Bilangan bulat: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
FelixJL111 (bicara | kontrib) kTidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan visualeditor-wikitext |
FelixJL111 (bicara | kontrib) k →Notasi |
||
| (9 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 4:
'''Bilangan bulat''' adalah bilangan yang dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Sebagai contoh, 21, 4, 0, -3, -67 dan -2048 merupakan bilangan bulat, sedangkan 9,75 , {{sfrac|5|1|2}} , dan <math>\sqrt{5}</math> bukan.
[[Himpunan]] bilangan bulat terdiri dari angka [[0 (angka)|0]], semua [[bilangan bulat positif]] <math>\{1,2,3,\dots\}</math> (juga disebut dengan [[bilangan asli]]), dan [[invers aditif]]-nya, semua bilangan bulat negatif <math>\{-1,-2,-3,\dots\}</math>.<ref>{{Cite web|last=santoso|first=Kiki Wahyu|date=2020-07-21|title=√ Pengertian Bilangan Bulat dan Contohnya [LENGKAP] ...|url=https://saintif.com/bilangan-bulat/|website=Saintif|language=en-US|access-date=2020-08-20}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Whole Number|url=https://mathworld.wolfram.com/WholeNumber.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-11-12}}</ref> Dalam [[matematika]], himpunan ini sering dilambangkan dengan <math>\Z</math>,<ref>{{Cite web|title=Set of Integers Symbol (ℤ)|url=https://wumbo.net/symbol/set-of-integers/|website=wumbo.net|access-date=2021-11-14|archive-date=2021-11-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20211114024000/https://wumbo.net/symbol/set-of-integers/|dead-url=yes}}</ref> atau huruf tebal (<math>\mathbf{Z}</math>). Huruf kapital [[Z]] yang digunakan berasal dari kata ''Zahlen'', yang berarti bilangan dalam [[bahasa Jerman]].<ref>{{Cite web|date=2020-03-01|title=Compendium of Mathematical Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2020-08-19}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Integer|url=https://mathworld.wolfram.com/Integer.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2020-08-11}}</ref><ref>{{cite web|last=Miller|first=Jeff|date=2010-08-29|title=Earliest Uses of Symbols of Number Theory|url=http://jeff560.tripod.com/nth.html|archive-url=https://web.archive.org/web/20100131022510/http://jeff560.tripod.com/nth.html|archive-date=2010-01-31|access-date=2010-09-20|url-status=dead}}</ref><ref name="Cameron1998">{{cite book|author=Peter Jephson Cameron|year=1998|url=https://books.google.com/books?id=syYYl-NVM5IC&pg=PA4|title=Introduction to Algebra|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-850195-4|page=4|access-date=2016-02-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20161208142220/https://books.google.com/books?id=syYYl-NVM5IC&pg=PA4|archive-date=2016-12-08|url-status=live}}</ref>
[[Berkas:Number-systems.svg|jmpl|Himpunan bilangan bulat merupakan subhimpunan dari himpunan [[bilangan rasional]], sekaligus juga dari [[bilangan [[Subhimpunan]] <math>\Z</math> yang hanya terdiri dari angka 0 dan bilangan-bilangan bulat positif disebut dengan [[bilangan cacah]].<ref>{{Cite book|last=Pasinggi|first=Yonathan Saba|date=2019|url=http://eprints.unm.ac.id/15757/1/BUKU%20PAK%20JONATHAN.pdf|title=Kesulitan Memahami Konsep Bilangan Cacah di Sekolah Dasar|location=Gowa|publisher=Agma|isbn=|pages=17|url-status=live}}</ref> Himpunan <math>\Z</math> sendiri merupakan [[subhimpunan]] dari himpunan [[bilangan rasional]],<ref name=":6">{{Cite web|title=Intermediate Algebra, Tutorial 3: Sets of Numbers|url=https://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/int_algebra/int_alg_tut3_sets.htm|website=www.wtamu.edu|access-date=2021-11-15}}</ref> karena nilainya dapat ditulis sebagai pecahan dengan penyebut 1. Bilangan rasional selanjutnya merupakan subhimpunan dari himpunan [[bilangan == Notasi ==
[[Berkas:Latex integers.svg|jmpl|131x131px|[[Simbol]] Z, yang berasal dari kata ''Zahlen'' ([[bahasa Jerman]]) yang berarti "bilangan", melambangkan [[himpunan]] bilangan bulat]]
Simbol <math>\Z</math> sebagai himpunan bilangan bulat digunakan oleh banyak penulis untuk menyatakan beberapa jenis himpunan.
* Notasi <math>\Z^+</math>,<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Positive Integer|url=https://mathworld.wolfram.com/PositiveInteger.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-11-13}}</ref> <math>\Z_+</math>, atau <math>\Z^></math>, digunakan untuk melambangkan bilangan bulat positif (disebut juga [[bilangan asli]]).
* Notasi <math>\Z^-</math> melambangkan bilangan bulat negatif.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Negative Integer|url=https://mathworld.wolfram.com/NegativeInteger.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-11-13}}</ref>
* Notasi bilangan bulat taknegatif dapat ditulis sebagai <math>\Z^{0+}</math>atau <math>\Z^\ge</math>
* Notasi bilangan bulat taknol ditulis <math>\Z^{\ne 0}</math> atau <math>\Z^*</math>.{{Refn|Dengan kata lain, ini adalah himpunan bilangan bulat tanpa elemen 0, yakni himpunan <math> \{\dots, -2, -1, 1, 2, \dots\} </math>.|group=nb}}
Notasi lain yang berkaitan dengan simbol himpunan bilangan bulat adalah <math>\Z_n</math>, yang melambangkan himpunan [[Aritmetika modular|bilangan bulat modulo-<math>n</math>]], yaitu himpunan semua [[kelas kekongruenan]] dari bilangan bulat [[Operasi modulus|modulo]] <math>n</math>. Sedangkan notasi <math>\Z^n</math> melambangkan [[kekisi bilangan bulat]].<ref>Daniele Micciancio, Lattice Algorithms and Applications, [https://cseweb.ucsd.edu/classes/wi10/cse206a/lec1.pdf Introduction to Lattices]</ref> Notasi lainnya, yaitu <math>\tfrac{1}{2}\Z</math> melambangkan [[setengah bilangan bulat]].<ref>{{Cite book|last=Turaev|first=V. G.|date=2010|url=https://www.worldcat.org/oclc/650811823|title=Quantum invariants of knots and 3-manifolds|location=Berlin|publisher=De Gruyter|isbn=978-3-11-022184-8|edition=2nd rev. ed|pages=390|oclc=650811823|url-status=live}}</ref>
== Sifat-sifat aljabar ==
Baris 34 ⟶ 42:
| [[Distributif]]|| colspan="2" align="center" | <math>a \times (b+c) = (a\times b) + (a\times c)</math>
|}
Empat sifat pertama untuk perkalian yang ditulis dalam tabel, menyatakan bahwa <math>\mathbb{Z}</math> dalam [[Operasi (matematika)|operasi]] perkalian merupakan suatu [[monoid komutatif]]. Namun, tidak semua bilangan bulat memiliki [[invers perkalian]] (contohnya angka 2), mengakibatkan <math>\mathbb{Z}</math> dalam perkalian bukan suatu [[Grup (matematika)|grup]]. Tidak lengkapnya invers perkalian untuk setiap elemen setara dengan pernyataan <math>\mathbb{Z}</math> tidak tertutup dalam pembagian, mengartikan bahwa <math>\mathbb{Z}</math> bukan suatu [[Lapangan (matematika)|lapangan]]. Lapangan terkecil yang mengandung bilangan bulat sebagai sublapangan adalah lapangan [[bilangan rasional]].
Lima sifat pertama untuk penjumlahan yang ditulis dalam tabel, menyatakan bahwa <math>\mathbb{Z}</math> dalam penjumlahan merupakan suatu [[grup Abelian]]. Himpunan <math>\mathbb{Z}</math> juga merupakan suatu [[grup siklik]], karena semua bilangan bulat bukan 0 dapat ditulis sebagai penjumlahan terhingga <math>1 + 1 + \dots + 1</math> atau <math>(-1) + (-1) + \dots + (-1)</math>. Malahan, <math>\mathbb{Z}</math> dalam penjumlahan adalah ''satu-satunya'' grup siklik tak hingga — dalam artian semua grup siklik tak hingga bersifat [[Isomorfisme|isomorfik]] dengan <math>\mathbb{Z}</math>.
Baris 115 ⟶ 123:
== Dalam ilmu komputer ==
{{Main|Integer (ilmu komputer)}}
Dalam [[ilmu komputer]], integer ([[Bahasa Inggris]] untuk kata "bilangan bulat") umumnya merupakan suatu [[tipe data]] primitif di [[Bahasa pemrograman|bahasa-bahasa pemrograman]]. Namun, tipe data integer hanya dapat merepresentasikan [[Himpunan bagian|subset]] dari semua bilangan bulat, karena komputer memiliki kapasitas yang terbatas. Sebagai contoh, tipe data ''integer'' dalam bahasa pemrograman [[Pascal (bahasa pemrograman)|Pascal]] hanya mampu menyimpan bilangan bulat yang bernilai diantara <math>-32768</math> sampai <math>32767</math>. Pada representasi ''two's complement'' yang umum digunakan, [[Tanda (matematika)|tanda]] hanya didefinisikan untuk membedakan "bilangan negatif" dan "bilangan tak negatif", bukan "bilangan negatif, positif, dan 0" (walaupun, sebenarnya komputer juga dapat menentukan apakah suatu nilai integer benar-benar bernilai positif). Pada beberapa bahasa pemrograman, aproksimasi bilangan bulat dengan panjang [digit] konstan (''fixed-length integer'') umumnya diwakili oleh tipe data ''int'' atau Integer (seperti pada [[Algol68]], [[C (bahasa pemrograman)|C]], [[Java (programming language)|Java]], [[Object Pascal|Delphi]], dll.).
Representasi bilangan bulat dengan panjang [[digit]] fleksibel ({{Lang-en|variable-length integer representation}}), seperti tipe data [[Bignum|bignums]], dapat menyimpan sembarang bilangan bulat asalkan dapat disimpan di memori komputer. Implementasi lain dari tipe data integer menggunakan ukuran yang konstan/tetap, sehingga hanya dapat menyimpan nilai bilangan bulat dalam suatu [[Selang (matematika)|selang]] tertentu. Ukuran yang dipakai umumnya merupakan banyaknya bits (4, 8, 16, dst.) atau panjang digit desimal yang mudah diingat (misalnya, 9 digit atau 10 digit).
Baris 123 ⟶ 131:
=== Bilangan bulat Gauss ===
{{Main|Bilangan bulat Gauss}}
Dalam [[teori bilangan]], [[bilangan bulat Gauss]] adalah [[bilangan kompleks]], dimana [[bagian riil]] dan [[bagian imajiner]] adalah bilangan bulat, dengan penambahan dan perkalian biasa terhadap bilangan kompleks akan membentuk [[ranah integral]]. Bilangan bulat Gauss dapat dilambangkan sebagai <math>\mathbf{Z}[i]</math><ref name="Fraleigh 1976 286">{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=286}}</ref> dan dapat rumuskan ini sebagai<math display="block">\mathbf{Z}[i]=\{a+bi \mid a,b\in \Z \}</math>
Rumus di atas memberikan keterangan, di mana <math>i</math> adalah [[bilangan khayal]].
| |||