Penambahan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Wagino Bot (bicara | kontrib) |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
||
| (2 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 67:
=== Sifat distributif ===
:Berlaku dengan perkalian atas penambahan. Identitas ini sangat penting dalam menyederhanakan [[ekspresi aljabar]]:
::<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math>
Baris 74:
Ketika menambahkan [[0 (bilangan)|nol]] dengan suatu bilangan apapun, hasilnya akan sama dengan bilangan tersebut; nol adalah [[elemen identitas]] dari penambahan. Dalam simbol matematika, untuk ''x'' apapun,
:''x'' + 0 = 0 + ''x'' = ''x''.
Hukum ini pertama dikenali dalam ''[[Brahmasphutasiddhanta]]'' dari [[Brahmagupta]] pada tahun 628, meskipun dia menulisnya sebagai tiga hukum terpisah, bergantung pada apakah ''a'' adalah bilangan negatif, positif, atau nol, dan dia menggunakan kata-kata bukannya simbol aljabar. Matematikawan [[India]] kemudian memperhalus konsepnya; pada sekitar tahun 830, [[Mahavira (matematikawan)|Mahavira]] menulis, "nol menjadi nilai yang sama dengan nilai yang ditambahkan dengannya", sesuai dengan pernyataan unary {{nowrap|1=0 + ''x'' = ''x''}}.<ref>Kaplan pp. 69–71</ref>
=== Elemen invers ===
Baris 236:
=== Bilangan asli ===
{{further|Bilangan asli}}
Ada dua cara populer untuk mendefinisikan jumlah dari dua bilangan asli ''a'' dan ''b''. Jika bilangan asli didefinisikan sebagai [[Bilangan kardinal|kardinalitas]] dari [[himpunan hingga]], (kardinalitas suatu himpunan adalah banyak unsur dalam himpunan tersebut), maka jumlah dua bilangan asli bisa didefinisikan sebagai berikut:
* Misalkan N(''S'') adalah lambang untuk kardinalitas himpunan ''S''. Misalkan terdapat dua himpunan saling lepas ''A'' dan ''B'', dengan {{nowrap|1=N(''A'') = ''a''}} dan {{nowrap|1=N(''B'') = ''b''}}. Maka {{nowrap|''a'' + ''b''}} didefinisikan sebagai <math> N(A \cup B)</math>.<ref>Begle p. 49, Johnson p. 120, Devine et al. p. 75</ref>
Di sini, {{nowrap|1=''A'' ∪ ''B''}} adalah [[gabungan (teori himpunan)|gabungan]] dari ''A'' dan ''B''. Versi alternatif dari definisi ini memungkinkan ''A'' dan ''B'' bertindih dan kemudian mengambil [[satuan disjoin]], mekanisme yang memungkinkan unsur-unsur umum untuk dipisahkan dan karena itu dihitung dua kali.
Baris 264:
Cara mendefinisikan bilangan bulat sebagai kelas ekuivalen dari pasangan bilangan asli, dapat digunakan untuk menyematkan ke dalam [[grup (matematika)|grup]] komutatif [[semigrup]] dengan [[sifat pembatalan]]. Di sini, semigrup dibentuk oleh bilangan asli dan grup adalah grup aditif bilangan bulat. Bilangan rasional dibangun dengan cara yang sama, dengan mengambil sebagai semigrup bilangan bulat bukan nol dengan perkalian.
Konstruksi ini juga telah digeneralisasikan dengan nama [[grup Grothendieck]] untuk kasus setiap semigrup komutatif. Tanpa sifat pembatalan [[homomorfisme semigrup]] dari semigrup ke grup ini adalah non-injektif. Awalnya, "grup Grothendieck", hasil konstruksi ini diterapkan pada kelas ekivalensi di bawah [[isomorfisme]] objek dari [[kategori Abelian]], dengan [[jumlah langsung]] sebagai operasi semigrup.
=== Bilangan rasional (pecahan) ===
Baris 303:
==== Vektor ====
{{Main|Penjumlahan vektor}}
Dalam [[aljabar linear]], [[ruang vektor]] adalah struktur aljabar yang mengandung operasi penambahan antara dua [[vektor (spasial)|vektor]] dan [[perkalian skalar]] suatu vektor. Contoh ruang vektor adalah himpunan semua pasangan terurut bilangan real; suatu pasangan terurut bilangan real (''a'',''b'') dianggap sebagai sebuah vektor dari titik nol ke titik (''a'',''b''). Jumlah dua vektor diperoleh dari menambahkan masing-masing koordinatnya:
:<math>(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d).</math>
Operasi penambahan ini penting sekali bagi [[mekanika klasik]], di mana [[gaya (fisika)|gaya]] ditafsirkan sebagai vektor.
Baris 363:
==== Aritmetika modular ====
{{Main|Aritmetika modular}}
Dalam [[aritmetika modular]], penambahan dua bilangan bulat hasilnya sama dengan bilangan bulat yang [[Relasi kongruensi|kongruen]] dengan jumlah kedua bilangan bulat tersebut.
==== Teori umum ====
Baris 451:
'''Ilmu kognitif'''
* {{cite book |last1=Fosnot |first1=Catherine T. |last2=Dolk |first2=Maarten |title=Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction |url=https://archive.org/details/youngmathematici0000fosn |publisher=Heinemann |year=2001 |isbn=978-0-325-00353-5}}
* {{cite conference |first=Karen |last=Wynn |book-title=The Development of Mathematical Skills. |title=Numerical competence in infants |publisher=Taylor & Francis |year=1998 |isbn=0-86377-816-X}}
Baris 467:
* {{cite book |author1=Dummit, D. |author2=Foote, R. |title=Abstract Algebra |edition=2 |publisher=Wiley |year=1999 |isbn=978-0-471-36857-1}}
* {{cite book |first=Herbert |last=Enderton |title=Elements of Set Theory |url=https://archive.org/details/elementsofsetthe0000ende |publisher=[[Academic Press]] |year=1977 |isbn=978-0-12-238440-0}}
* {{cite book |first=John |last=Lee |title=Introduction to Smooth Manifolds |url=https://archive.org/details/introductiontosm0000leej |publisher=Springer |year=2003 |isbn=978-0-387-95448-6}}
* {{cite book |first=John |last=Martin |title=Introduction to Languages and the Theory of Computation |url=https://archive.org/details/introductiontola0000mart |publisher=McGraw-Hill |edition=3 |year=2003 |isbn=978-0-07-232200-2 }}
* {{cite book |first=Walter |last=Rudin |title=Principles of Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |url-access=registration |edition=3 |publisher=McGraw-Hill |year=1976 |isbn=978-0-07-054235-8 }}
| |||