Perkalian: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k pembersihan kosmetika dasar |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
||
| (5 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 8:
[[Berkas:Multiplication scheme 4 by 5.jpg|thumb|right|4 × 5 = 20. Persegi panjang besar terdiri dari 20 kotak, masing-masing memiliki dimensi 1 kali 1.]]
[[Berkas:Multiply field fract.svg|thumb|right|Luas sehelai kain {{nowrap|1=4,5m × 2,5m = 11,25m<sup>2</sup>}}; {{nowrap|1=4½ × 2½ = 11¼}}]]
'''Perkalian''' atau '''pendaraban''' (dilambangkan dengan [[Tanda perkalian|simbol silang]] {{char|'''×'''}}, oleh garis tengah [[#Notasi dan terminologi|operator titik]] {{char|'''⋅'''}}, oleh [[penjajaran]], atau, pada [[komputer]], dengan [[asterisk]] {{char|'''*'''}}) adalah salah satu dari empat [[Aritmetika dasar|dasar]] [[Operasi (matematika)|operasi matematika]] dari [[aritmetika]], dengan yang lainnya adalah [[penambahan]], [[pengurangan]] dan [[pembagian (matematika)|pembagian]]. Hasil dari operasi perkalian disebut '''hasil kali''', '''[[darab (matematika)|darab]]''', atau '''kinali'''.
Perkalian [[Bilangan asli|bilangan bulat]] dapat dianggap sebagai [[Perkalian dan penjumlahan berulang|penjumlahan berulang]]; yaitu, perkalian dua bilangan sama dengan menjumlahkan sebanyak mungkin salinan salah satunya, ''perkalian'', sebagai kuantitas yang lain, "pengganda". Kedua angka tersebut dapat disebut sebagai ''faktor''.
Baris 46:
* Perkalian juga dilambangkan dengan tanda titik,<ref>{{Citation |last=Khan Academy |title=Mengapa kita tidak menggunakan tanda perkalian? {{!}} Pengantar aljabar {{!}} Aljabar I {{!}} Khan Academy |date=2012-09-06 |url=https://www.youtube.com/watch?v=vDaIKB19TvY |access-date=2017-03-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170327163705/https://www.youtube.com/watch?v=vDaIKB19TvY |archive-date=2017-03-27 |url-status=live }}</ref> biasanya titik posisi tengah ([[pemberhentian penuh|titik]]):
:{{math|5 ⋅ 2}} atau {{math|5 . 3}}
:Notasi titik tengah, dikodekan dalam Unicode sebagai {{unichar|22C5|operator bintik}}, adalah standar di Amerika Serikat dan negara lain dimana periode digunakan sebagai [[pemisah desimal|titik desimal]]. Jika karakter operator titik tidak dapat diakses, [[sela]]
* {{anchor|Implisit|Eksplisit}}Dalam [[aljabar]], perkalian yang melibatkan [[Variabel (matematika)|variabel]] ditulis sebagai [[wikt:penjajaran|penjajaran]] (misalnya, ''xy'' untuk ''x'' kali ''y'' atau 5''x'' untuk lima kali ''x''), juga disebut ''perkalian tersirat/implisit''.<ref>{{cite book |title=Announcing the TI Programmable 88! |publisher=[[Texas Instruments]] |date=1982<!--atau 1983--> |url=http://www.datamath.net/Leaflets/TI-88_Announcement.pdf |access-date=2017-08-03 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20170803091337/http://www.datamath.net/Leaflets/TI-88_Announcement.pdf |archive-date=2017-08-03}}</ref> Notasi juga dapat digunakan untuk besaran yang diapit [[tanda kurung]] (misalnya, 5(2) atau (5)(2) untuk lima kali dua). Penggunaan perkalian implisit ini disebabkan ambiguitas ketika variabel gabungan kebetulan cocok dengan nama variabel lain, ketika nama variabel di depan tanda kurung dapat dikacaukan dengan nama fungsi, atau dalam penentuan [[urutan operasi]] yang benar.
* Dalam [[perkalian vektor]], terdapat perbedaan antara simbol tanda silang dan titik. Simbol silang umumnya menunjukkan pengambilan [[perkalian silang]] dari dua [[vektor (matematika)|vektor]], menghasilkan vektor sebagai hasilnya, sedangkan titik menunjukkan pengambilan [[produk titik]] dari dua vektor, menghasilkan [[skalar (matematika)|skalar]].
Baris 60:
Metode umum untuk mengalikan angka menggunakan pensil dan kertas memerlukan [[tabel perkalian]] hasil perkalian bilangan kecil yang dihafal atau dikonsultasikan (biasanya dua angka dari 0 hingga 9), namun satu metode adalah algoritma [[perkalian Mesir Kuno|perkalian petani]].<!--Banyak kurikulum matematika yang dikembangkan menurut standar 1989 [[NCTM]] tidak mengajarkan metode aritmatika standar, alih-alih membimbing siswa untuk menemukan metode perhitungan mereka sendiri. Meskipun secara luas diadopsi oleh banyak distrik sekolah di negara-negara seperti Amerika Serikat, mereka menghadapi perlawanan dari beberapa orang tua dan ahli matematika, dan beberapa kabupaten sejak itu meninggalkan kurikulum tersebut demi [[matematika tradisional]].-->
Mengalikan angka ke lebih dari beberapa tempat desimal dengan tangan membosankan dan rawan kesalahan. [[Logaritma umum]] diciptakan untuk menyederhanakan perhitungan tersebut, karena menambahkan logaritma setara dengan mengalikan. [[Mistar geser]] memungkinkan angka dikalikan dengan cepat hingga sekitar tiga tempat akurasi. Dimulai pada awal abad ke-20, [[kalkulator]] mekanis, seperti [[Kalkulator Marchant|Marchant]], penggandaan otomatis hingga 10
===Algoritma historis===
Baris 78:
{{see also|Tabel perkalian Tiongkok}}
[[Berkas:Multiplication algorithm.GIF|thumb|right|250px|{{nowrap|1=38 × 76 = 2888}}]]
Dalam teks matematika ''[[Zhoubi Suanjing]]'', pada tahun sebelum 300
===Metode modern===
Baris 87:
====Metode kisi====
[[Perkalian metode Grid]] atau metode kotak, digunakan di [[sekolah dasar]] di Inggris dan Wales dan di beberapa daerah di Amerika Serikat untuk membantu mengajarkan pemahaman tentang cara kerja perkalian beberapa digit. Contoh mengalikan 34 dengan 13 adalah dengan meletakkan angka-angka dalam kisi seperti:
:{| class="wikitable" style="text-align: center;"
Baris 139:
Secara lebih umum, notasi didefinisikan sebagai
:<math>\prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_n</math>
dimana <math>m</math> dan <math>n</math> adalah bilangan bulat atau ekspresi yang mengevaluasi bilangan bulat. Jika <math>m = n</math>, nilai hasil kali sama dengan faktor tunggal <math>x_m</math>; jika <math>m > n</math>, perkalian adalah [[perkalian kosong]] yang nilainya
==== Sifat ====
Baris 217:
:<math>x \times 1 = x \times S(0) = (x \times 0) + x = 0 + x = x</math>
Aksioma untuk [[bilangan bulat]] biasanya mendefinisikannya sebagai kelas ekuivalen dari [[pasangan terurut]] dari bilangan asli. Model ini didasarkan pada memperlakukan (''x'',''y'') setara dengan {{nowrap|''x'' − ''y''}} ketika ''x'' dan ''y'' sebagai bilangan bulat. Jadi (0,1) dan (1,2) ekuivalen dengan −1. Aksioma perkalian untuk bilangan bulat yang didefinisikan dengan cara ini adalah
:<math>(x_p,\, x_m) \times (y_p,\, y_m) = (x_p \times y_p + x_m \times y_m,\; x_p \times y_m + x_m \times y_p)</math>
Baris 226:
== Perkalian dengan teori himpunan ==
Produk bilangan bulat non-negatif dapat didefinisikan dengan [[teori himpunan]] menggunakan [[Bilangan kardinal#Perkalian kardinal|bilangan kardinal]] atau [[Aksioma Peano#Aritmetika|aksioma Peano]]. Lihat [[#Perkalian berbagai jenis bilangan|di bawah]] cara memperluasnya ke perkalian bilangan bulat arbitrer, dan kemudian bilangan rasional arbitrer. Produk bilangan real didefinisikan dalam hal produk bilangan rasional, lihat [[konstruksi bilangan real]].
==Perkalian dalam teori grup==<!--terhubung dari bawah-->
Baris 233:
Contoh sederhana adalah himpunan bukan nol [[bilangan rasional]]. Apabila memiliki identitas 1, sebagai lawan dari grup dibawah penambahan dimana identitas biasanya 0. Perhatikan bahwa dengan rasional, mengecualikan nol karena dibawah perkalian, tidak memiliki invers: tidak ada bilangan rasional yang dikalikan dengan nol untuk menghasilkan 1. Dalam contoh ini kita memiliki [[grup abelian]], tetapi tidak selalu demikian.
Untuk melihat ini, pertimbangkan himpunan [[matriks persegi]] inversi dari dimensi tertentu atas [[medan (matematika)|medan]] yang diberikan. Di sini, sangat mudah untuk memverifikasi penutupan, asosiasi, dan penyertaan identitas ([[matriks identitas]]) dan invers. Namun, [[perkalian matriks]] tidak komutatif, yang menunjukkan bahwa grup ini non-abelian.
Fakta lain yang perlu diperhatikan adalah bahwa bilangan bulat di bawah perkalian bukanlah grup—bahkan apabila jika mengecualikan nol. Hal ini mudah terlihat dengan tidak adanya invers untuk semua elemen selain 1 dan
Perkalian dalam teori grup biasanya dinotasikan dengan titik, atau dengan penjajaran (penghilangan simbol operasi antar elemen). Jadi perkalian elemen '''a''' dengan elemen '''b''' dinotasikan sebagai '''a''' <math>\cdot</math> '''b''' atau ''' ab'''. Saat merujuk ke grup melalui indikasi set dan operasi, titik digunakan. Misalnya, contoh pertama kami dapat ditunjukkan oleh <math>\left( \mathbb{Q}/ \{ 0 \} ,\, \cdot \right)</math>.
==Perkalian berbagai jenis bilangan==<!--linked from above-->
Bilangan dapat ''menghitung'' (3
;Bilangan bulat
Baris 260:
;Generalisasi lebih lanjut
:Lihat [[#Perkalian dalam teori grup|Perkalian dalam teori grup]], atas, dan [[Grup perkalian]], yang misalnya termasuk perkalian matriks. Konsep perkalian sangat umum dan abstrak adalah sebagai [[operasi biner]] "dinotasikan secara perkalian" (kedua) dalam [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]. Contoh gelanggang yang bukan salah satu dari sistem bilangan atas adalah [[gelanggang polinomial]], contohnya: Anda dapat menjumlahkan dan mengalikan polinomial, tetapi polinomial bukanlah bilangan dalam pengertian biasa.
;Pembagian
Baris 315:
[[Kategori:Aritmetika dasar]]
[[Kategori:Notasi matematika]]
[[Kategori:Artikel yang
| |||