Kurva: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler |
||
| (89 revisi perantara oleh 33 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Parabola.svg|ka|jmpl|[[Parabola|Kurva parabola]] merupakan salah satu kurva yang paling sederhana.]]
Dalam
Secara intuitif, kurva dapat dipandang sebagai jejak yang ditinggalkan oleh titik bergerak. Pandangan tersebut merupakan definisi yang muncul lebih dari 2000 tahun yang lalu dalam karya Euklides, [[Elemen Euclid|''Elements'']]: "Garis [melengkung]{{efn|Garis dalam penggunaan matematika saat ini berupa lurus. Sebelumnya, garis dapat berupa melengkung atau lurus.}} adalah [...] spesies kuantitas pertama yang hanya memiliki satu dimensi, yaitu panjang, tanpa adanya lebar atau kedalaman. Garis ini tidak lain merupakan aliran atau lintasan titik yang [...] akan ditinggalkan dari khayalannya yang kemudian memindahkan bekas-bekasnya di panjang, tetapi lebar dikecualikan."<ref>Dalam bahasa Prancis (yang agak tua) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude." Halaman 7 dan 8 dari ''Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions'', oleh Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).</ref>
[[Kategori:Matematika]]▼
Definisi kurva ini telah diformalkan dalam matematika modern, yang berbunyi bahwa suatu kurva merupakan [[Bayangan (matematika)|bayangan fungsi]] dari suatu [[Interval (matematika)|interval]] ke [[ruang topologi]] yang didasari pada [[fungsi kontinu]]. Dalam beberapa konteks, fungsi yang mendefinisikan kurva disebut parametrisasi (''parametrization''), dan kurva itu adalah [[kurva parametrik]]. Dalam artikel ini, kurva ini kadang-kadang disebut ''kurva'' ''topologi''; istilah tersebut dipakai untuk membedakan kurva yang lebih terbatas, seperti kurva terdiferensialkan (''differentiable curve''). Definisi ini mencakup sebagian besar kurva yang dipelajari dalam matematika, kecuali [[Himpunan level|kurva level]] (yang merupakan gabungan dari kurva dan titik yang terisolasi), dan [[kurva aljabar]]. Kurva level dan kurva aljabar kadang-kadang disebut [[kurva implisit]], karena kedua kurva tersebut biasanya didefinisikan oleh [[persamaan implisit]].
Walaupun demikian, kelas kurva topologi sangatlah luas. Kelas tersebut memiliki beberapa kurva yang tidak tampak seperti kurva, atau bahkan tidak dapat digambarkan. Kasus tersebut dapat ditemukan seperti [[kurva pengisi ruang]] (''space-filing curve'') dan [[kurva fraktal]]. Supaya memastikannya, fungsi yang mendefinisikan suatu kurva sering kali dianggap [[Fungsi terdiferensialkan|terdiferensialkan]], dan kurva tersebut kemudian dikatakan [[kurva terdiferensialkan]].
== Sejarah ==
[[Berkas:Newgrange_Entrance_Stone.jpg|jmpl|225x225px|[[Seni megalitik]] dari Newgrange menunjukkan minat awal pada kurva]]
Ketertarikan pada kurva dimulai jauh sebelum menjadikannya sebagai kajian matematika. Hal tersebut dapat ditunjukkan dalam banyak contoh kegunaan dekoratifnya dalam seni, serta pada benda sehari-hari yang dibuat sejak zaman prasejarah.<ref name="Lockwood">Lockwood p. ix</ref> Kurva, atau setidaknya representasi grafisnya, sangat mudah digambarkan, misalnya dengan menggunakan tongkat di pasir pantai.
Menurut sejarah, istilah ''garis'' digunakan sebagai pengganti istilah ''kurva'' yang lebih modern. Oleh karena itu, istilah ''garis lurus'' dan ''garis siku-siku'' digunakan untuk membedakan istilah yang saat ini dikenal dengan sebutan garis dari garis lengkung. Sebagai contoh, definisi kedua dalam karya Euklides, [[Elemen Euklides|''Elements'']] mengatakan bahwa suatu garis didefinisikan sebagai "panjang tanpa mempunyai lebar". Sementara itu, definisi keempat dalam karya yang sama mengatakan bahwa garis ''lurus'' didefinisikan sebagai "garis yang terletak secara merata dengan titik-titik pada dirinya sendiri". Gagasan Euklides tentang garis kemungkinan dijelaskan lebih lanjut dalam pernyataan definisi ketiga, "ekstremitas dari suatu garis adalah titik."
== Kurva topologi ==
Suatu '''kurva topologi''' dapat dinyatakan dengan suatu [[Fungsi kontinu (topologi)|fungsi kontinu]] <math>\gamma \colon I \rightarrow X</math> yang memetakan dari [[Interval (matematika)|interval]] {{mvar|I}} dari [[bilangan real]] ke [[ruang topologi]] {{mvar|X}}. Kurva merupakan [[Bayangan (matematika)|bayangan]] dari <math>\gamma</math>. Akan tetapi, <math>\gamma</math> tersendiri dalam beberapa konteks merupakan suatu kurva, terlebih ketika bayangan tidak tampak terlihat seperti kurva dan tidak sepenuhnya menggambarkan <math>\gamma.</math> Sebagai contoh, bayangan dari [[kurva Peano]], atau lebih umumnya [[kurva pengisi ruang]] (''space-filling curve'') yang mengisi sebuah persegi sepenuhnya, tetapi tidak memberikan penjelasan bagaimana <math>\gamma</math> didefinisikan.
Suatu kurva <math>\gamma</math> '''tertutup''' atau ''[[Loop (topologi)|loop]]'' apabila <math>I = [a,
b]</math> dan <math>\gamma(a) = \gamma(b)</math>. Dengan demikian, suatu kurva tertutup merupakan bayangan dari suatu pemetaan kontinu [[lingkaran]]. Jika [[Domain fungsi|daerah asal]] dari kurva topologi adalah tertutup dan interval <math>I = [a,
b]</math> adalah terbatas, kurva dapat dikatakan suatu [[Lintasan (topologi)|lintasan]] (''path'') atau disebut juga busur (''arc'').
{{anchor|Kurva Jordan}}Suatu kurva tertutup sederhana di bidang disebut '''kurva''' '''Jordan'''. Kurva Jordan juga didefinisikan sebagai ''loop'' kontinu yang tidak saling berpotongan di bidang.<ref>{{Cite book|last=Sulovský|first=Marek|date=2012|url=https://books.google.com/books?id=0Q9mbXCQRyoC&pg=PA7|title=Depth, Crossings and Conflicts in Discrete Geometry|publisher=Logos Verlag Berlin GmbH|isbn=9783832531195|page=7|language=en}}</ref> [[Teorema kurva Jordan]] mengatakan bahwa [[Komplemen (teori himpunan)|komplemen]] di suatu bidang kurva Jordan terdiri dari dua buah [[Ruang komponen terhubung (topologi)|ruang komponen terhubung]], dalam artian kurva tersebut membagi bidang menjadi dua daerah yang tidak saling berpotongan dan saling terhubung.
== Kurva terdiferensialkan ==
Dalam bahasa kasarnya, kurva terdiferensialkan (''differentiable curve'') adalah kurva yang didefinisikan sebagai bayangan fungsi yang terdiferensialkan secara lokal <math>\gamma \colon I \rightarrow X</math> yang dipetakan dari suatu interval <math>I</math> dari bilangan real ke manifold terdiferensialkan {{mvar|X}}. Ini sering kali dinyatakan <math>\mathbb{R}^n.</math>
=== Panjang kurva ===
Jika <math> X = \mathbb{R}^{n} </math> adalah [[ruang Euklides]] berdimensi-<math> n </math>, dan jika <math> \gamma: [a,b] \to \mathbb{R}^{n} </math> adalah [[fungsi injektif]] dan terdiferensialkan secara kontinu, maka panjang dari <math> \gamma </math> didefinisikan sebagai<math display="block">
\operatorname{panjang}(\gamma) ~ \stackrel{\text{df}}{=} ~ \int_{a}^{b} |\gamma\,'(t)| ~ {dt}.
</math>
Panjang kurva tidak bergantung pada parameterisasi <math> \gamma </math>. Secara khusus, panjang <math> s </math> dari [[grafik fungsi]] yang terdiferensialkan secara kontinu <math> y = f(x) </math> yang didefinisikan pada interval tertutup <math> [a,b] </math> dirumuskan sebagai<math display="block">
s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}} ~ {dx}.
</math>
Lebih umum, jika <math> X </math> adalah [[ruang metrik]] dengan metrik <math> d </math>, maka panjang kurva <math> \gamma: [a,b] \to X </math> dapat didefinisikan dengan<math display="block">
\operatorname{panjang}(\gamma)
~ \stackrel{\text{df}}{=} ~
\sup \!
\left( \left\{
\sum_{i = 1}^{n} d(\gamma(t_{i}),\gamma(t_{i - 1})) ~ \Bigg| ~ n \in \mathbb{N} ~ \text{dan} ~ a = t_{0} < t_{1} < \ldots < t_{n} = b
\right\} \right).
</math>Pada definisi di atas, supremum mengambil alih semua <math> n </math> suatu bilangan asli dan semua partisi <math> t_{0} < t_{1} < \ldots < t_{n} </math> dari <math> [a, b] </math>.
Kurva berpanjang (''rectifiable curve'') adalah kurva dengan panjangnya yang terbatas. Kurva <math> \gamma: [a,b] \to X </math> disebut ''natural'' (atau satuan kecepatan parametrisasi berdasarkan panjang busur) jika ada <math> t_{1} </math> dan <math>t_{2}</math> di <math>[a,b]</math> sehingga <math> t_{1} \leq t_{2} </math>. Oleh karena itu, dipunyailah<math display="block">
\operatorname{panjang} \! \left( \gamma|_{[t_{1},t_{2}]} \right) = t_{2} - t_{1}.
</math>
Jika <math> \gamma: [a,b] \to X </math> adalah fungsi [[Kontinuitas Lipschitz|kontinu Lipschitz]], maka fungsi tersebut secara langsung ''rectifiable'' (berkepanjangan). Selain itu, kecepatan (atau turunan metrik) dari <math> \gamma </math> pada <math> t \in [a,b] </math> dapat ditentukan sebagai<math display="block">
{\operatorname{kecepatan}_{\gamma}}(t) ~ \stackrel{\text{df}}{=} ~ \limsup_{[a,b] \ni s \to t} \frac{d(\gamma(s),\gamma(t))}{|s - t|}
</math>dan kemudian diperlihatkan bahwa<math display="block">
\operatorname{panjang}(\gamma) = \int_{a}^{b} {\operatorname{kecepatan}_{\gamma}}(t) ~ {dt}.
</math>
=== Geometri diferensial ===
Contoh kurva pertama yang dijumpai sebagian besar merupakan kurva bidang (atau dalam sebutan umumnya, garis lengkung dalam ruang dua dimensi). Walaupun demikian, terdapat kurva dalam tiga dimensi, dan contoh kurva tersebut adalah [[heliks]]. Keperluan geometri dan juga contohnya [[mekanika klasik]], harus memiliki gagasan tentang kurva dalam ruang dari sejumlah dimensi. Dalam [[relativitas umum]], [[garis dunia]] adalah kurva dalam [[ruang waktu]].
Jika <math>X</math> adalah [[manifold terdiferensiasi|manifold terdiferensialkan]], maka dapat didefinisikan gagasan ''kurva terdiferensialkan'' dalam <math>X</math>. Gagasan umum ini cukup untuk mencakup banyak penerapannya dalam matematika. Berdasarkan sudut pandang lokal, seseorang dapat memandang <math>X</math> sebagai ruang Euklides. Di sisi lain, seseorang dapat memungkinkan untuk mendefinisikan [[Kurva terdiferensialkan|vektor garis singgung]] ke <math>X</math> dengan melalui pengertian kurva tersebut.
Terdapat gagasan dasar yang mengatakan bahwa jika <math>X</math> adalah [[manifold mulus]], kurva mulus di <math>X</math> adalah [[Kemulusan|pemetaan mulus]]<math display="block">\gamma \colon I \rightarrow X.</math>
Ada pula gagasan yang mengatakan bahwa jika <math>X</math> adalah <math>C^k</math> manifold (sebagai contoh, manifold yang [[Chart (topologi)|chart]]<nowiki/>nya terdiferensialkan secara kontinu sebanyak <math>k</math> kali), maka suatu <math>C^k</math> kurva dalam <math>X</math> adalah kurva yang hanya diasumsikan menjadi <math>C^k</math> (dalam artian, terdiferensialkan secara kontinu sebanyak <math>k</math> kali). Jika <math>X</math> adalah [[Lipatan (matematika)|manifold analitik]] (yaitu, terdiferensiaslkan tak terhingga dan chart dapat dinyatakan sebagai [[deret kuasa]]) dan <math>\gamma</math> adalah peta analitik, maka <math>\gamma</math> dikatakan sebagai kurva analitik (''analytic curve'').
Suatu kurva terdiferensialkan dikatakan '''beraturan''' (''regular'') jika turunannya tidak pernah hilang; dengan kata lain, suatu kurva beraturan tidak pernah melambat untuk berhenti atau mundur dengan sendirinya. Terdapat dua <math>C^k</math> kurva terdiferensialkan , yaitu <math>\gamma_1 \colon I \rightarrow X</math> dan <math>\gamma_2 \colon J \rightarrow X</math> dikatakan ''ekuivalen'' jika terdapat <math>C^k</math> pemetaan [[Fungsi bijektif|bijektif]] <math>p \colon J \rightarrow I</math> sehingga [[Fungsi invers|pemetaan invers]] <math>p^{-1} \colon I \rightarrow J</math> juga <math>C^k</math>, dan <math>\gamma_{2}(t) = \gamma_{1}(p(t))</math> untuk semua <math>t</math>. Pemetaan <math>\gamma_2</math> disebut reparametrisasi (''reparametrization'') dari <math>\gamma_1</math>, sehingga demikian himpunan semua <math>C^k</math> kurva terdiferensiasi dalam <math>X</math> dikatakan [[relasi ekuivalensi]]. Suatu busur <math>C^k</math> adalah [[kelas ekuivalensi]] dari <math>C^k</math> kurva di bawah relasi reparametrisasi.
== Catatan ==
<references group="lower-alpha" />
== Referensi ==
<references />
== Pranala luar ==
{{Commons category|Kurva}}
* [https://web.archive.org/web/20040609111105/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html Famous Curves Index], Sekolah Matematika dan Statistik, Universitas St Andrews, Skotlandia.
* [http://www.2dcurves.com/ Mathematical curves] Kumpulan 874 kurva matematika dua dimensi.
* [http://faculty.evansville.edu/ck6/Gallery/Introduction.html Galeri Kurva Luar Angkasa yang Dibuat dari Lingkaran, termasuk animasi oleh Peter Moses]
* [http://faculty.evansville.edu/ck6/GalleryTwo/Introduction2.html Galeri Kurva Uskup dan Kurva Bulat Lainnya, termasuk animasi oleh Peter Moses]
* Artikel Ensiklopedia Matematika dalam [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Line_(curve) garis].
* Halaman Manifold Atlas pada [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/1-manifolds 1-manifold].
{{Authority control}}
[[Kategori:Topologi]]
[[Kategori:Topologi umum]]
[[Kategori:Geometri metrik]]
| |||