Bilangan segitiga kuadrat: Perbedaan antara revisi

[[Berkas:Nicomachus_theorem_3D.svg|ka|jmpl| Persegi yang panjang sisinya adalah bilangan segitiga dapat dipartisi menjadi persegi dan setengah persegi, yang luasnya bertambah menjadi jumlah bilangan kubikpangkat tiga.<ref>{{Harvard citation text|Gulley|2010}}</ref> ]]

Dalam [[Teori bilangan|teorema bilangan]], jumlah <math>n </math> [[Pangkatpangkat tiga|kubik]] pertama adalah kuadrat dari bilangan [[Bilangan segitiga|segitiga]] ke-<math>n </math>. Jumlah tersebut dirumuskan sebagai<math display="block">1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \left(1+2+3+\cdots+n\right)^2.</math>Dengan menggunakan [[notasi Sigma]], persamaan tersebut dapat ditulis<math display="block">\sum_{k=1}^n k^3 = \bigg(\sum_{k=1}^n k\bigg)^2.</math>

{{Harvard citation text|Stein|1971}} mengamati bahwa bilangan segitiga kuadrat juga menghitung jumlah [[persegi panjang]] dengan sisi horizontal dan vertikal dibentuk dalam sebuah <math>n \times n </math> [[ Kisi persegi |kisi]]. Sebagai contoh, titik-titik dari <math>4\times4</math> kisi (atau persegi yang terdiri dari tiga persegi kecil di samping) dapat membentuk 36 persegi panjang yang berbeda. Dengan cara yang serupa, jumlah bilangan kuadrat dalam kisi persegi tersebut dihitung dengan bilangan piramidal kuadrat.

Identitas tersebut juga mengatakan pandangan probabilistik sebagai berikut: Misalkan <math>W, X, Y, Z </math> menyatakan [[bilangan bulat]] yang dipilih secara independen dan seragam di sebarang bilangan di antara <math>1</math> dan <math>n </math>. Maka, probabilitas mengatakan bahwa <math>W </math> adalah bilangan bulat terbesar dari keempat bilangan yang sama dengan probabilitas yang mengatakan <math>Y </math> setidaknya sebesar <math>X </math>, dan <math>W </math> setidaknya sebesar <math>Z </math><math display="block">\mathbf{P}({\max(X,Y,Z) \leq W}) = \mathbf{P}(\{X \leq Y\} \cap \{Z \leq W\}). </math>Probabilitas masing-masing adalah ruas kiri dan ruas kanan pada identitas Nichomacus, yang dinormalisasi untuk membuat probabilitas dengan membagi kedua ruas oleh <math>n^4</math>.{{Butuh rujukan}}

{{harvs|txt|first=Charles|last=Wheatstone|authorlink=Charles Wheatstone|year=1854}} memberikan pembuktian yang sangat sederhana, dengan memperluas setiap bilangan kubik dalam penjumlahan menjadi suatu himpunan dari bilangan ganjil yang berurutan. Wheatstone memulainya dengan memberikan identitas<math display="block">n^3 = \underbrace{\left(n^2-n+1\right) + \left(n^2-n+1+2\right) + \left(n^2-n+1+4\right)+ \cdots + \left(n^2+n-1\right)}_{n\text{ bilangan ganjil berurutan }}.</math>Identitas tersebut berkaitan dengan [[bilangan segitiga]] <math>T_n</math> yang disederhankan sebagai:<math display="block">n^3 =\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}} (2 k-1).</math>Dengan demikian, tinambah di atas akan membentuk <math>n^3 </math> setelah semua bilangan segitiga membentuk nilai sebelumnya yang dimulai dari <math>1^3 </math> sampai <math>(n-1)^3</math> . Dengan menerapkan sifat tersebut, bersama dengan identitas terkenal lainnya:<math display="block">n^2 = \sum_{k=1}^n (2k-1),</math>maka akan menghasilkan bentuk berikut:<math display="block">

\end{align}</math>

{{harvtxt|Row|1893}} mendapatkan bukti lain dengan menjumlahkan bilangan-bilangan dalam suatu [[tabel perkalian]] persegi dengan dua cara berbeda. Jumlah dari baris ke-<math>i</math> adalah <math>i</math> dikalikan dengan bilangan segitiga, yang berarit bahwa jumlah dari semua baris adalah kuadrat dari bilangan segitiga. Alternatifnya,Cara lainnya adalah seseorang dapat menguraikan tabel menjadi barisan [[gnomon]] bersarang, yang masing-masing bilangan terdiri dari hasil kali yang lebih besar dari dua suku adalahmemberikan suatu nilai konstan. Jumlah dalam setiap gnomon adalah bilangan kubikpangkat tiga, dan demikian bahwa jumlah seluruh tabel adalah jumlah bilangan kubikpangkat tiga.

[[Berkas:Sum_of_cubes2.png|jmpl| Gambaran visual yang mengatakan bahwa kuadrat dari bilangan segitiga sama dengan jumlah bilangan kubikpangkat tiga. |400x400px]]

Terdapat hasil yang mirip dengan teorema Nicomachus, dan hasil tersebut berlaku untuk semua [[Rumus Faulhaber|jumlah pangkat]]: jumlah pangkat ganjil sama dengan polinomial dalam bilangan segitiga. Hasil pernyataan itu disebut [[ Formula Faulhaber |polinomial Faulhaber]], suatu polinomial dengan jumlah bilangan kubikpangkat tiga yang merupakan contoh paling sederhana dan paling elegan. Namun, tidak ada kasus lain yang memiliki satu jumlah pangkat kuadrat dari yang lain.<ref>{{Harvard citation|Edmonds|1957}}</ref>

{{Reflist}}  {{refbegin|colwidth=30em}}