Segiempat garis singgung: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) ←Membuat halaman berisi 'thumb|300x300px|Sebuah segiempat garis singgung bersama dengan lingkaran dalamnya Dalam geometri Euklides, '''segiempat garis singgung''' adalah segiempat yang bersifat cembung dengan keempat sisinya menyinggung sebuah lingkaran, dan lingkaran itu merupakan lingkaran dalam. == Ciri-ciri == Menurut teorema Pitot, dua pasangan sisi yang berhadapan di sebuah segiempat garis singgung itu sa...' |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
||
| (5 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan) | |||
Baris 7:
<math display="block"> a + c = b + d = \frac{a + b + c + d}{2}. </math>
Sebaliknya, jumlah panjang sisi <math display="inline"> a + c = b + d </math> di sebuah segiempat cembung harus tangensial.<ref>{{
== Luas ==
=== Luas tanpa menggunakan trigonometri ===
Luas dari segiempat garis singgung dirumuskan sebagai
<math display="block"> r \cdot s,</math>
dengan <math> s </math> adalah [[semiperimeter]] dan <math> r </math> adalah jari-jari lingkaran dalam. Rumus lainnya untuk luas dari segiempat adalah{{sfn|Durell|Robson|2003|p=28–30}}
<math display="block">\frac{1}{2}\sqrt{p^2q^2-(ac-bd)^2},</math>
dengan <math> p </math> dan <math> q </math> adalah garis diagonal, serta <math> a, b, c, d </math> adalah sisi-sisi dari segiempat garis singgung.
Luas dari segiempat garis singgung juga dapat dinyatakan hanya dengan diketahui keempat panjang garis singgung <math> e, f, g, h </math>{{sfn|Josefsson|2010}}
<math display="block"> \sqrt{(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}.</math>
=== Luas dengan menggunakan trigonometri ===
Luas dari segiempat garis singgung dapat diketahui dengan menggunakan panjang sisi <math> a, b, c, d </math> beserta dua buah sudut hadapan<ref>{{harvnb|Durell|Robson|2003|p=28–30}}; {{harvnb|Siddons|Hughes|1929|p=203}}; {{harvnb|Grinberg|2008|p=11}}; {{harvnb|Yiu|1998|p=156–157}}.</ref>
<math display="block">\sqrt{abcd} \sin \frac{A+C}{2} = \sqrt{abcd} \sin \frac{B+D}{2}.</math>
Untuk diketahui panjang sisinya, luasnya akan maksimum ketika segiempat adalah [[segiempat siklik|siklik]] dan [[segiempat bisentrik|''bicentric'']]. Oleh karena itu, luas dari segiempat garis singgung adalah <math display="inline"> \sqrt{abcd} </math> sebab sudut hadapannya adalah [[sudut suplementer|suplementer]]. Rumus ini dapat dibuktikan dengan cara lain menggunakan [[kalkulus]].{{sfn|Hoyt|1986}}
Rumus lain untuk luas dari segiempat garis singgung <math> ABCD </math> yang melibatkan dua sudut hadapan adalah{{sfn|Grinberg|2008|p=19}}
<math display="block"> \left(IA\cdot IC+IB\cdot ID\right)\sin\frac{A+C}{2} </math>
dengan <math> I </math> adalah pusat lingkaran dalam.
Terlebih lagi, luasnya dapat dinyatakan menggunakan dua sisi yang berdampingan dan dua sudut hadapan sebagai{{sfn|Durell|2003|p=28–30}}
<math display="block"> ab\sin{\frac{B}{2}}\csc{\frac{D}{2}}\sin \frac{B+D}{2}.</math>
== Catatan kaki ==
== Referensi ==
{{refbegin|30em}}
▲{{reflist|refs=
|last1 = Andreescu | first1 = Titu
|last2 = Enescu | first2 = Bogdan
|title = Mathematical Olympiad Treasures
|publisher = Birkhäuser
|year = 2006}}.
|pages = 64–68}}.</ref>▼
|last1 = Durell |first1 = C.V.
|last2 = Robson |first2 = A.
|title = Advanced Trigonometry
|publisher = Dover reprint
|year = 2003}}.
* {{citation
|last = Grinberg |first = Darij
|url = http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/CircumRev.pdf
|title = Circumscribed quadrilaterals revisited
|year = 2008}}.
* {{citation
|last = Hoyt |first = John P.
|journal = [[American Mathematical Monthly]]
|pages = 54–56
|title = Maximizing the Area of a Trapezium
|volume = 93 |number = 1
|year = 1986
|doi = 10.2307/2322549}}.
* {{citation
|last = Josefsson |first=Martin
|journal = Forum Geometricorum
|pages = 119–130
|title = Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral
|url = http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf
|volume = 10
* {{citation
|last = Josefsson |first = Martin
|journal = Forum Geometricorum
Baris 26 ⟶ 83:
|url = http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201108.pdf
|volume = 11
|year = 2011}}.
* {{citation
|last1 = Siddons |first1 = A.W.
|last2 = Hughes |first2 = R.T.
|title = Trigonometry
|publisher = Cambridge Univ. Press
|year = 1929}}.
* {{citation
|last = Yiu |first = Paul
|title = Euclidean Geometry
|url = http://math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeometryNotes.pdf
|year = 1998}}.
{{refend}}
[[Kategori:Jenis-jenis segiempat]]
| |||
