Wikipedia

Pi: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Alex Neman (bicara | kontrib)
14.792 suntingan
kTidak ada ringkasan suntingan
Kim Nansa (bicara | kontrib)
3.383 suntingan
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan.
 
(10 revisi perantara oleh 8 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{untuk|singkatan pusat perbelanjaan di Jakarta Pusat|Plaza Indonesia}}
[[Berkas:Pi-CM.svg|ka|jmpl|200px|Simbol '''Pi''', π.]]{{Pi (konstanta matematika)}}
Bilangan '''{{pi}}''' (kadang{{IPAc-kadangen|p|aɪ}}; ditulisdieja "'''pi'''") adalah sebuah [[konstanta matematika]] dalamyang merepresentasikan [[matematikarasio]] yangantara merupakan perbandingan[[Keliling lingkaran|keliling]] sebuah [[lingkaran]] dengan [[diameterDiameter|diameternya]]nya. Nilai {{pi}} dalamsecara 20 tempat desimalmendekati adalah 3,1415926535897932384614159. BanyakSebagai rumusbilangan dalamyang [[matematika]]istimewa, sains,{{pi}} danbanyak [[teknik]]digunakan yangdalam menggunakanberbagai π,bidang yangilmu menjadikannya salah satu dariseperti [[konstanta matematika]] yangdan penting[[fisika]]. {{pi}} adalahdikenal sebagai [[bilangan irasional]], yangartinya berartibilangan nilai πini tidak dapat dinyatakan dalamsecara persis sebagai perbandingan pembagiandua [[bilangan bulat]]. (biasanyaMeskipun demikian, bilangan pecahan sederhana seperti <math>\tfrac{22/}{7}</math> sering [[Perkiraan π|digunakan sebagaiuntuk mendekati nilai pendekatanπ]]. Keunikan {{pi}}; namunjuga sebenarnyaterletak tiadapada satupun[[Representasi pecahandesimal|desimalnya]] yang dapattak mewakilipernah nilaiberakhir yangdan sama[[Desimal persisberulang|tidak denganmemiliki pola berulang]]. Selain itu, {{pi}}.) Oleh karena itu pula,merupakan [[representasibilangan desimaltransenden]]. Hal ini berarti bahwa {{pi}} tidak akandapat pernahmenjadi berakhirsolusi dandari tidak[[persamaan]] akanpolinomial pernahapapun memilikidengan polakoefisien angkabilangan tertentubulat. yangSifat permanen.transendental Digit-digitini desimalmenjelaskan {{pi}}mengapa tampaknyamasalah terdistribusikankuno secara[[Mempersegikan acak,lingkaran|mengkuadratkan walaupunlingkaran]] sampaimenggunakan sekarang[[Lukisan haljangka inidan masihmistar|jangka belumdan penggaris]] tidak mungkin dibuktikandiselesaikan. Digit desimal bilangan π tampaknya [[Urutan acak|terdistribusi secara acak]].{{efn|In particular, {{pi}} adalahis conjectured to be a [[bilangannormal transendennumber]]tal, yakniwhich bilanganimplies yanga bukanspecific akarkind dariof polinom-polinomstatistical bukanrandomness nolon manapunits yangdigits memilikiin koefisienall rasionalbases. Transendensi {{pi}} memilikiMeskipun implikasidemikian, padahingga ketidakmungkinansaat teka-tekiini matematikabelum kunoada "[[mengkuardatkan lingkaranKonjektur|mengkuadratkanpembuktian lingkaranmatematis]] denganyang hanyamendukung menggunakan jangka dan penggaris" untuk dapatanggapan dipecahkantersebut.
 
Sejak ribuan tahun silam, para matematikawan dari berbagai peradaban telah mempelajari {{pi}}. Bangsa [[Matematika Mesir|Mesir]] dan [[Matematika Babilonia|Babilonia kuno]], {{pi}} digunakan dalam perhitungan praktis. Sekitar tahun 250 SM, [[Archimedes]] dari [[Matematika Yunani|Yunani]] memperkenalkan algoritma untuk menghitung nilai {{pi}} dengan presisi tinggi. Pada abad ke-5 M, [[Matematika Tiongkok|matematikawan Tiongkok]] berhasil mendekati nilai {{pi}} hingga tujuh angka desimal, sementara [[Matematika India|matematikawan India]] mencapai lima angka desimal, keduanya menggunakan metode geometris. Ribuan tahun kemudian, penemuan [[Deret (matematika)|deret tak hingga]] untuk menghitung {{pi}} membuka babak baru dalam pemahaman nilai ini.{{sfn|Andrews|Askey|Roy|1999|p=59}}<ref>{{Cite journal|last=Gupta|first=R. C.|year=1992|title=On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series|journal=Ganita Bharati|volume=14|issue=1–4|pages=68–71}}</ref> Simbol Yunani [[Pi (huruf Yunani)|π]] pertama kali digunakan oleh [[William Jones (matematikawan)|William Jones]] pada tahun 1706.<ref name="jones">{{cite book|last=Jones|first=William|year=1706|url=https://archive.org/details/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/page/n283/|title=Synopsis Palmariorum Matheseos|place=London|publisher=J. Wale|pages=[https://archive.org/details/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/page/n261/ 243], [https://archive.org/details/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/page/n283/ 263]|quote=There are various other ways of finding the ''Lengths'', or ''Areas'' of particular ''Curve Lines'' or ''Planes'', which may very much facilitate the Practice; as for instance, in the ''Circle'', the Diameter is to Circumference as 1 to {{br}}<math>
Selama beribu-ribu tahun, matematikawan telah berusaha untuk memperluas pemahaman akan bilangan {{pi}}. Hal ini kadang-kadang dilakukan dengan menghitung nilai bilangan {{pi}} hingga keakurasian yang sangat tinggi. Sebelum abad ke-15, para matematikawan seperti [[Archimedes]] dan [[Liu Hui]] menggunakan teknik-teknik geometris yang didasarkan pada poligon untuk memperkirakan nilai {{pi}}. Mulai abad ke-15, algoritme baru yang didasarkan pada [[deret tak terhingga]] merevolusi perhitungan nilai {{pi}}. Cara ini digunakan oleh berbagai matematikawan seperti [[Madhava dari Sangamagrama]], [[Isaac Newton]], [[Leonhard Euler]], [[Carl Friedrich Gauss]], dan [[Srinivasa Ramanujan]].
\overline{\tfrac{16}5 - \tfrac4{239}}
- \tfrac13\overline{\tfrac{16}{5^3} - \tfrac4{239^3}}
+ \tfrac15\overline{\tfrac{16}{5^5} - \tfrac4{239^5}}
-,\, \&c. =</math>{{br}}{{math|1=3.14159, &''c.'' = ''π''}}. This ''Series'' (among others for the same purpose, and drawn from the same Principle) I receiv'd from the Excellent Analyst, and my much Esteem'd Friend Mr. ''[[John Machin]]''; and by means thereof, ''[[Ludolph van Ceulen|Van Ceulen]]''{{'}}s Number, or that in Art. 64.38. may be Examin'd with all desireable Ease and Dispatch.|author-link=William Jones (mathematician)|quote-page=263}}
 
Reprinted in {{cite book|last=Smith|first=David Eugene|year=1929|title=A Source Book in Mathematics|publisher=McGraw–Hill|pages=346–347|chapter=William Jones: The First Use of {{mvar|π}} for the Circle Ratio|chapter-url=https://archive.org/details/sourcebookinmath1929smit/page/346/}}</ref>
Pada abad ke-20 dan ke-21, para matematikawan dan ilmuan komputer menemukan pendekatan baru yang apabila digabungkan dengan daya komputasi komputer yang tinggi, mampu memperpanjang representasi desimal {{pi}} sampai dengan lebih 10 triliun (10<sup>13</sup>) digit.<ref name="NW"/> Penerapan bilangan {{pi}} dalam bidang sains pada umumnya tidak memerlukan lebih dari beberapa ratus digit desimal {{pi}} dan bahkan kurang. Motivasi utama penghitungan ini adalah menemukan algoritme yang lebih efisien untuk menghitung rangkaian bilangan panjang sekaligus memecahkan rekor.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=17}}</ref><ref>{{cite journal|first1=David |last1=Bailey |first2=Jonathan |last2=Borwein |first3=Peter |last3=Borwein |first4=Simon |last4=Plouffe |title=The Quest for Pi|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_winter-1997_19_1/page/50 |journal=The Mathematical Intelligencer|year=1997|volume=19|issue=1|pages=50–56|doi=10.1007/bf03024340|citeseerx=10.1.1.138.7085}}</ref> Perhitungan ekstensif seperti ini juga digunakan untuk menguji kemampuan [[superkomputer]] dan [[algoritme]] perkalian presisi tinggi. Pada tahun [[1973]], manusia berhasil menemukan 1 juta digit desimal dari π.
 
Penemuan [[kalkulus]] pada abad ke-17 memberikan langkah penting dalam penghitungan bilangan {{pi}} hingga ratusan digit, cukup untuk keperluan ilmiah praktis pada masanya. Namun, pada abad ke-20 dan ke-21, ahli matematika dan [[Ilmu komputer|ilmuwan komputer]] mengembangkan metode baru dengan memanfaatkan peningkatan daya komputasi dan berhasil memperluas representasi desimal {{pi}} hingga triliunan digit.<ref>{{cite web|title=π<sup>e</sup> trillion digits of π|url=http://www.pi2e.ch/|website=pi2e.ch|archive-url=https://web.archive.org/web/20161206063441/http://www.pi2e.ch/|archive-date=6 December 2016|url-status=live}} <!-- – the exact number of digits increases periodically – it should not be included in this article by citing only a [[WP:PRIMARY|primary reference source]]. --></ref><ref>{{Cite web|last=Haruka Iwao|first=Emma|author-link=Emma Haruka Iwao|date=14 March 2019|title=Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes' constant on Google Cloud|url=https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-31-4-trillion-digits-of-archimedes-constant-on-google-cloud|website=[[Google Cloud Platform]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20191019023120/https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-31-4-trillion-digits-of-archimedes-constant-on-google-cloud|archive-date=19 October 2019|access-date=12 April 2019|url-status=live}}</ref> Motivasi di balik pencapaian ini melibatkan pengembangan algoritma yang efisien untuk menghitung deret numerik, sekaligus memenuhi ambisi manusia untuk mencetak rekor baru.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=17}}<ref>{{cite journal|last1=Bailey|first1=David H.|last2=Plouffe|first2=Simon M.|last3=Borwein|first3=Peter B.|last4=Borwein|first4=Jonathan M.|year=1997|title=The quest for PI|journal=[[The Mathematical Intelligencer]]|volume=19|issue=1|pages=50–56|doi=10.1007/BF03024340|issn=0343-6993|citeseerx=10.1.1.138.7085|s2cid=14318695}}</ref> Perhitungan masif ini juga digunakan untuk menguji kinerja [[superkomputer]] dan perangkat keras komputer konsumen.
Karena definisi {{pi}} berhubungan dengan lingkaran, maka pi banyak ditemukan dalam rumus-rumus [[trigonometri]] dan [[geometri]], terutama yang menyangkut lingkaran, elips, dan bola. {{pi}} juga ditemukan pada rumus-rumus bidang ilmu lainnya seperti [[kosmologi]], [[teori bilangan]], [[statistika]], [[fraktal]], [[termodinamika]], [[mekanika]], dan [[elektromagnetisme]]. Keberadaan {{pi}} yang sangat umum menjadikannya sebagai salah satu konstanta matematika yang paling luas dikenal, baik di dalam maupuan di luar kalangan ilmuwan. Hal ini dibuktikan dari beberapa penerbitan buku yang membahas bilangan ini, perayaan [[hari Pi]], dan pemberitaan-pemberitaan yang luas di mana perhitungan digit {{pi}} berhasil memecahkan rekor perhitungan. Beberapa orang bahkan dengan kerasnya berusaha menghafal nilai bilangan {{pi}} dengan rekor 70.030 digit (Suresh Kumar Sharma, India).
 
Sebagai konstanta yang mendasari lingkaran, {{pi}} banyak muncul dalam rumus matematika, fisika, dan teknik, terutama dalam [[trigonometri]] and [[geometri]]. Misalnya, rumus untuk luas lingkaran dan volume bola merupakan aplikasi fundamental. Bilangan ini juga berperan dalam bidang ilmu lain, seperti [[kosmologi]], [[fraktal]], [[termodinamika]], [[mekanika]], dan [[elektromagnetisme]]. Lebih jauh lagi, {{pi}} muncul dalam cabang ilmu yang tampaknya tidak berhubungan dengan geometri, seperti [[teori bilangan]] dan [[statistika]]. Dalam [[Mathematical analysis|analisis matematika]] modern, {{pi}} bahkan dapat didefinisikan tanpa referensi langsung terhadap geometri. {{pi}} adalah salah satu konstanta matematika paling terkenal, baik di dalam maupun di luar komunitas ilmu pengetahuan. Buku-buku yang mengupas tentang bilangan ini banyak diterbitkan, dan penghitungan rekornya sering menjadi berita utama.
 
{{TOC limit|limit=3}}
 
== Tinjauan dasar ==
=== Nama ===
Simbol yang digunakan oleh para matematikawan untuk mewakilkan rasio keliling suatu lingkaran terhadap diameternya adalah [[alfabet Yunani|huruf Yunani]] "{{pi}}". Huruf tersebut dapat dituliskan sebagi ''pi'' menggunakan huruf latin.<ref>{{cite journal|last=Holton|first=David|last2=Mackridge|first2=Peter|title=Greek: an Essential Grammar of the Modern Language|publisher=Routledge|year=2004 |isbn=0-415-23210-4|ref=harv}}, p. xi.</ref> Huruf kecil {{pi}} (atau π dalam gaya huruf [[sans-serif]]) berbeda dengan huruf besar {{PI}}<math>\Pi</math>, yang mewakili [[perkalian barisan]].
 
Pemilihan simbol π didiskusikan pada bagian [[Pi#Penggunaan simbol .CF.80|Penggunaan simbol π]]
Baris 19 ⟶ 27:
{{pi}} umumnya didefinisikan sebagai [[rasio]] [[keliling]] [[lingkaran]] {{math|''C''}} dengan [[diameter]]nya {{math|''d''}}:<ref name="Arndt">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=8}}</ref>
:<math> \pi = \frac{C}{d}</math>
Rasio {{math|''C''/''d''}} bernilai konstan tak tergantung pada ukuran lingkaran. Contohnya, jika suatu lingkaran memiliki diameter dua kali lipat daripada lingkaran lainnya, ia juga akan memiliki keliling yang dua kali lipat lebih besar, sehingganya nilai rasio {{math|''C''/''d''}} akan tetap sama. Definisi {{pi}} seperti ini secara implisit menggunakan [[geometri Euklides]]. Walaupun gagasan akan lingkaran juga dapat diperluas ke dalam [[geometri non-Euklides]], namun lingkaran yang baru ini tidak akan lagi memenuhi rumus {{math|{{pi}} {{=}} ''C''/''d''}}.<ref name="Arndt" /> Terdapat pula definisi {{pi}} lainnya yang tidak menyebut-nyebut lingkaran sama sekali, yakni: {{pi}} adalah bilangan yang bernilai dua kali lipat dari bilangan positif terkecil {{math|''x''}} yang mana {{math|[[Kosinus|cos]](''x'')}} sama dengan 0.<ref name="Arndt" /><ref>{{cite book|last=Rudin|first=Walter|title=Principles of Mathematical Analysis|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=0-07-054235-X|ref=harv}}, p 183.</ref>
 
=== Ciri-ciri ===
Baris 65 ⟶ 73:
: <math>e^{i \pi} + 1 = 0</math>.
 
Sebanyak <math>n</math> [[bilangan kompleks]] <math>z</math> yang berbeda dalam persamaan <math>z^n = 1</math>, disebut "[[akar persatuansatuan]] ({{Lang-en|root of unity}}) kepangkat-<math>n</math>".<ref>{{MathWorld|RootofUnity|Roots of Unity}}</ref> Rumus di atas dinyatakan dalam persamaan:
 
: <math>e^\frac{2 \pi i k}{n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1)</math>.
Baris 325 ⟶ 333:
=== Mengingat digit ===
{{Main|Pifilologi}}
Banyak orang telah mengingat sejumlah besar digit angka {{pi}}, suatu praktik yang disebut [[pifilologi]].<ref name="A445">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=44–45}}</ref> Satu teknik umum untuk mengingat adalah melalui cerita atau puisi yang mana panjang kata-kata mewakili angka digit {{pi}}: Kata pertama terdiri dari tiga huruf, kata kedua memiliki satu huruf, kata ketiga empat huruf, kata keempat satu huruf, kata kelima lima huruf, dan seterusnya. Contoh awal cara mengingat, diprakarsai oleh ilmuwan Inggris [[James Hopwood Jeans|James Jeans]], adalah ''How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics''.<ref name="A445" /> Ketika sebuah puisi (''poem'') digunakan, itu terkadang dirujuk sebagai ''piem''. Puisi untuk mengingat {{pi}} telah digubah dalam beberapa bahasa selain [[bahasa Inggris]].<ref name="A445" />
 
Rekor mengingat digit {{pi}}, yang dicatat oleh ''[[Guinness World Records]]'', adalah 70.000 digit, dibacakan di India oleh Rajveer Meena selama 9 jam 27 menit pada tanggal 21 Maret 2015.<ref>[http://www.guinnessworldrecords.com/world-records/most-pi-places-memorised "Most Pi Places Memorized"], Guinness World Records.</ref> Pada tahun 2006, [[Akira Haraguchi]], seorang pensiunan insinyur [[Jepang]], mengklaim telah membacakan 100.000 desimal {{pi}}, tetapi klaim tersebut tidak diverifikasi oleh ''Guinness World Records''.<ref name="japantimes">{{cite news|first=Tomoko|last=Otake|url=<!-- http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf -->http://www.japantimes.co.jp/life/2006/12/17/life/how-can-anyone-remember-100000-numbers/|title=How can anyone remember 100,000 numbers?|work=[[The Japan Times]]|date=17 Desember 2006|accessdate=27 Oktober 2007}}</ref> Peraturan rekor pengingat {{pi}} biasanya tidak berdasarkan puisi, tetapi malahan menggunakan metode semacam mengingat pola angka dan [[metode loci]].<ref>{{cite journal|last1=Raz|first1=A.|last2=Packard|first2=M. G.|year=2009|title=A slice of pi: An exploratory neuroimaging study of digit encoding and retrieval in a superior memorist|journal=Neurocase|volume=15|pages=361–372|ref=harv|doi=10.1080/13554790902776896|pmid=19585350}}</ref>
 
Beberapa penulis telah menggunakan digit {{pi}} sebagai dasar bentuk baru [[tulisan terbatas]] ({{lang-en|constrained writing}}), di mana diperlukan panjang kata yang mereprentasikan digit {{pi}}. ''[[Cadaeic Cadenza]]'' mengandung 3.835 digit pertama {{pi}},<ref>{{cite web|first=Mike|last=Keith|authorlink=Mike Keith (mathematician)|url=http://www.cadaeic.net/comments.htm|title=Cadaeic Cadenza Notes & Commentary|accessdate=29 July 2009}}</ref> dan satu buku penuh berjudul ''Not a Wake'' mengandung 10.000 kata, yang masing-masing mereprentasikan satu digit {{pi}}.<ref name=KeithNAW>{{cite book|last=Keith|first=Michael|title=Not A Wake: A dream embodying (pi)'s digits fully for 10000 decimals|publisher=Vinculum Press|isbn=978-0963009715|author2=Diana Keith|date=February 17, 2010}}</ref>
Baris 349 ⟶ 357:
* {{cite book|last=Beckmann|first=Peter|title=History of Pi|url=https://archive.org/details/historyofpisymbo00beck|publisher=St. Martin's Press|year=1989|origyear=1974|isbn=978-0-88029-418-8|ref=harv}}
* {{cite book|last=Borwein|first=Jonathan|author1-link=|last2=Borwein|first2=Peter|author2-link=|title=Pi and the AGM: a Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity|publisher=Wiley|year=1987|isbn=978-0-471-31515-5|ref=harv}}
* {{cite book|last=Boyer|first=Carl B.|last2=Merzbach|first2=Uta C.|year=1991|title=A History of Mathematics|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye|edition=2|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-54397-8|ref=harv}}<!-- Year from ISBN. Original citatation was just to Boyer. Possible that edition is wrong and therefore page is wrong. Editions: Boyer 1968, Boyer/Merzbach 1989, Boyer/Merzbach 1991, Merzbach/Boyer 2010, Merzbach/Boyer 2011. Verify second: Hui and 3072-sided polygon is on cited page 202 of 1991 edition; page 228 of 1968 edition. Google snippet has a hit for 3.1456 on page 168 for 1991, but does not show the number. -->
* {{cite book|last=Bronshteĭn|first=Ilia|last2=Semendiaev|first2=K. A.|title=A Guide Book to Mathematics|publisher=H. Deutsch|year=1971|isbn= 978-3-871-44095-3|ref=harv}}
* {{cite book|last=Eymard, Pierre, Lafon, Jean Pierre|year=1999|title=The Number Pi|url=https://archive.org/details/numberpi0000eyma|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-3246-2|ref=harv}}, English translation by Stephen Wilson.
* {{cite book|last=Joseph|first=George Gheverghese|title=The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics|publisher=Princeton University Press|year=1991|isbn=978-0-691-13526-7|url=http://books.google.com/?id=c-xT0KNJp0cC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false%7C|ref=harv|accessdate=2013-06-05}}<!-- This ISBN is for the third edition from 2011! -->
* {{cite book|last=Posamentier|first=Alfred S.|last2=Lehmann|first2=Ingmar|title=Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number|url=https://archive.org/details/pi00alfr_0|publisher=Prometheus Books|year=2004|isbn=978-1-59102-200-8|ref=harv}}
* {{cite journal|last=Reitwiesner|first=George|title=An ENIAC Determination of pi and e to 2000 Decimal Places|journal=Mathematical Tables and Other Aids to Computation|year=1950|volume=4|issue= 29|pages=11–15|doi=10.2307/2002695|ref=harv }}
* {{cite journal|last=Roy|first=Ranjan|title=The Discovery of the Series Formula for pi by Leibniz, Gregory, and Nilakantha|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1990-12_63_5/page/291|journal=Mathematics Magazine|volume=63|issue= 5|year=1990|pages=291–306|doi=10.2307/2690896|ref=harv }}
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Pi"