Bilangan asli: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) |
k wkfs |
||
| (8 revisi perantara oleh 6 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Three Baskets with Apples.svg|ka|jmpl|Bilangan asli dapat digunakan untuk menghitung (satu apel, dua apel, tiga apel, ...).]]
[[Berkas:Number line method.svg|jmpl|bilangan bulat]]
Dalam [[matematika]], terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan '''bilangan asli'''. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan '''bilangan bulat positif''' yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan [[nol]] dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.[[Tanda (matematika)|Bilangan positif]] dilambangkan dengan tanda (+).<ref>{{Cite web|first=Tim Gakko Tosho|title=Matematika|url=https://static.buku.kemdikbud.go.id/content/pdf/bukuteks/kurikulum21/Matematika-BS-KLS-VII-Licensi.pdf|access-date=2024-12-6}}</ref>▼
Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan [[bilangan prima]], dipelajari dalam [[teori bilangan]]. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat [[
▲Dalam [[matematika]], terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan '''bilangan asli'''. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan '''bilangan bulat positif''' yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan [[nol]] dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.
Setiap bilangan, misalnya [[1 (angka)|bilangan 1]], adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indra manusia, tetapi bersifat [[universal]]. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui [[aksioma Peano]] (sebagai ilustrasi, lihat [http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html aritmetika Peano] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070819031025/http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html |date=2007-08-19 }}).▼
▲Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan [[bilangan prima]], dipelajari dalam [[teori bilangan]]. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat [[hitung]]an suatu himpunan.
▲Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indra manusia, tetapi bersifat [[universal]]. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui [[aksioma Peano]] (sebagai ilustrasi, lihat [http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html aritmetika Peano] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070819031025/http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html |date=2007-08-19 }}).
Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua [[bilangan rasional]] bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.
Baris 15:
Kemajuan besar pertama dalam abstraksi adalah penggunaan [[sistem bilangan]] untuk melambangkan angka-angka. Ini memungkinkan pencatatan bilangan besar. Sebagai contoh, orang-orang [[Babylonia]] mengembangkan sistem berbasis posisi untuk angka 1 dan 10. Orang [[Mesir]] kuno memiliki sistem bilangan dengan [[hieroglif]] berbeda untuk 1, 10, dan semua pangkat 10 sampai pada satu juta. Sebuah ukuran batu dari [[Karnak]], tertanggal sekitar [[1500]] SM dan sekarang berada di Louvre, Paris, melambangkan 276 sebagai 2 ratusan, 7 puluhan dan 6 satuan; hal yang sama dilakukan untuk angka 4622.
Kemajuan besar lainnya adalah pengembangan gagasan angka nol sebagai bilangan dengan lambangnya tersendiri. Nol telah digunakan dalam [[Notasi ilmiah|notasi]] posisi sedini 700 SM oleh orang-orang Babylon, namun mereka melepaskan bila menjadi lambang terakhir pada bilangan tersebut.{{efn|A tablet found at Kish ... thought to date from around 700 BC, uses three hooks to denote an empty place in the positional notation. Other tablets dated from around the same time use a single hook for an empty place.<ref>{{cite web |title=A history of Zero |website=MacTutor History of Mathematics |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html |url-status=live |access-date=23 January 2013 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130119083234/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html |archive-date=19 January 2013}}</ref>}} Konsep nol pada masa modern berasal dari matematikawan [[India]], [[Brahmagupta]].
Pada abad ke-[[19]] dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan [[teori himpunan]]. Dengan definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan [[himpunan kosong]]) sebagai bilangan asli, dan sekarang menjadi konvensi dalam bidang teori himpunan, [[logika]] dan [[ilmu komputer]].<ref>{{cite web |author=Michael L. Gorodetsky |url=http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |title=Cyclus Decemnovennalis Dionysii - Nineteen year cycle of Dionysius |publisher=Hbar.phys.msu.ru |date=2003-08-25 |accessdate=2012-02-13 |archive-date=2019-01-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190115083618/http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |dead-url=yes }}</ref> Matematikawan lain, seperti dalam bidang [[teori bilangan]], bertahan pada tradisi lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama.<ref>Ini umum di dalam buku ajar mengenai [[analisis real]]. Sebagai contoh, lihat {{harvp|Carothers|2000}}, hlm. 3; atau {{harvp|Thomson|Bruckner|Bruckner|2008}}, hlm. 2.</ref>
Baris 45:
== Sifat ==
=== Penambahan ===
Diberikan suatu himpunan bilangan asli <math> \mathbb{N} </math> dan [[Akar bilangan|fungsi penerus]] <math> S \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N} </math> yang mengirim bilangan asli kepada bilangan selanjutnya, penambahan dari himpunan bilangan asli dapat didefinisikan secara rekursif dengan menetaplan <math> a + 0 = a </math> dan <math> a + S(b) = S(a + b) </math> untuk semua <math> a </math> dan <math> b </math>. Maka, <math> (\N, +) </math> adalah [[monoid]] [[komutatif]] dengan [[elemen identitas]] 0, yang disebut [[monoid bebas]] dengan satu generator. Monoid komutatif ini memenuhi [[sifat pembatalan]], dan dapat dimasukkan ke dalam suatu [[Grup (matematika)|grup]]. Grup terkecil yang berisi bilangan asli adalah bilangan bulat.
Bila 1 didefinisikan sebagai <math> S(0) </math>, maka <math> b + 1 = b + S(0) = S(b+0) = S(b) </math>. Itu berarti, <math> b + 1 </math> adalah penerus dari <math> b </math>.
Baris 53:
=== Hubungan antara penjumlahan dan perkalian ===
Penambahan dan perkalian adalah kompatibel, yang dinyatakan dalam [[hukum distribusi|distribusi]]: {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}. Sifat penjumlahan dan perkalian ini membuat bilangan asli sebagai turunan dari [[komutatif]] [[semiring]]. Semiring adalah generalisasi aljabar dari bilangan asli dengan perkalian tidak seharusnya komutatif. Kurangnya [[Invers aditif|aditif invers]], yang ekuivalen dengan fakta bahwa <math> \N </math> tidak [[Ketertutupan (matematika)|tertutup]] di bawah pengurangan (yaitu, mengurangkan satu bilangan asli dari bilangan asli yang lain tidak selalu menghasilkan bilangan asli), berarti bahwa <math> \N </math> ''bukanlah'' [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]; melainkan [[semiring]].
Bila bilangan asli diambil sebagai "tidak termasuk 0", dan "mulai dari 1", definisi dari + dan × dinyatakan seperti di atas, kecuali diawali dengan {{math|''a'' + 1 {{=}} ''S''(''a'')}} and {{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}.
Baris 93:
* Keberadaan [[elemen identitas]]: untuk setiap bilangan asli {{math|''a''}}, {{math|''a'' + 0 {{=}} ''a''}} dan {{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}.
* [[Sifat distributif|Distribusi]] dari perkalian atas penambahan untuk semua bilangan asli {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, dan {{math|''c''}}, {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}.
* Tidak ada
=== Ketakhinggaan ===
Baris 100:
== Lihat pula ==
{{Portal|Matematika}}
* [[Bilangan#Klasifikasi]] untuk sistem bilangan lain (seperti bilangan rasional, bilangan real, [[bilangan kompleks]], dan lain sebagainya.)
* [[Himpunan terhitung]]
* [[Masalah identifikasi Benacerraf]]
| |||