Geometri simplektik: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k →Contoh dan struktur: pembersihan kosmetika dasar |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (Satu revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Limitcycle.svg|jmpl|340px|ka|[[Potret fase]] dari [[oskilator Van der Pol]], sebuah sistem satu dimensional. [[Ruang fase]] adalah obnyek asli dari pembelajaran dalam geometri simplektik.]]
'''Geometri simplektik''' adalah sebuah cabang [[geometri diferensial]] dan [[topologi diferensial]] yang mempelajari manifol-[[manifol simplektik]]; yang merupakan manifol-[[manifol diferensiabel]] yang dialati dengan [[bentuk diferensial|bentuk]] [[bentuk dieferensial tertutup|tertutup]] dan [[bentuk nondegenerasi|nondegenerasi]] Geometri simplektik bermula dari [[mekanika Hamiltonian|perumusan Hamiltonian]] dari [[mekanika klasik]] dimana [[ruang fase]] dari sistem-sistem klasik tertentu ditampatkan pada struktur manifol simplektik.<ref>{{cite news |first=Kevin |last=Hartnett |date=February 9, 2017 |title=A Fight to Fix Geometry’s Foundations |work=[[Quanta Magazine]] |url=https://www.quantamagazine.org/20170209-the-fight-to-fix-symplectic-geometry/ |access-date=2017-09-26 |archive-date=2017-03-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170315142111/https://www.quantamagazine.org/20170209-the-fight-to-fix-symplectic-geometry/ |dead-url=no }}</ref>
== Pendahuluan ==
Baris 21:
== Perbandingan dengan geometri Riemannian ==
Geometri simplektis memiliki sejumlah persamaan dan perbedaan dari [[geometri Riemannian]], yaitu studi tentang [[lipatan terdiferensiasi]] yang dilengkapi dengan 2-tensor simetris nondegenerasi. Berbeda dengan kasus Riemannian, lipatan simplektis tidak memiliki invarian lokal seperti [[kelengkungan lipatan Riemannian|kelengkungan]]. Ini adalah konsekuensi dari [[Teorema Darboux]] yang menyatakan bahwa lingkungan dari apapun titik lipatan simplektis berdimensi 2''n '' isomorfik terhadap struktur simplektis standar pada [[himpunan terbuka]] ℝ<sup>2''n''</sup>. Perbedaan lain dengan geometri Riemannian adalah bahwa tidak setiap kebutuhan lipatan yang dapat dibedakan menerima bentuk simplektis; ada batasan topologi tertentu. Misalnya, setiap lipatan simplektis berdimensi genap dan [[berorientasi]]. Selain itu, bila ''M'' adalah lipatan simplektis tertutup, kemudian [[kohomologi de Rham]] [[Grup (matematika)|grup]] ke-2 ''H''<sup>2</sup>(''M'') tidak sepele; ini menyiratkan, misalnya, bahwa satu-satunya [[N-bola|'' n ''-bola]] yang menerima bentuk simplektis adalah [[Bola (geometri)|2-bola]]. Sebuah paralel yang dapat ditarik antara dua subjek adalah [[analogi]] antara [[geodesik]] dalam geometri Riemannian dan [[kurva pseudoholomorfik]] dalam geometri simplektis: Geodesik adalah kurva dengan panjang terpendek (secara lokal), sedangkan kurva pseudoholomorfik adalah permukaan dengan luas minimal. Kedua konsep tersebut memainkan peran mendasar dalam disiplin ilmu masing-masing.
== Contoh dan struktur ==
Setiap [[lipatan Kähler]] juga merupakan lipatan simplektis. Hingga tahun 1970-an, para ahli simplektis tidak yakin apakah ada lipatan simplektis non-Kähler yang kompak, tetapi sejak itu banyak contoh telah dibuat (yang pertama adalah karena [[William Thurston]]); khususnya, [[Robert Gompf]] telah menunjukkan bahwa setiap [[kelompok yang disajikan secara terbatas]] muncul sebagai [[grup fundamental]] dari beberapa lipatan-4 simplektis, sangat kontras dengan kasus Kähler.
Kebanyakan lipatan simplektis, bisa dikatakan, bukanlah Kähler; dan karenanya tidak memiliki integral [[Struktur kompleks linear|struktur kompleks]] yang kompatibel dengan bentuk simplektis. [[Mikhail Gromov (matematikawan)|Mikhail Gromov]], bagaimanapun, membuat pengamatan penting bahwa lipatan simplektis memang mengakui kelimpahan [[struktur yang hampir kompleks]] yang kompatibel, sehingga mereka memenuhi semua [[aksioma]] untuk lipatan Kähler '' kecuali '' persyaratan bahwa [[peta transisi]] adalah [[fungsi Holomorfik|holomorfik]].
Gromov menggunakan keberadaan struktur yang hampir kompleks pada lipatan simplektis untuk mengembangkan teori [[kurva pseudoholomorfik]], Invarian ini juga memainkan peran kunci dalam [[teori string]].
Baris 61:
* {{cite book |first=A. T. |last=Fomenko |title=Symplectic Geometry |edition=2nd |year=1995 |publisher=Gordon and Breach |isbn=978-2-88124-901-3 }} ''(An undergraduate level introduction.)''
* {{cite book |first=Maurice A. |last=de Gosson |authorlink=Maurice A. de Gosson |title=Symplectic Geometry and Quantum Mechanics |year=2006 |publisher=Birkhäuser Verlag |location=Basel |isbn=978-3-7643-7574-4 }}
* {{cite journal |first=Alan |last=Weinstein |authorlink=Alan Weinstein |year=1981 |title=Symplectic Geometry |journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] |volume=5 |issue=1 |pages=1–13 |url=http://www.ams.org/bull/1981-05-01/S0273-0979-1981-14911-9/S0273-0979-1981-14911-9.pdf |doi=10.1090/s0273-0979-1981-14911-9 |access-date=2017-09-26 |archive-date=2023-07-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230731133850/https://www.ams.org/journals/bull/1981-05-01/S0273-0979-1981-14911-9/S0273-0979-1981-14911-9.pdf |dead-url=no }}
* {{Cite book | last1=Weyl | first1=Hermann | author1-link=Hermann Weyl | title=The Classical Groups. Their Invariants and Representations | year = 1939|ref=harv}} Reprinted by [[Princeton University Press]] (1997). {{ISBN|0-691-05756-7}}. {{MR|0000255}}.
| |||