Determinan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Add 1 book for Wikipedia:Pemastian (20231209)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot |
Image suggestions feature: 1 image added. |
||
| (2 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 36:
Nilai absolut dari determinan bersama dengan tandanya menjadi ''luas bertanda'' (''oriented area'') dari jajar genjang. Luas bertanda sama dengan [[luas]] yang biasa, kecuali luas akan bernilai negatif ketika sudut dari vektor pertama ke vektor kedua yang mendefinisikan jajar genjang, bergerak searah jarum jam (yang berlawanan arah, dengan arah yang didapat untuk [[matriks identitas]]).
Untuk menunjukkan bahwa {{math|''ad'' − ''bc''}} adalah luas bertanda, kita dapat memisalkan sebuah matriks yang berisi dua vektor, {{math|'''u''' ≡ (''a'', ''b'')}} dan {{math|'''v''' ≡ (''c'', ''d'')}}, yang merepresentasikan sisi-sisi jajar genjang. Luas jajar genjang yang dibentuk dari kedua vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai {{math|{{!}}'''u'''{{!}} {{!}}'''v'''{{!}} sin ''θ''}}, dengan ''θ'' adalah sudut diantara vektor-vektor tersebut. Karena sifat [[Sinus dan kosinus|sinus]], luas ini sudah merupakan luas bertanda. Kosinus dapat digunakan untuk lebih menunjukkan hubungan dengan [[perkalian vektor]], yakni menggunakan sudut komplementer ke vektor tegak lurus, misalnya {{math|1='''u'''<sup>⊥</sup> = (−''b'', ''a'')}} sehingga luas juga dapat ditulis sebagai {{math|{{!}}'''u'''<sup>⊥</sup>{{!}} {{!}}'''v'''{{!}} cos ''θ′''}}:<math display="block">\text{Luas bertanda } =
|\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}|\,\sin\,\theta = \left|\boldsymbol{u}^\perp\right|\,\left|\boldsymbol{v}\right|\,\cos\,\theta' =
\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = ad - bc.
Baris 165:
=== Multiplikativitas dan grup matriks ===
Determinan merupakan sebuah pemetaan multiplikatif. Hal ini mengartikan untuk sebarang matriks persegi <math>A</math> dan <math>B</math> yang berukuran sama, determinan dari [[perkalian matriks]] sama dengan perkalian dari determinan-determinan matriks, <math display="block">\det(AB) = \det (A) \det (B)</math> Fakta penting ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa, untuk matriks <math>B</math> yang sudah ditetapkan, kedua sisi persamaan di atas merupakan fungsi yang bersifat multilinear dan ''alternating'' terhadap kolom-kolom <math>A</math>. Lebih lanjut, kedua sisi bernilai <math>\det B</math> ketika <math>A</math> berupa matriks identitas. Ketiga sifat unik ini membuktikan fakta tersebut.
Matriks <math>A</math> dengan elemen-elemen berasal dari sebuah [[Lapangan (matematika)|lapangan]], dapat [[Matriks terbalikkan|dibalikkan]] (invertibel, memiliki invers) [[jika dan hanya jika]] determinan matriks tersebut tidak nol. Hal ini berasal dari sifat multiplikatif determinan, juga dari rumus yang melibatkan matriks adjugat dari ekspansi Laplace. Ketika determinan bernilai tak-nol, determinan dari matriks inversnya adalah <math display="block">\det\left(A^{-1}\right) = \frac{1}{\det(A)} = [\det(A)]^{-1}.</math>Secara khusus, hasil perkalian maupun invers dari matriks-matriks dengan determinan tak-nol, masih memiliki sifat tersebut. Akibatnya, himpunan matriks-matriks tersebut (yang berukuran <math>n</math> atas suatu lapangan <math>K</math>) membentuk sebuah [[grup linear umum]] <math>\operatorname{GL}_n(K)</math>; dan ketika semua matriks memiliki determinan bernilai <math>1</math>, membentuk sebuah subgrup bernama [[grup linear khusus]] <math>\operatorname{SL}_n(K) \subset \operatorname{GL}_n(K)</math>. Umumnya, kata "khusus" ("''special''") digunakan untuk menandakan [[subgrup]] dari grup matriks dengan determinan bernilai <math>1</math>. Contoh lainnya adalah [[grup ortogonal khusus]] (yang berisi semua [[matriks rotasi]] ketika <math>n=2</math> dan <math>n=3</math>), dan [[grup uniter khusus]].
Baris 194:
=== Batas atas dan batas bawah ===
Untuk matriks definit positif <math>A</math>, operator teras memberikan batas batas dan batas bawah berikut, yang rapat untuk [[logaritma]] dari determinan:<math display="block">\operatorname{tr}\left(I - A^{-1}\right) \le \log\det(A) \le \operatorname{tr}(A - I),</math>dengan kesamaan terjadi jika dan hanya jika <math>A=I</math>. Hubungan ini dapat didapatkan dengan menggunakan rumus [[divergensi Kullback-Leibler]] antara dua [[distribusi normal multivariat]]. Selain itu, dari menyatakan teras dan determinan sebagai nilai-nilai eigen, dapat ditemukan hubungan <math display="block">\frac{n}{\operatorname{tr}\left(A^{-1}\right)} \leq \det(A)^\frac{1}{n} \leq \frac{1}{n}\operatorname{tr}(A) \leq \sqrt{\frac{1}{n}\operatorname{tr}\left(A^2\right)}.</math>Hubungan ini menyatakan fakta umum yang terkenal, bahwa [[Rata-rata harmonik|rerata harmonik]] lebih kecil daripada [[Rata-rata geometrik|rerata geometrik]], yang selanjutnya lebih kecil daripada [[Rata-rata aritmetika|rerata aritmetika]], yang selanjutnya lagi lebih kecil daripada [[Rata-rata kuadrat|rerata kuadrat]].
=== Turunan ===
Baris 236:
== Perhitungan ==
[[Berkas:Schema sarrus-regel.png|jmpl|Perhitungan determinan matriks orde ketiga menggunakan aturan Sarrus]]
Determinan umumnya digunakan sebagai alat teoritis. Determinan jarang dihitung secara eksplisit dalam [[aljabar linear numerik]], karena penerapannya untuk mengecek keterbalikan dan mencari nilai-nilai eigen dapat digantikan oleh teknik-teknik lain.<ref>(Terj.) "... kita menyebutkan bahwa determinan, dengan notasi teoritis yang umum, jarang memainkan peran penting dalam algoritma numerik.", lihat {{harvnb|Trefethen|Bau III|1997|loc=Lecture 1}}.</ref> Tapi di sisi lain, [[geometri komputasi]] sering melakukan perhitungan yang terkait dengan determinan.<ref>{{harvnb|Fisikopoulos|Peñaranda|2016|loc=§1.1, §4.3}}</ref>
| |||