\prod_{j=1}^{\infty}\sum_{i=0}^{\infty}q^{ji}=\prod_{j=1}^{\infty}(1-q^j)^{-1}.</math>
[[Ekspresi bentuk tertutup]] untuk fungsi partisi masih belum dikethaui. Akan tetapi, fungsi partisi memiliki [[Analisis asimtotik|ekspansi asimtotik]] yang menghampirinya dengan akurat, serta dapat dihitung dengan tepat menggunankan [[relasi rekurensi]]. Fungsi partisi menaik (bertumbuh) sebagai [[fungsi eksponensial]] dari [[akar kuadrat]] dari argumennya.{{sfn|Andrews|1976|p=69}} [[Invers perkalian]] dari fungsi pembangkitnya adalah [[fungsi Euler]], dan berdasarkan [[teorema bilangan pentagonal]] Euler, fungsi ini merupakan penjumlahan selang-seling dari perpangkatan [[bilangan pentagonal]] dari argumennya.
: <math>p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots</math>
[[Srinivasa Ramanujan]] menemukan bahwa fungsi partisi mempunyai pola nontrivial dalam [[aritmetika modular]], yang kini dikenal sebagai [[kongruensi Ramanujan]]. Sebagai contoh, ketika representasi desimal <math>n</math> berakhir di digit 4 atau 9, maka jumlah partisi <math>n</math> akan dapat dibagi oleh 5.{{sfn|Hardy|Wright|2008|p=380}}
== Lihat pula ==
* [[Faktorisasi bilangan bulat]]
* [[Partisi bidang]]
* [[Partisi himpunan]]
== Catatan ==
{{Reflist|colwidth=30em}}
[[Kategori:Partisi bilangan bulat]]
== Referensi ==
* {{cite book|last=Andrews|first=George E.|date=1976|title=The Theory of Partitions|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-63766-X|author-link=George E. Andrews}}
* {{wikicite|reference={{Hardy and Wright|citation=cite book}}|ref={{harvid|Hardy|Wright|2008}}}}
| |||