Partisi (teori bilangan): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) akan diperbaiki untuk kedepannya |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) →Referensi: reorder |
||
| (2 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan) | |||
Baris 37:
|}
==
{{main|Fungsi partisi (teori bilangan)}}
[[Fungsi partisi (teori bilangan)|Fungsi partisi]] <math>p(n)</math> sama dengan jumlah yang dapat dimiliki partisi bilangan bulat non-negatif <math>n</math>. Sebagai contoh, <math>p(4)=5</math> karena <math>4</math> memiliki 5 partisi, yaitu: <math>1+1+1+1</math>, <math>1+1+2</math>, <math>1+3</math>, <math>2+2</math>, dan <math>4</math>. Nilai dari fungsi tersebut untuk <math>n=0,1,2,\dots</math> adalah:
: 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, ... {{OEIS|id=A000041}}.
[[Fungsi pembangkit]] dari <math>p</math> adalah
: <math>\sum_{n=0}^{\infty}p(n)q^n=\prod_{j=1}^{\infty}\sum_{i=0}^{\infty}q^{ji}=\prod_{j=1}^{\infty}(1-q^j)^{-1}.</math>
[[Ekspresi bentuk tertutup]] untuk fungsi partisi masih belum dikethaui. Akan tetapi, fungsi partisi memiliki [[Analisis asimtotik|ekspansi asimtotik]] yang menghampirinya dengan akurat, serta dapat dihitung dengan tepat menggunankan [[relasi rekurensi]]. Fungsi partisi menaik (bertumbuh) sebagai [[fungsi eksponensial]] dari [[akar kuadrat]] dari argumennya.{{sfn|Andrews|1976|p=69}} [[Invers perkalian]] dari fungsi pembangkitnya adalah [[fungsi Euler]], dan berdasarkan [[teorema bilangan pentagonal]] Euler, fungsi ini merupakan penjumlahan selang-seling dari perpangkatan [[bilangan pentagonal]] dari argumennya.
: <math>p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots</math>
[[Srinivasa Ramanujan]] menemukan bahwa fungsi partisi mempunyai pola nontrivial dalam [[aritmetika modular]], yang kini dikenal sebagai [[kongruensi Ramanujan]]. Sebagai contoh, ketika representasi desimal <math>n</math> berakhir di digit 4 atau 9, maka jumlah partisi <math>n</math> akan dapat dibagi oleh 5.{{sfn|Hardy|Wright|2008|p=380}}
== Lihat pula ==
* [[Faktorisasi bilangan bulat]]
* [[Partisi bidang]]
* [[Partisi himpunan]]
== Catatan ==
{{Reflist|colwidth=30em}}
[[Kategori:Partisi bilangan bulat]]
== Referensi ==
* {{cite book|last=Andrews|first=George E.|date=1976|title=The Theory of Partitions|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-63766-X|author-link=George E. Andrews}}
* {{wikicite|reference={{Hardy and Wright|citation=cite book}}|ref={{harvid|Hardy|Wright|2008}}}}
| |||