Limas persegi: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) →Referensi: ce Tag: Suntingan visualeditor-wikitext |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
(43 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 12:
| properties = [[Himpunan cembung|cembung]]
| net = Square pyramid net.svg}}
Dalam geometri, '''limas persegi'''{{efn|1=Sebutan
Limas persegi sudah ditemukan melalui riwayat arsitektur. Contoh bangunan itu adalah [[Piramida Mesir|piramida yang dibangun oleh Mesir pada zaman kuno]], dan beberapa jenis bangunan lain yang menyerupainya. Selain itu, limas persegi juga digunakan dalam [[struktur molekul piramidal persegi]], serta digunakan untuk mengonstruksikan sebuah polihedron dengan menggunakan polihedron yang lain. Banyak matematikawan
==
Lmas persegi pada umumnya mempunyai lima buah [[titik sudut]], delapan buah rusuk, dan lima bidang muka. Salah satu muka tersebut adalah ''alas'' limas yang berbentuk [[persegi]], sisanya berbentuk [[segitiga]].{{r|clissold}} Alas persegi itu dibentuk oleh empat rusuk yang dihubungkan oleh empat buah titik sudut, dan keempat rusuk itu adalah rusuk alas. Keempat rusuk lainnya yang disebut "rusuk tegak" (''lateral edges'') bertemu di titik sudut kelima. Titik sudut tersebut adalah [[Titik puncak (geometri)|titik puncak]].{{r|o-bruce|smith}} Limas yang titik puncaknya berada pada garis yang tepat di pusat alas persegi sehingga muka segitiga menjadi [[Segitiga sama kaki|sama kaki]], disebut ''limas persegi siku'' (''right square pyramid''). Limas dengan dua atau lebih muka segitiga yang tidak sama kaki disebut ''limas persegi miring'' (''oblique square pyramid'').{{r|amin}}{{sfnb|Freitag|2014|p=598}}
=== Luas permukaan ===
Sisi miring (''slant height'') <math>s</math> dari sebuah limas persegi didefinisikan sebagai tinggi dari salah satu segitiga sama kaki. Sisi ini didapatkan menggunakan [[teorema Pythagoras]]:
<math display="block">s = \sqrt{b^2 - \frac{l^2}{4}},</math>
dengan <math>l</math> adalah panjang dari alas segitiga, sekaligus salah satu dari rusuk pada alas persegi, dan <math>b</math> adalah panjang dari kaki segitiga, sekaligus merupakan sisi tegak dari limas.{{sfnb|Larcombe|1929|p=177}}{{r|perry}} Tinggi <math>h</math> dari sebuah limas persegi didapatkan dengan cara yang serupa, yang kemudian jika mensubstitusikan rumus dari sisi miring, menghasilkan:{{sfnb|Larcombe|1929|p=177}}
<math display="block">h = \sqrt{s^2 - \frac{l^2}{4}} = \sqrt{b^2 - \frac{l^2}{2}}.</math>
[[Luas permukaan]] dari sebuah [[polihedron]] (bidang banyak) dihitung dengan menjumlahkan luas dari semua mukanya. Oleh karena itu, luas permukaan dari sebuah limas persegi siku <math>A</math> dapat dinyatakan sebagai <math>A = 4T + S</math>, dengan <math>T</math> dan <math>S</math> masing-masing merepresentasikan luas dari salah satu muka segitiga dan alas perseginya. Luas segitiga adalah setengah dari hasil kali alas dan kaki, sedangkan luas dari persegi adalah sisinya yang dikuadratkan. Jadi, luasnya dirumuskan sebagai:{{sfnp|Freitag|2014|p=[https://books.google.com/books?id=GYsWAAAAQBAJ&pg=PA798 798]}}
<math display="block"> A = 4\left(\frac{1}{2}ls\right) + l^2 = 2ls + l^2.</math>
=== Volume ===
Secara umum, volume dari sebuah limas <math>V</math> sama dengan sepertiganya hasil kali luas dari alas dengan tinggi.{{r|ak}} Untuk limas persegi, rumusnya adalah:{{sfnp|Larcombe|1929|p=[https://books.google.com/books?id=SAE9AAAAIAAJ&pg=PA178 178]}}
<math display="block"> V = \frac{1}{3}l^2h.</math>
Rumus menghitung volume dari limas persegi sebelumnya sudah ditemukan oleh beberapa matematikawan kuno. Dalam [[Papirus Matematika Moskwa]], bangsa Mesir menemukan rumus untuk menghitung volume dari [[Frustum|frustum dengan alasnya yang berupa persegi]]. Hal ini dapat disimpulkan bahwa mereka sudah mengetahui volume dari sebuah limas persegi, tetapi permasalahannya adalah masih belum diketahui bagaimana cara mereka membuktikannya. Selain penemuan volume dari sebuah limas persegi, permasalahan untuk mencari kemiringan dan tinggi dari limas persegi dapat dijejak pada [[Papirus Matematika Rhind]].{{r|cromwell}} Bangsa Babilonia juga menemukan volume dari frustum tersebut, tetapi rumus yang didapatkan itu tidak benar.{{r|eves}} Salah satu matematikawan asal Tiongkok, [[Liu Hui]], menemukan volume tersebut dengan memotong sebuah bangun ruang berbentuk kotak menjadi beberapa bagian.{{r|wagner}}
== Limas persegi siku yang rusuknya sama panjang ==
[[File:Johnson J1 3D.stl|thumb|Model 3D limas persegi dengan rusuk yang sama panjang]]
Andaikan semua rusuk pada limas persegi siku memiliki panjang yang sama, semua muka segitiga yang dimiliki menjadi [[Segitiga sama sisi|sama sisi]], dan muka-muka tersebut merupakan [[poligon beraturan]]''.''{{r|hocevar}} [[Sudut dihedral]] di antara dua buah segitiga yang berdampingan bernilai <math>\arccos \left(-1/3\right) \approx 109.47^\circ </math>, dan sudut di antara alas persegi dan masing-masing segitiga bernilai, <math>\arctan \sqrt{2} \approx 54.735^\circ</math>.{{r|johnson}} Sebuah polihedron [[Himpunan cembung|cembung]] yang hanya memiliki [[poligon]] beraturan sebagai mukanya disebut [[bangun ruang Johnson]], dan jenis limas itu dikategorikan sebagai bangun ruang Johnson pertama, dilambangkan <math>J_1</math>.{{r|uehara}} Sama seperti limas yang lain dengan poligon beraturan sebagai alasnya, limas persegi ini memiliki [[simetri piramidal]]. Limas persegi ini memiliki simetri dari [[grup siklik]] <math>C_{4v}</math>, yang berarti limas dapat diputar sekali, dua kali, dan tiga kali putaran penuh di sekitar [[sumbu simetri]], garis yang menghubungkan titik puncak hingga ke pusat alas; limas persegi ini memiliki simetri cermin yang relatif dengan setiap bidang yang tegak lurus, yang melalui garis pembagi alas.{{r|johnson}} Limas ini dapat direpresentasikan [[graf roda]] (''wheel graph'') <math> W_4 </math>; lebih umumnya, graf roda <math> W_n </math> merepresentasikan kerangka dari sebuah limas dengan <math>n</math> sisi alas.{{r|pisanski}}
== Penerapan ==
Baris 44 ⟶ 46:
| caption2 = Salah satu bangunan [[piramida Mesoamerika]] yang mirip seperti bangunan piramida Mesir mempunyai ujung atas yang datar dan tangga pada mukanya.
}}
Dalam arsitektur, [[Piramida Mesir|piramida yang dibangun di Mesir pada zaman kuno]] adalah contoh-contoh bangun yang bentuknya mirip seperti limas persegi.{{r|kmp}} Beberapa [[Piramodologi|ahli piramodologi]] mengemukakan
Dalam [[stereokimia]], [[kluster atom]] dapat memiliki [[struktur molekul piramidal persegi|bentuk molekul geometri berupa limas persegi]]. Molekul dengan bentuk ini memiliki [[unsur golongan utama]] yang terdiri atas satu [[pasangan elektron sunyi]] aktif, yang digambarkan oleh sebuah model yang memprediksi [[geometri molekul]], [[teori VSEPR]].{{r|phh}} Contoh-contoh molekul dengan struktur itu adalah [[Pentaflorida klorin|pentafluorida klorin]], [[pentafluorida bromin]], and dan [[pentafluorida iodin]].{{r|emeleus}}
[[File:Tetrakishexahedron.jpg|thumb|150px|Konstruksi dari polihedron ini melibatkan penempelan limas persegi]]
Alas limas persegi dapat ditempelkan ke muka persegi dari sebuah polihedron, sehingga membangun polihedron yang baru. Contoh proses konstruksi ini disebut ''augmentation''. Contohnya seperti polihedron (pada gambar) yang dapat dikonstruksi dengan menempelkan alas
{{Clear}}
== Catatan ==
{{notelist|group="lower-alph"}}
== Referensi ==
{{reflist|refs=
<ref name="ak">{{cite book
| last1 = Alexander
| first1 = Daniel C. | last2 = Koeberlin
| first2 = Geralyn M. | year = 2014
| title = Elementary Geometry for College Students
Baris 65 ⟶ 72:
| page = 403
| isbn = 978-1-285-19569-8
| access-date = 20 November 2023
| archive-date = 17 Mei 2023
| archive-url = https://web.archive.org/web/20230517104859/https://books.google.com/books?id=EN_KAgAAQBAJ&pg=PA403
| dead-url = no
}}</ref>
<ref name="amin">{{cite book
| last = Amin | first = M. Mustaghfirin
| year = 2014
| title = Aircraft Drawing & CAD
| publisher = Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia
| url = https://repositori.kemdikbud.go.id/10354/1/Aircraft%20Drawing%20%26%20CAD%20Semester%204.pdf
}} Lihat di Aircraft Drawing & CAD – Sm. 428.</ref>
<ref name="clissold">{{cite book
| last = Clissold | first = Caroline
| year = 2020
| title = Maths 5–11: A Guide for Teachers
| publisher = Taylor & Francis
| url = https://books.google.com/books?id=XgW5DwAAQBAJ
| isbn = 978-0-429-26907-3
| page = 141
| url = https://books.google.com/books?id=_MjPDwAAQBAJ&pg=PA141
}}</ref>
<ref name="cromwell">{{cite book
| last = Cromwell | first = Peter R.
Baris 85 ⟶ 101:
| publisher = [[Cambridge University Press]]
| pages = 20–22
}}</ref>
<ref name="devilliers-role">{{cite journal
| last = De Villiers | first = Michael
| date = February 1994
| issue = 1
| journal = [[For the Learning of Mathematics]]
| jstor = 40248098
| pages = 11–18
| title = The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals
| volume = 14
}}</ref>
<ref name="ds">{{cite journal
Baris 96 ⟶ 122:
| page = 204
| doi = 10.3390/sym9100204
| doi-access = free
}}</ref>
<ref name="emeleus">{{cite book
| last = Emeléus
| first = H. J. | authorlink = Harry Julius Emeléus | title = The Chemistry of Fluorine and Its Compounds
| year = 1969
Baris 106 ⟶ 134:
| page = 13
| isbn = 9781483273044
| access-date = 20 November 2023
| archive-date = 7 Oktober 2023
| archive-url = https://web.archive.org/web/20231007033616/https://books.google.com/books?id=9SkSBQAAQBAJ&pg=PA13
| dead-url = no
}}</ref>
<ref name="eves">{{cite book
| last = Eves
| first = Howard | authorlink = Howard Eves | year = 1997
| title = Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics
Baris 116 ⟶ 150:
| page = 2
| isbn = 978-0-486-69609-6
| access-date = 20 November 2023
| archive-date = 17 November 2023
| archive-url = https://web.archive.org/web/20231117152341/https://books.google.com/books?id=J9QcmFHj8EwC&pg=PA2
| dead-url = no
}}</ref>
<ref name="feder">{{cite book
| last = Feder
| first = Kenneth L. | year = 2010
| title = Encyclopedia of Dubious Archaeology: From Atlantis to the Walam Olum: From Atlantis to the Walam Olum
Baris 125 ⟶ 164:
| url = https://books.google.com/books?id=RlRz2symkAsC&pg=PA34
| isbn = 9780313379192
| access-date = 20 November 2023
| archive-date = 17 November 2023
| archive-url = https://web.archive.org/web/20231117155822/https://books.google.com/books?id=RlRz2symkAsC&pg=PA34
| dead-url = no
}}</ref>
<ref name="herz-fischler">{{cite book
| last = Herz-Fischler
Baris 144 ⟶ 187:
}}</ref>
<ref name="jn">{{cite book
| last1 = Jarvis
| first1 = Daniel | last2 = Naested
| first2 = Irene | title = Exploring the Math and Art Connection: Teaching and Learning Between the Lines
| year = 2012
Baris 152 ⟶ 197:
| url = https://books.google.com/books?id=NWzsz8vioZwC&pg=PA172
| isbn = 978-1-55059-398-3
| access-date = 20 November 2023
| archive-date = 7 Oktober 2023
| archive-url = https://web.archive.org/web/20231007033633/https://books.google.com/books?id=NWzsz8vioZwC&pg=PA172
| dead-url = no
}}</ref>
<ref name="johnson">{{cite journal
| last = Johnson | first = Norman W. | authorlink = Norman W. Johnson
Baris 166 ⟶ 215:
}} Lihat tabel III, baris 1.</ref>
<ref name="kmp">{{cite book
| last1 = Kinsey
| first1 = L. Christine | authorlink1 = L. Christine Kinsey | last2 = Moore
| first2 = Teresa E. | last3 = Prassidis
| first3 = Efstratios | title = Geometry and Symmetry
| year = 2011
Baris 175 ⟶ 228:
| page = 371
| isbn = 978-0-470-49949-8
| access-date = 20 November 2023
| archive-date = 7 Oktober 2023
| archive-url = https://web.archive.org/web/20231007033648/https://books.google.com/books?id=fFpuDwAAQBAJ&pg=RA1-PA371
| dead-url = no
}}</ref>
<ref name="markowsky">{{cite journal
| last = Markowsky
| first = George | year = 1992
| title = Misconceptions about the Golden Ratio
Baris 189 ⟶ 247:
| jstor = 2686193
| quote = It does not appear that the Egyptians even knew of the existence of <math>\varphi</math> much less incorporated it in their buildings [Tidak dijelaskan bahwa bangsa Mesir mengetahui keberadaan <math> \varphi </math>, yang tidak ada keterkaitannya dengan bangunan itu.]
| access-date =
| archive-date = 11 Desember 2020
| archive-url = https://web.archive.org/web/20201211062911/http://aturing.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf
| dead-url = no
}}</ref>
<ref name="o-bruce">{{cite book
| last1 = O'Keeffe
| first1 = Michael | last2 = Hyde
| first2 = Bruce G. | title = Crystal Structures: Patterns and Symmetry
| year = 2020
Baris 200 ⟶ 263:
| page = 141
| isbn = 9780486836546
| access-date = 20 November 2023
| archive-date = 7 Oktober 2023
| archive-url = https://web.archive.org/web/20231007033617/https://books.google.com/books?id=_MjPDwAAQBAJ&pg=PA141
| dead-url = no
}}</ref>
<ref name="perry">{{cite book
| last1 = Perry
| first1 = O. W. | last2 = Perry
| first2 = J. | title = Mathematics
| year = 1981
Baris 211 ⟶ 280:
| isbn = 978-1-349-05230-1
| doi = 10.1007/978-1-349-05230-1
| access-date = 20 November 2023
| archive-date = 7 Oktober 2023
| archive-url = https://web.archive.org/web/20231007033616/https://books.google.com/books?id=Di2uCwAAQBAJ&pg=PA145
| dead-url = no
}}</ref>
<ref name="phh">{{cite book
| last1 = Petrucci
| first1 = Ralph H. | last2 = Harwood
| first2 = William S. | last3 = Herring
| first3 = F. Geoffrey | title = General Chemistry: Principles and Modern Applications
| volume = 1
Baris 223 ⟶ 299:
| publisher = [[Prentice Hall]]
| isbn = 9780130143297
| access-date = 20 November 2023
| archive-date = 7 Oktober 2023
| archive-url = https://web.archive.org/web/20231007033627/https://books.google.com/books?id=EZEoAAAAYAAJ&pg=PA414
|
}}</ref>
<ref name="pisanski">{{cite book
| last1 = Pisanski
| first1 = Tomaž | last2 = Servatius
| first2 = Brigitte | title = Configuration from a Graphical Viewpoint
| year = 2013
Baris 256 ⟶ 316:
| isbn = 978-0-8176-8363-4
| doi = 10.1007/978-0-8176-8364-1
| access-date = 20 November 2023
| archive-date = 17 November 2023
| archive-url = https://web.archive.org/web/20231117151235/https://books.google.com/books?id=3vnEcMCx0HkC&pg=PA21
| dead-url = no
}}</ref>
<ref name="rajwade">{{cite book
| last = Rajwade
| first = A. R. | title = Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem
| series = Texts and Readings in Mathematics
Baris 264 ⟶ 329:
| url = https://books.google.com/books?id=afJdDwAAQBAJ&pg=PA84
| publisher = Hindustan Book Agency
| pages = 84–
| isbn = 978-93-86279-06-4
| doi = 10.1007/978-93-86279-06-4
| access-date = 20 November 2023
| archive-date = 7 Oktober 2023
| archive-url = https://web.archive.org/web/20231007033630/https://books.google.com/books?id=afJdDwAAQBAJ&pg=PA84
| dead-url = no
}} Lihat Tabel 12.3. Lambang <math> P_n </math> merepresentasikan prisma {{nowrap|segi-<math>n</math>}} dan <math> A_n </math> merepresentasikan antiprisma {{nowrap|segi-<math>n</math>}}.</ref>
<ref name="rossi">{{cite book
| last = Rossi | first = Corinna | author-link = Corinna Rossi
Baris 275 ⟶ 344:
| pages = 67–68
| url = https://archive.org/details/architechture-and-mathematics-in-ancient-egypt-corianna-rossi-2003/page/67/
| quote = there is no direct evidence in any ancient Egyptian written mathematical source of any arithmetic calculation or geometrical construction which could be classified as the Golden Section ...
}}; lihat pula pembahasan lebih lanjut mengenai banyaknya teori-teori alternatif tentang bentuk bangunan dan arsitektur bangsa Mesir, hlm. 7–56
</ref>
Baris 292 ⟶ 361:
}}</ref>
<ref name="simonson">{{cite book
| last = Simonson
| first = Shai | title = Rediscovering Mathematics: You Do the Math
| year = 2011
Baris 299 ⟶ 369:
| publisher = [[Mathematical Association of America]]
| isbn = 978-0-88385-912-4
| access-date = 20 November 2023
| archive-date = 7 Oktober 2023
| archive-url = https://web.archive.org/web/20231007033617/https://books.google.com/books?id=56Mlw0ick2YC&pg=PA154
| dead-url = no
}}</ref>
<ref name="smith">{{cite book
| last = Smith
| first = James T. | title = Methods of Geometry
| year = 2000
Baris 308 ⟶ 383:
| page = 98
| isbn = 0-471-25183-6
| access-date = 20 November 2023
| archive-date = 5 Oktober 2023
| archive-url = https://web.archive.org/web/20231005155233/https://books.google.com/books?id=B0khWEZmOlwC&pg=PA98
| dead-url = no
}}</ref>
<ref name="smg">{{cite journal
| last1 = Slobodan
| first1 = Mišić | last2 = Obradović
| first2 = Marija | last3 = Ðukanović
| first3 = Gordana | title = Composite Concave Cupolae as Geometric and Architectural Forms
| year = 2015
Baris 320 ⟶ 402:
| pages = 79–91
| url = https://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg19/j19h1misi.pdf
| access-date = 20 November 2023
| archive-date = 21 Oktober 2023
| archive-url = https://web.archive.org/web/20231021161030/https://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg19/j19h1misi.pdf
| dead-url = no
}}</ref>
<ref name="tc">{{cite book
| last1 = Takacs
| first1 = Sarolta Anna | last2 = Cline
| first2 = Eric H. | year = 2015
| title = The Ancient World
Baris 330 ⟶ 418:
| page = 16
| url = https://books.google.com/books?id=SPcvCgAAQBAJ&pg=PA16
| access-date = 20 November 2023
| archive-date = 17 November 2023
| archive-url = https://web.archive.org/web/20231117151743/https://books.google.com/books?id=SPcvCgAAQBAJ&pg=PA16
| dead-url = no
}}</ref>
<ref name="ts">{{cite book
| last = | first =
| year = 2020
| title = Buku Ajar Geometri dan Pengukuran Berbasis Pendekatan Saintifik
| url = books.google.com/books?id=w2sYEAAAQBAJ&pg=PA127
| publisher = Bening Media
}}</ref>
<ref name="uehara">{{cite book
| last = Uehara
| first = Ryuhei | year = 2020
| title = Introduction to Computational Origami: The World of New Computational Geometry
Baris 340 ⟶ 440:
| isbn = 978-981-15-4470-5
| doi = 10.1007/978-981-15-4470-5
| access-date = 20 November 2023
| archive-date = 7 Oktober 2023
| archive-url = https://web.archive.org/web/20231007111721/https://books.google.com/books?id=51juDwAAQBAJ&pg=PA62
| dead-url = no
}}</ref>
<ref name="ug">{{cite book
| last1 = Usiskin | first1 = Zalman
| last2 = Griffin | first2 = Jeniffer
| year = 2008
| title = The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition
| url = https://books.google.com/books?id=ff0nDwAAQBAJ&pg=PA59
| publisher = Information Age Publishing
| page = 59
}}</ref>
<ref name="wagner">{{cite journal
Baris 352 ⟶ 465:
}}</ref>
<ref name="wohlleben">{{cite conference
| last = Wohlleben
| first = Eva | editor-last = Cocchiarella
| editor-first = Luigi | year = 2019
| contribution = Duality in Non-Polyhedral Bodies Part I: Polyliner
Baris 362 ⟶ 477:
| isbn = 978-3-319-95588-9
| doi = 10.1007/978-3-319-95588-9
| access-date = 20 November 2023
| archive-date = 3 November 2023
| archive-url = https://web.archive.org/web/20231103095103/https://books.google.com/books?id=rEpjDwAAQBAJ&pg=PA485
| dead-url = no
}}</ref>
<!--<ref name="trigg">{{cite journal
Baris 397 ⟶ 516:
== Pranala luar ==
{{Commons category}}
* {{MathWorld2|urlname=SquarePyramid|title=Square pyramid|urlname2=JohnsonSolid|title2=Johnson solid}}
* {{MathWorld|urlname=WheelGraph|title=Wheel graph}}
Baris 403 ⟶ 523:
[[Kategori:Bangun ruang Johnson]]
[[Kategori:Piramida dan bipiramida]]
[[Kategori:Polihedra prismatoid]]
|