Wikipedia

Persegi: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Astari28 (bicara | kontrib)
630 suntingan
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan.
merapikan terjemahan, menghapus templat stub
 
(2 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{Regular polygon db|Regular polygon stat table|p4}}
{{Infobox polygon
| name = Persegi
| image = [[Berkas:Bujursangkar.gif|jmpl]]
| caption =
| type = [[Poligon beraturan]]
| euler = -
| edges = 4
| schläfli = { }
| wythoff =
| coxeter = {{CDD|node_1|4|node_1}}
| symmetry = [[Simetri Dihedral|Dihedral]] (D<sub>2</sub>), [2], (*22), order 4
| area =
| angle = 90°
| dual = [[Belah ketupat]]
| properties = cembung, isogonal, siklik Opposite sudut dan sisi kongruen
}}
'''Persegi''' atau '''bujur sangkar''' adalah bangun datar [[dua dimensi]] yang dibentuk oleh empat buah [[rusuk]] '''<math>(a)</math>''' yang sama panjang dan memiliki empat buah [[sudut]] yang kesemuanya adalah [[sudut siku-siku]].
 
Dalam [[geometri Euklides]], '''persegi''' adalah bangun [[poligon]] segi-empat [[Poligon reguler|reguler]], artinya bangun tersebut memiliki empat sisi yang sama panjang dan empat sudut yang sama besar (dengan sudut 90 [[Derajat (satuan sudut)|derajat]], π/2 [[radian]], atau [[sudut siku-siku]]). Bangun ini juga dapat didefinisikan sebagai bangun [[persegi panjang]] dengan semua sisi memiliki panjang yang sama. Persegi adalah satu-satunya [[poligon reguler]] dengan [[Sudut dalam dan luar|sudut dalam]], [[sudut pusat]], dan [[Sudut dalam dan luar|sudut luar]] yang sama besar (90°), dan dengan semua diagonalnya memiliki panjang yang sama. Persegi dengan titik sudut <math>ABCD</math> disimbolkan sebagai <math>\square\, ABCD.</math><ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Square|url=https://mathworld.wolfram.com/Square.html|website=Wolfram MathWorld|language=en|access-date=2020-09-02}}</ref>
Persegi merupakan turunan dari [[segi empat]] yang mempunyai ciri khusus keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya siku-siku (90°).
 
== Rumus PersegiDefinisi ==
Bangun poligon segi-empat disebut sebagai ''persegi'' [[jika dan hanya jika]] bangun tersebut merupakan salah satu bentuk dari bangun-bangun berikut:<ref>Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, p. 59, {{isbn|1-59311-695-0}}.</ref><ref>{{Cite web|title=Problem Set 1.3|url=http://jwilson.coe.uga.edu/MATH7200/ProblemSet1.3.html|website=jwilson.coe.uga.edu|access-date=2017-12-12}}</ref>
[[Berkas:persegi.JPG|jmpl|Persegi dengan rusuk <math>a</math> dan diagonal <math>d</math>]]
=== [[Luas]] ===
:<math>L = \ a^2</math> atau
:<math>L = \ s^2</math>
 
* [[Persegi panjang]] dengan semua sisi memiliki panjang yang sama
=== [[Keliling]] ===
* [[Belah ketupat]] dengan sudut siku-siku
:<math>K = 4 a</math> atau
* Belah ketupat dengan semua sudutnya sama besar
:<math>K = 4 s</math>
* [[Jajar genjang]] yang memiliki sudut siku-siku dan dua sisi yang bersebelahan sama panjangnya
* [[Poligon]] segi-empat dengan panjang sisi yang sama dan empat sudut siku-siku
* Poligon dengan semua [[Diagonal|diagonalnya]] sama panjang, saling berpotongan [[tegak lurus]] dan saling membagi dua (contoh, belah ketupat dengan diagonal-diagonalnya sama panjang)
 
* Poligon segi-empat dengan sisi-sisi berurutan ''a'', ''b'', ''c'', dan ''d'', yang luasnya <math>L= \tfrac{1}{2}(a^2+c^2)=\tfrac{1}{2}(b^2+d^2).</math><ref name="J2014">Josefsson, Martin, [http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412.pdf#10 "Properties of equidiagonal quadrilaterals"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220927203229/https://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412.pdf#10|date=2022-09-27}} ''Forum Geometricorum'', 14 (2014), 129–144.</ref>{{rp|Corollary 15}}
=== [[Diagonal]] ===
:<math>d = 40 \cdot \sqrt{2} </math>
:<math>d = 2 \cdot r_u</math>
 
== Sifat ==
=== [[jari jari lingkaran]] ===
Persegi adalah kasus khusus dari banyak bangun berikut (dengan sifat masing-masing dalam tanda kurung): [[belah ketupat]] (semua sisi sama panjang, semua sudut berhadapan sama besar), [[Layang-layang (geometri)|layang-layang]] (dua panjang sisi bersebelahan sama besar), [[trapesium]] (sepasang sisi berhadapan sejajar), [[jajar genjang]] (semua sisi berhadapan sejajar), [[persegi panjang]] (semua sisi berhadapan sama besar, semua sudut siku-siku), dan tetragon (poligon empat sisi). Akibatnya, persegi memiliki semua sifat dari bangun-bangun tersebut, meliputi:<ref>{{Cite web|title=Quadrilaterals - Square, Rectangle, Rhombus, Trapezoid, Parallelogram|url=https://www.mathsisfun.com/quadrilaterals.html|website=www.mathsisfun.com|access-date=2020-09-02}}</ref>
:<math>r_i = \frac{a}{2} </math>
:<math>r_i = \frac{d}{2 \cdot \sqrt{2}} </math>
 
* Semua [[sudut dalam]] dari persegi sama besar (masing-masing sebesar 360°/4 = 90°, sudut siku-siku).
=== [[Radius]] ===
* [[Sudut pusat]] dari persegi sama dengan 90° (360°/4).
:<math>r_u = \frac{a}{\sqrt{2}}</math>
:<math>r_u = \frac{d}{2}</math>
 
* [[Sudut dalam dan luar|Sudut luar]] dari persegi sama dengan 90° (360°/4).
=== [[Sudut]] interior ===
* Kedua diagonal dari persegi sama besar dan saling memotong pada sudut 90°.
:<math> \alpha = \beta = \gamma = \delta = 90^\circ </math>
* Diagonal dari persegi membagi dua sudut dalamnya, masing-masing membentuk sudut 45°.
* Semua sisi dari persegi sama besar
* Semua sisi yang saling berhadapan sejajar
 
=== PropertiKeliling dan luas ===
[[Berkas:Five_Squared.svg|jmpl|Luas dari persegi adalah hasil perkalian dari panjang sisinya.]]
Persegi adalah kasus khusus dari [[belah ketupat]] (sisi sama, berlawanan sudut sama), layang - layang (dua pasang sisi sama berbatasan), trapesium (sepasang sisi yang berlawanan sejajar), [[Jajar genjang|jajaran genjang]] (semua sisi berlawanan sejajar), sebuah [[segiempat]] atau tetragon (poligon empat sisi), dan [[persegi panjang]] (sisi berlawanan sama, sudut kanan) dan karenanya memiliki semua sifat dari semua bentuk ini, yaitu:
[[Keliling]] dari bangun persegi yang keempat sisinya memiliki panjang <math>\ell </math> adalah <math display="block">K = 4\ell</math>dan [[Luas|luasnya]]<ref name=":0" /> adalah <math display="block">L=\ell^2.</math>Pada [[Zaman Klasik|zaman klasik]], konsep [[Pangkat dua|kuadrat (pangkat dua)]] dijelaskan menggunakan luas dari bangun persegi, seperti pada rumus di atas. Pada perkembangan selanjutnya, seperti dalam [[bahasa Inggris]], ini menyebabkan penggunaan istilah ''square'' (persegi) untuk mengartikan kuadrat.
*Diagonal - diagonal persegi membagi dua satu sama lain dan bertemu pada 90 °
*Diagonal persegi membagi dua sudutnya.
*Sisi-sisi yang berlawanan dari bujur sangkar keduanya paralel dan panjangnya sama.
*Keempat sudut persegi sama. (Masing-masing 360 ° / 4 = 90 °, jadi setiap sudut kotak adalah sudut kanan.)
*Keempat sisi persegi sama.
*Diagonal persegi sama.
*Kotak adalah kasus n = 2 dari keluarga n- hypercubes dan n- orthoplexes .
*Kotak memiliki [[simbol Schläfli]] {4}. Kotak terpotong, t {4}, adalah segi delapan, {8}. Kotak berganti - ganti, h {4}, adalah digon, {2}.
 
Luas dari persegi juga dapat dihitung menggunakan panjang diagonal ''d'', menggunakan rumus<math display="block">L=\frac{d^2}{2}.</math>Jika menggunakan [[lingkaran luar]] persegi dengan [[jari-jari]] <math>R,</math> luas persegi dapat dituliskan sebagai<math display="block">L=2R^2;</math>Karena luas dari lingkaran tersebut adalah <math>\pi R^2,</math> persegi akan mengisi <math>2/\pi \approx 0.6366</math> bagian dari lingkaran luarnya. Sedangkan menggunakan lingkaran dalam dengan jari-jari <math>r,</math> luas dari persegi adalah <math display="block">L=4r^2;</math>sehingga lingkaran dalam mengisi <math> \pi/4 \approx 0.7854</math> bagian dari persegi tersebut.
=== Fakta lain ===
*Diagonal persegi adalah <math> \sqrt {2}</math> (sekitar 1,414) kali panjang sisi persegi. Nilai ini, dikenal sebagai akar kuadrat dari 2 atau konstanta Pythagoras, adalah angka pertama yang terbukti irasional .
*Kuadrat juga dapat didefinisikan sebagai jajaran genjang dengan diagonal yang sama yang membagi dua sudut.
*Jika angka adalah persegi panjang (sudut kanan) dan belah ketupat (panjang sisi yang sama), maka itu adalah persegi.
*Jika lingkaran dibatasi di sekitar persegi, luas lingkaran adalah <math> \pi / 2 </math> (sekitar 1,5708) kali luas alun-alun.
*Jika sebuah lingkaran ditulisi di dalam bujur sangkar, luas lingkaran adalah <math> \pi / 4 </math> Kotak memiliki luas yang lebih besar daripada segiempat lainnya dengan batas yang sama.
*Sebuah ubin persegi adalah satu dari tiga tilings biasa dari pesawat (yang lain adalah [[segitiga sama sisi]] dan segi enam biasa ).
*Alun-alun berada dalam dua keluarga polytopes dalam dua dimensi: hypercube dan cross-polytope . [[Simbol Schläfli]] untuk alun-alun adalah {4}.
*Persegi adalah objek yang sangat simetris. Ada empat garis simetri reflektif dan memiliki simetri rotasi orde 4 (hingga 90°, 180° dan 270°). Its kelompok simetri adalah kelompok dihedral D<sub>4 .
*Jika lingkaran bertulis ABCD persegi memiliki titik singgung E pada ''AB'' , ''F'' pada ''BC'' , ''G'' pada ''CD'' , dan ''H'' pada ''DA'' , maka untuk setiap titik ''P'' pada lingkaran bertuliskan,
:<math> 2(PH^2-PE^2)=PD^2-PB^2</math>
*Jika <math>d_i</math> adalah jarak dari titik sewenang-wenang di pesawat dengan saya simpul persegi dan <math>R</math> adalah circumradius dari alun-alun, maka
 
Karena persegi merupakan [[poligon reguler]], bangun ini memiliki keliling terkecil yang mengitari suatu luas tertentu. Dual dari pernyataan tersebut, persegi merupakan bangun segi-empat yang memiliki luas terbesar, dari semua segi-empat dengan suatu besar keliling tertentu.<ref>Chakerian, G.D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in ''Mathematical Plums'' (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.</ref><ref>{{Cite web|last=Lundsgaard Hansen|first=Martin|title=Vagn Lundsgaard Hansen|url=http://www2.mat.dtu.dk/people/V.L.Hansen/square.html|website=www2.mat.dtu.dk|access-date=2017-12-12}}</ref> Secara lebih matematis, jika <math>L</math> dan <math>K</math> masing-masing adalah luas dan keliling dari suatu segi-empat, maka berlaku [[pertidaksamaan isoperimetrik]] berikut: <math display="block">16L\le K^2</math>dengan persamaan terjadi [[jika dan hanya jika]] segi-empat tersebut adalah persegi.
== Elemen luas ==
 
=== Fakta lain ===
Bangun persegi sering digunakan sebagai [[elemen luas]] dalam menghitung luas suatu [[bangun datar]] dengan menggunakan proses [[integral]]. Dalam ruang koordinat ''x'' dan ''y'' elemen luas (''dA'') yang berbentuk persegi dinyatakan sebagai:
 
* Panjang diagonal dari persegi adalah <math display="inline">\sqrt{2}</math> (sekitar 1,414) kali panjang sisi persegi tersebut. Nilai ini, dikenal sebagai [[akar kuadrat dari 2]] dan konstanta Pythagoras,<ref name=":0" /> adalah bilangan pertama yang dibuktikan berupa [[bilangan irasional]].
: <math>dA = dxdy\!</math>
* Persegi juga dapat didefinisikan sebagai [[jajar genjang]] dengan kedua diagonalnya memiliki panjang yang sama dan membagi dua sudut dalam jajar genjang tersebut.
* Jika suatu bangun berupa persegi panjang (memiliki sudut siku-siku) sekaligu belah ketupat (memiliki panjang sisi yang sama), maka bangun tersebut adalah persegi.
* [[Pengubinan persegi]] adalah salah satu dari tiga [[teselasi reguler]] pada bidang (bangun [[teselasi]] lainnya adalah [[segitiga sama sisi]] dan [[Heksagon|heksagon reguler]]).
* Persegi adalah anggota dari dua keluarga [[politop]] di dimensi dua: [[hiperkubus]] dan ''cross-polytope''. [[Simbol Schläfli]] untuk persegi adalah&nbsp;<math display="inline">\{4\}</math>&nbsp;.
* Persegi adalah objek yang sangat simetris. Persegi memiliki empat garis [[simetri refleksi]], dan [[simetri rotasi]] tingkat 4 (0°, 90°, 180° and 270°). [[Grup simetrik|Grup simetri]] dari bangun ini adalah [[grup dihedral]]&nbsp;D<sub>4</sub>.
* Sebangun persegi dapat dibuat di dalam (''inscribed'') sebarang poligon regular. Satu-satunya poligon lain dengan sifat ini adalah segitiga sama sisi.
* Jika [[Lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar segitiga|lingkaran dalam]] dari persegi ''ABCD'' memiliki titik potong ''E'' pada sisi ''AB'', ''F'' pada ''BC'', ''G'' pada ''CD'', dan ''H'' pada ''DA'', maka untuk sebarang titik ''P'' pada lingkaran dalam tersebut,<ref>{{Cite web|title=Geometry classes, Problem 331. Square, Point on the Inscribed Circle, Tangency Points. Math teacher Master Degree. College, SAT Prep. Elearning, Online math tutor, LMS.|url=http://gogeometry.com/problem/p331_square_inscribed_circle.htm|website=gogeometry.com|access-date=2017-12-12}}</ref> <math> 2(PH^2-PE^2) = PD^2-PB^2.</math>
* Jika <math>d_i</math> adalah jarak dari berang titik di bidang ke sisi ke-''i'' dari sebangun persegi, dan <math>R</math> adalah [[lingkaran luar]] dari persegi tersebut, maka<ref>Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", [[Forum Geometricorum]] 16, 2016, 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161010184811/http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf|date=2016-10-10}}</ref> <math display="block">\frac{d_1^4+d_2^4+d_3^4+d_4^4}{4} + 3R^4 = \left(\frac{d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2}{4} + R^2\right)^2.</math>
* Jika <math>L</math> dan <math>d_i</math> masing-masing menyatakan jarak dari sebarang titik pada bidang ke titik pusat dari persegi dan ke titik pusat dari sisi-sisinya, maka berlaku hubungan <ref name="Mamuka">{{cite journal|last1=Meskhishvili|first1=Mamuka|date=2021|title=Cyclic Averages of Regular Polygonal Distances|url=https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2020/12/4.-58-65.pdf|journal=International Journal of Geometry|volume=10|pages=58–65}}</ref> <math>d_1^2 + d_3^2 = d_2^2 + d_4^2 = 2(R^2+L^2)</math> dan <math> d_1^2d_3^2 + d_2^2d_4^2 = 2(R^4+L^4), </math> dengan <math>R</math> adalah [[lingkaran luar]] dari persegi tersebut.
 
== Kontruksi ==
sehingga luas suatu bangun [[dua dimensi]] dalam [[ruang]] tersebut dapat dihitung menggunakan
Beberapa animasi berikut ini menunjukkan cara membuat persegi menggunakan [[Lukisan jangka dan mistar|jangka dan mistar]].
{{multiple image
| align = center
| image1 = Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif
| caption1 = Konstruksi persegi menggunakan jangka dan mistar.
| image2 = 01-Quadrat-Seite-gegeben.gif
| caption2 = Persegi dari panjang sisi yang sudah ditentukan,<br /> sudut siku-siku dihasilkan dari [[teorema Thales]].
| image3 = 01-Quadrat-Diagonale-gegeben.gif
| caption3 = Persegi dari panjang diagonal yang sudah ditentukan
| width2 = 220
}}
 
== Geometri non-Euklides ==
: <math>\int dx \int dy\ f(x,y) = \int f(x,y) dA\!</math>
Dalam [[geometri non-Euklides]], persegi didefinisikan secara lebih umum sebagai poligon dengan 4 sisi dengan panjang yang sama dan besar semua sudutnya sama.
 
Di [[geometri bola]], ''persegi sferis'' adalah poligon yang sisi-sisinya merupakan busur [[lingkaran besar]] dengan panjang yang sama, dan berpotongan pada besar sudut yang sama. Tidak seperti persegi pada geometri bidang (geometri Euklides), sudut persegi di geometri ini lebih besar daripada sudut siku-siku. Persegi sferis dengan ukuran yang lebih besar akan memiliki sudut yang lebih besar.
sebagai suatu rumusan umum.
 
Di [[geometri hiperbolik]], tidak ada persegi dengan sudut siku-siku. Alih-alih, persegi dalam geometri hiperbolik memiliki sudut kurang dari sudut siku-siku. Persegi hiperbolik dengan ukuran yang lebih besar memiliki sudut yang lebih kecil.
== Kontruksi ==
{{multiple image
Animasi berikut ini menunjukkan cara membuat persegi menggunakan kompas dan garis lurus . Ini dimungkinkan karena 4 = 2^2, kekuatan dua .
| align = center
[[Berkas:Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif|thumb|right|Kontruksi pembuatan persegi]]
| image1 = Tetragonal_dihedron.png
[[Berkas:01-Quadrat-Seite-gegeben.gif|thumb|Kuadrat pada panjang sisi yang diberikan,
| caption1 = Dua persegi dengan sudut dalam 180° dapat mengubin (''tile'') pemukaan bola. Sisi-sisi dari kedua persegi tersebut terletak di [[lingkaran besar]]. Persegi tersebut disebut dengan persegi sfreris (bola'')'' [[dihedron]], dengan [[simbol Schläfli]]&nbsp;{4,2}.
sudut kanan dengan menggunakan [[teorema Thales]]]]
| image2 = Square_on_sphere.svg
[[Berkas:01-Quadrat-Diagonale-gegeben.gif|thumb|Kuadrat pada diagonal yang diberikan]]
| caption2 = Enam persegi dapat mengubi permukaan bola, dengan setiap titik sudut dikeliling oleh tiga persegi dan setiap persegi memiliki besar sudut dalam 120°. Objek ini disebut dengan kubus sferis, dengan simbol Schläfli&nbsp;{4,3}.
| image3 = Square_on_hyperbolic_plane.png
| caption3 = Persegi dapat mengubin bidang hiperbolik, dengan setiap sudut dikelilingi lima persegi, masing-masing dengan sudut dalam 72°. Malahan, untuk sebarang <math>n\geq5</math> ada suatu pengubinan hiperbolik yang setiap titik sudut persegi tersebut dikelilingi oleh <math>n</math> persegi.
}}
 
== Persegi latinGraf ==
[[Berkas:Tetrahedron petrie.png|115x115px|thumb|simpleks-3]]
{{Lihat pula|Persegi latin}}
[[Graf lengkap]] K<sub>4</sub> sering digambarkan sebagai persegi lengkap dengan kedua diagonalnya. Graf ini juga merupakan [[Proyeksi ortografi|proyeksi ortografik]] dari [[simpleks]]-3 sederhana (tetrahedron), yang memiliki 6 sisi dan 4 titik sudut.
Persegi Latin adalah skema kotak dengan n baris dan kolom, di mana setiap bidang memiliki salah satu dari n simbol yang berbeda, sehingga setiap simbol muncul tepat sekali di setiap baris dan di setiap kolom. Bilangan alami n disebut urutan kuadrat Latin.
 
== GeometriLihat Non-Euklidesjuga ==
Dalam geometri non-Euclidean, kuadrat lebih umum adalah poligon dengan 4 sisi yang sama dan sudut yang sama.
 
* [[Persegi Latin]]
Dalam geometri bola , kotak adalah poligon yang ujung-ujungnya adalah lingkaran besar dengan jarak yang sama, yang bertemu pada sudut yang sama. Tidak seperti kuadrat bidang geometri, sudut persegi seperti itu lebih besar dari sudut kanan. Kotak bola yang lebih besar memiliki sudut yang lebih besar.
 
Dalam geometri hiperbolik, kotak dengan sudut kanan tidak ada. Alih-alih, kotak dalam geometri hiperbolik memiliki sudut kurang dari sudut kanan. Persegi hiperbolik yang lebih besar memiliki sudut yang lebih kecil.
[[Berkas:Tetragonal dihedron.png|80px|thumb|Dua kotak dapat membentuk bola dengan 2 kotak di sekitar setiap sudut dan sudut internal 180 derajat . Setiap kotak mencakup seluruh belahan bumi dan simpulnya terletak di sepanjang lingkaran besar . Ini disebut dihedron persegi berbentuk bola. [[simbol Schläfli]] adalah {4,2}.]]
[[Berkas:Square on sphere.svg|80px|thumb|Enam kotak dapat membentuk bola dengan 3 kotak di sekitar setiap sudut dan sudut internal 120 derajat . Ini disebut kubus bulat. [[simbol Schläfli]] adalah {4,3}.]]
 
== Grafik ==
[[Berkas:Tetrahedron petrie.png|100px|thumb|3-simpleks (3D)]]
Grafik lengkap K<sub>4</sub> sering digambarkan sebagai kotak dengan semua 6 sisi yang mungkin terhubung, karenanya muncul sebagai kotak dengan kedua diagonal digambar. Grafik ini juga merupakan proyeksi ortografis dari 4 simpul dan 6 tepi dari 3 simpleks biasa ( tetrahedron ).
 
== Lihat juga ==
* [[Persegi bulat]]
* ''[[Squaring the square]]''
 
== Referensi ==
<references />
{{bangun}}
 
Baris 113 ⟶ 96:
[[Kategori:Geometri]]
[[Kategori:Bentuk]]
 
 
{{geometri-stub}}
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Persegi"