Nilai absolut: Perbedaan antara revisi

{{Cleanup|2=masih ada bagian yang belum diterjemahkan}}[[Berkas:Absolute value.svg|jmpl|<nowiki>Grafik fungsi y=|x|, dengan x </nowiki>[[bilangan riil|bilangan real]].]]

Dalam [[matematika]], '''nilai absolut''' (juga dikenal dengan '''nilai mutlak''' atau '''modulus''') dari suatu [[bilangan riil|bilangan real]] <math>x </math>, ditulis sebagai <math>|x|</math>, adalah nilai positif dari <math>x</math> tanpa disertai [[Tanda (matematika)|tanda]] apapun. Dengan kata lain, <math>|x|=x</math> jika <math>x</math> adalah [[bilangan positif]] atau [[nol]], dan <math>|x|=-x</math> jika <math>x</math> adalah [[Tanda (matematika)|bilangan negatif]] (sehingga <math>-x</math> bernilai positif). Sebagai contoh, nilai mutlak dari <math>3</math> adalah <math>|3|=3</math>, dan nilai mutlak dari <math>-3</math> juga adalah <math>|-3|=-(-3)=3</math>. Nilai mutlak dapat dibayangkan sebagai [[jarak]] suatu bilangan dari bilangan <math>0</math>.

Perumuman dari nilai mutlak pada bilangan realriil muncul pada banyak [[objek]] matematika. Sebagai contoh, nilai mutlak juga didefinisikan pada [[bilangan kompleks]], [[Kuaternion|kuartenion]], [[gelanggang terurut]], [[Medan (matematika)|lapangan]], dan [[ruang vektor]]. Nilai mutlak juga berhubungan erat dengan definisi [[Besaran (matematika)|besaran]], [[jarak]], dan [[Norma (matematika)|norma]] dalam banyak konteks di fisika dan matematika.

Pada tahun 1806, [[Jean-Robert Argand]] memperkenalkan istilah ''module'', yang berarti ''satuan pengukuran'' dalam bahasa [[Prancis]], khususnya untuk nilai mutlak [[bilangan kompleks]],<ref name=oed>[[Oxford English Dictionary]], Draft Revision, June 2008</ref><ref>[http://www.amazon.com/gp/reader/0691027951 Nahin], [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Argand.html O'Connor and Robertson], and [http://functions.wolfram.com/ComplexComponents/Abs/35/ functions.Wolfram.com.]; for the French sense, see [[Dictionnaire de la langue française (Littré)|Littré]], 1877</ref> dan kata itu akhirnya diserap dalam bahasa Inggris pada tahun 1866 sebagai ''modulus''.<ref name=oed /> Istilah "nilai mutlak" sudah digunakan dalam konteks ini sejak 1806 di Prancis<ref>[[Lazare Nicolas Marguerite Carnot|Lazare Nicolas M. Carnot]], ''Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq point quelconques pris dans l'espace'', p.&nbsp;105 [http://books.google.com/books?id=YyIOAAAAQAAJ&pg=PA105 at Google Books]</ref> dan 1857 di [[Inggris]].<ref>James Mill Peirce, ''A Text-book of Analytic Geometry'' [http://books.google.com/books?id=RJALAAAAYAAJ&pg=PA42 at Google Books]. The oldest citation in the 2nd edition of the Oxford English Dictionary is from 1907. The term "absolute value" is also used in contrast to "relative value".</ref> Penulisan <math>|x|</math>, dengan simbol [[garis vertikal]] di kedua [[sisi]], diperkenalkan oleh [[Karl Weierstrass]] tahun 1841.<ref>Nicholas J. Higham, ''Handbook of writing for the mathematical sciences'', SIAM. ISBN 0-89871-420-6, p.&nbsp;25</ref>

Penulisan garis vertikal juga muncul dalam banyak konteks matematika lainnya: sebagai contoh, jika digunakan pada [[Himpunan (matematika)|himpunan]], simbol itu menandakan [[kardinalitas]]nya; sedangkan jika digunakan pada [[Matriks (matematika)|matriks]], itu menandakan [[determinan]]nya. Garis vertikal menandakan nilai mutlak hanya pada objek aljabar yang memiliki [[definisi]] nilai mutlak, seperti [[bilangan riil|bilangan real]], [[bilangan kompleks]], atau [[kuaternion]]. Penulisan yang mirip namun berbeda makna adalah penggunaan garis vertikal untuk [[Ruang Euklides|norma Euklidean]]<ref>{{Cite book|last=Spivak|first=Michael|date=1965|url=https://www.worldcat.org/oclc/187146|title=Calculus on manifolds : a modern approach to classical theorems of advanced calculus|location=New York|isbn=0-8053-9021-9|oclc=187146}}</ref> atau ''sup norm''<ref>{{Cite book|last=Munkres|first=James R.|date=1991|url=https://www.worldcat.org/oclc/170966279|title=Analysis on manifolds|location=Redwood City, Calif.|publisher=Addison-Wesley Pub. Co., Advanced Book Program|isbn=978-1-4294-8504-3|oclc=170966279}}</ref> di <math>\mathbb{R}^n</math>, walau penulisan garis vertikal ganda (<math>||\cdot||_2</math> dan <math>||\cdot||_\infty</math>) lebih umum dan tidak ambigu.

=== Bilangan realriil ===

Untuk setiap [[bilangan riil|bilangan real]] <math>x</math>, nilai mutlak bilangan tersebut dinyatakan dengan <math>|x|</math> (<math>x</math> diapit oleh garis vertikal) dan didefinisikan sebagai:<ref>Mendelson,{{Cite [httpbook|last=Mendelson|first=Elliott|date=2007-09-17|url=https://books.google.com/books?id=A8hAm38zsCMC&pg=PA2&hl=id|title=Schaum's Outline of Beginning Calculus|publisher=McGraw Hill Professional|isbn=978-0-07-159453-0|language=en}}</ref> <math display="block">|x| = \begin{cases} x, p.&nbsp;2] \mbox{jika } x \ge 0, \\ -x, & \mbox{jika } x < 0. \end{cases} </refmath>

Dari sudut pandang [[Geometri analitis|geometri analitik]], nilai mutlak dari sebuah bilangan realriil adalah [[jarak]] bilangan tersebut dari bilangan 0 pada [[garis bilangan real|garis bilangan riil]]. Lebih umum lagi, nilai mutlak dari selisih dua bilangan realriil adalah jarak antara dua bilangan tersebut. Definisi [[Metrik (matematika)|fungsi jarak]] dalam matematika dapat dianggap sebagai perumuman dari nilai mutlak (lihat bagian [[Nilai absolut#Jarak|"Jarak"]] dibawah).

Definisi lain dari nilai mutlak adalah <math display="block">|x| = \sqrt{x^2}</math> karena [[akar kuadrat]] dari sebuah bilangan positif bernilai unik (tunggal).

Sifat nonnegatif, definit positif, dan multiplikatif terlihat jelas dari definisi. Untuk membuktikan sifat pertidaksamaan segitiga berlaku, perhatikan bahwa <math>s \cdot (a+b) = |a+b| \geq 0</math> bernilai benar untuk <math>s=-1 </math> atau <math>s=1</math>. Namun, karena <math>-1 \cdot x \le |x|</math> dan <math>1 \cdot x \le |x|</math>, mengakibatkan apapun nilai <math>s</math> yang dipilih, akan berlaku <math>s \cdot x\leq |x|</math> untuk setiap bilangan realriil <math>x</math>. Akibatnya, <math>|a+b|=s \cdot (a+b) = s \cdot a + s \cdot b \leq |a| + |b|</math>, sesuai dengan yang diharapkan. (Untuk perumuman bukti ini di bilangan kompleks, lihat [[Nilai absolut#Bukti ketidaksamaan segitiga untuk bilangan kompleks|"Bukti pertidaksamaan segitiga untuk bilangan kompleks"]] dibawah.)

|''Identity of indiscernibles'' (setara dengan ''positive-definiteness''sifat definit positif)

:<math>|a| \gele b &\iff a-b \le -b\ </math> atau <math>a \gele b </math>\\

Karena [[bilangan kompleks]] tidak [[Himpunan terurut total|terurut]], definisi nilai mutlak yang digunakan padauntuk bilangan realriil tidak dapat digunakan secara langsung padauntuk bilangan kompleks. Namun, intepretasi geometris nilai mutlak realriil sebagai jarak bilangan dari bilangan 0 dapat diperumum. Nilai mutlak dari bilangan kompleks didefinisikan sebagai jarak Euklidean bilangan tersebut dengan [[Titik nol|titik asal]] di [[bidang kompleks]]. Hal ini dapat dihitung menggunakan [[teorema Pythagoras]]: untuk setiap bilangan kompleks <math display="block">z = x + iy,</math>dengan <math>x</math> dan <math>y</math> adalah bilangan riil, ''nilai mutlak'' atau ''modulus'' dari <math>z</math> yang diwakili sebagai <math>|z|</math>, didefinisikan sebagai<math display="block">|z| = \sqrt{[\mathrm{Re}(z)]^2 + [\mathrm{Im}(z)]^2}=\sqrt{x^2 + y^2},</math>dengan <math>\mathrm{Re}(z)=x</math> dan <math>\mathrm{Im}(z)=y</math> masing-masing menyatakan bagian riil dan imajiner dari <math>z</math>. Ketika bagian imajiner bernilai nol, definisi ini sama dengan definisi nilai mutlak untuk bilangan riil <math>x</math>. Jika bilangan kompleks <math>z </math> dinyatakan dalam [[Bilangan kompleks#Bentuk polar|bentuk polar]] sebagai <math display="inline">z = r e^{i \theta},</math> nilai mutlaknya adalah <math display="inline">|z| = r.</math>

[[Image:Absolute value.svg|thumb|Grafik dari fungsi nilai mutlak untuk bilangan realriil.]]

Fungsi nilai mutlak bilangan realriil bersifat [[Fungsi kontinu|kontinu]] dimanapun. Fungsi ini juga [[Fungsi terdiferensialkan|terturunkan]] dimanapun kecuali di <math>x=0</math>. FungsiSelain iniitu, fungsi [[Fungsi monoton|monoton turun]] pada selang <math>(-\infty,\, 0]</math>, dan monoton naik pada selang <math>[0,\,\infty)</math>. Karena bilangan realriil dan [[Invers aditif|lawannya]] memiliki nilai mutlak yang sama, fungsi ini juga merupakan [[fungsi genap]] sehingga tidak [[Fungsi invers|memiliki invers]]. Fungsi nilai mutlak adalah [[fungsi konveks]] dan [[Fungsi linear (kalkulus)|fungsi linear]] bagian-demi-bagian.

Fungsi nilai mutlak untuk bilangan realriil dan kompleks bersifat [[idempoten]].

Nilai dari fungsi nilai mutlak tidak bergantung pada [[Tanda (matematika)|tanda]] bilangan, sedangkan [[fungsi tanda]] menghasilkan tanda dari bilangan dan tidak bergantung pada nilai bilangan tersebut. Hubungan antara kedua fungsi ini adalah: <math display="block">|x| = x \sgn(x),</math>dan untuk <math>x\neq 0, </math> <math display="block">\sgn(x) = \frac{|x|}{x} = \frac{x}{|x|}.</math>Turunan

Antiturunan ([[integral tak tentu]]) dari fungsi nilai mutlak realriil adalah

Nilai mutlak berhubungan erat dengan konsep jarak. Seperti yang disampaikan di atas, nilai mutlak dari bilangan realriil maupun kompleks adalah [[jarak]] dari bilangan tersebut ke titik nol; pada [[garis bilangan real|garis bilangan riil]] untuk [[bilangan riil|bilangan real]], dan pada [[bidang kompleks]] untuk [[bilangan kompleks]]. Secara lebih umum, nilai mutlak dari selisih dua bilangan realriil atau kompleks adalah jarak antara dua bilangan tersebut. [[Jarak Euklides]] antara titikMisalkan <math>a = (a_1, a_2, \dots , a_n) </math> dan titik <math>b = (b_1, b_2, \dots , b_n) </math> adalah titik dalam [[Ruang Euklides|ruang Euklides dimensi-''n'']]. [[Jarak Euklides]] diantara keduanya didefinisikan sebagai: <math display="block">\sqrt{\textstyle\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2}. </math>Hal ini dapat dianggap sebagai perumuman, karena untuk bilangan riil <math>a_1</math> dan <math>b_1</math> (yang berada di ruang dimensi-1), menurut definisi alternatif dari nilai mutlak akan berlaku hubungan <math display="block">|a_1 - b_1| = \sqrt{(a_1 - b_1)^2} = \sqrt{\textstyle\sum_{i=1}^1(a_i-b_i)^2},</math>dan untuk bilangan kompleks <math> a = a_1 + i a_2 </math> dan <math> b = b_1 + i b_2 </math> (yang berada di ruang dimensi-2):<math display="block">\begin{align}

| style="width:250px" | <math>d(a, b) \ge 0 </math>

Definisi nilai mutlak untuk suatu bilangan realriil dapat diperumum untuk sebarang [[gelanggang terurut]]. DenganDalam demikiankasus ini, jika <math>a</math> adalah elemen dari gelanggang terurut <math>R</math>, maka ''nilai mutlak'' dari <math>a</math>, yang ditulis sebagai <math>|a|</math>, didefinisikan sebagai:<ref>Mac Lane, [https://books.google.com/books?id=L6FENd8GHIUC&pg=PA264 p.&nbsp;264].</ref>

dengan <math>-a</math> adalah [[Invers aditif|invers penjumlahan]] dari <math>a</math>, 0 adalah [[identitas penjumlahan]], dan <math><</math> dan <math>\geq</math> masing-masing memiliki sifat yang sesuai dengan pengurutan yang ada di gelanggang tersebut.

Keempat sifat dasar dari nilai mutlak untuk bilangan realriil dapat digeneralisasikandigeneralisasi untuk mendefinisikan konsep nilai mutlak pada sembarangsebarang [[Lapangan (matematika)|lapangan]]. Misalkan <math>F</math> lapangan. Suatu fungsi <math>v:F \rightarrow \mathbb{R}</math> dikatakan ''nilai mutlak'' (disebut juga ''modulus, nilai,'' atau ''valuasi'') jika <math>v </math> memenuhi empat aksioma berikut:

Di sini, <math>\mathbf{0}</math> menyatakan [[elemen identitas]] penjumlahan di lapangan <math>F</math>. Aksioma positif definit dan sifat multiplikatif mengakibatkan <math>v(\mathbf{1})=1</math>, dengan <math>\mathbf{1}</math> adalah elemen identitas perkalian di lapangan <math>F</math>. Nilai mutlak pada bilangan realriil dan bilangan kompleks yang didefinisikan di atas merupakan contoh dari nilai mutlak pada sembarang lapangan.

Jika <math>v</math> adalah nilai mutlak pada lapangan <math>F</math>, fungsi <math>d:F \times F \rightarrow \mathbb{R}</math> yang didefinisikan sebagai <math>d(a, b)=v(a-b)</math> merupakan metrik[[Ruang danmetrik|metrik]]. berikutBerikut merupakan pernyataan-pernyataan yang ekuivalen mengenai fungsi <math>v</math> dan <math>d</math>:

* <math display="inline">\left\{v\left(\sum_{k=1}^{n} \mathbf{1}\right): n\in \mathbb{N} \right\}</math> adalah subhimpunan terbatas dari <math>\mathbb{R}</math>.

* <math display="inline">v\left(\sum_{k=1}^{n} \mathbf{1} \right) \leq 1</math> untuk sembarang bilangan asli <math>n</math>.

Nilai mutlak yang memenuhi salah satu kondisi di atas, yang berarti juga memenuhi semua kondisi lain di ataslainnya, disebut sebagai nilai mutlak '''nonArchimedes'non-Archimedes''. Sebaliknya, nilai mutlak yang tidak memenuhi salah satusatupun kondisi di atas disebut sebagai nilai mutlak '''Archimedes'''''.'''<ref>{{Cite book|last=Schechter|first=Eric|date=1996-10-24|url=https://books.google.co.kr/books?id=eqUv3Bcd56EC&pg=PA260&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|title=Handbook of Analysis and Its Foundations|publisher=Academic Press|isbn=978-0-08-053299-8|pages=260-261|language=en|url-status=live}}</ref>

=== '''Ruang Vektorvektor''' ===

{{Lihat pula|Norma (matematika)}}Sifat-sifat nilai mutlak untuk bilangan realriil dapat dikembangkan dengan sedikit modifikasidimodifikasi untuk mendefinisikan konsep nilai mutlak pada sembarang ruang vektor. Fungsi bernilai riil <math display="inline">\|\mathbf{x} \|</math> pada [[ruang vektor]] <math display="inline">V</math> atas lapangan <math display="inline">F</math> disebut nilai mutlak (tapi lebih umum disebut dengan [[Norma (matematika)|norma]]), jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:

Norma dari sebuah vektor juga disebut sebagai ''panjang'' atau vektor''magnitudo'' dari vektor tersebut.

Dalam kasus [[ruang Euklides]] <math>\mathbb{R}^n</math>, fungsi yang didefinisikan sebagai<math display="block">\|(x_1, x_2, \dots x_n)\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}</math>merupakan norma yang disebut norma Euklides. Jika himpunan bilangan realriil <math>\mathbb{R}</math> dipandang sebagai ruang vektor berdimensi satu <math>\mathbb{R}^1</math>, nilai mutllakmutlak dapat dipandang sebagai [[Norma (matematika)|norma]]. Tidak hanya itu, nilai mutlak dapat dipandang sebagai norma "unik" pada ruang vektor <math>\mathbb{R}^1</math>, dalam artian sembarang norma pada <math>\|\cdot\|</math> pada <math>\mathbb{R}^1</math> dapat dilihat sebagai <math>\|x\|=\|1\| \cdot |x|</math>.

Himpunan bilangan realriil <math>\mathbb{R}</math>, bilangan kompleks <math>\mathbb{C}</math>, dan kuarternion <math>\mathbb{H}</math> adalah aljabar komposisi dengan norma yang diberikan bentuk definit kuadratik. Nilai mutlak di semua aljabar pembagian ini adalah akar kuadrat dari norma di aljabar komposisi.

* Schechter, Eric; ''Handbook of Analysis and Its Foundations'', pp 259–263, [http://books.google.com/books?id=eqUv3Bcd56EC&pg=PA259 "Absolute Values"], [[Academic Press]] (1997) ISBN 0-12-622760-8.