Bilangan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Mbak dosen (bicara | kontrib) Tambahan penjelasan mengenai bilangan bulat Tag: Dikembalikan VisualEditor |
→Bilangan riil: info tambahan |
||
| (8 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{About|suatu konsep dalam matematika|kitab Alkitab|Kitab Bilangan|kegunaan lain}}
'''Bilangan''' adalah suatu konsep [[matematika]] yang digunakan dalam [[pencacahan]] dan [[pengukuran]]. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai [[angka]] atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan [[nol]], [[bilangan negatif]], [[bilangan rasional]], [[bilangan irasional]], dan [[bilangan kompleks]].
[[Berkas:Numbers grid in NY.jpg|jmpl|Beberapa [[bilangan asli]]|266x266px]]
Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai [[operasi (matematika|operasi]] numeris. [[Operasi uner]] mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah [[operasi biner]], yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah [[penjumlahan]], [[pengurangan]], [[perkalian]], [[pembagian]], [[perpangkatan]], dan [[Akar ke-n|akar]]. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai [[aritmetika]].
==Silsilah bilangan==▼
Dalam penggunaan sehari-hari, bilangan seringkali diartikan sebagai angka maupun nomor, tetapi ketiga istilah tersebut secara definisi merupakan entitas yang berbeda. Perlu dibedakaan antara bilangan dengan lambangnya.<ref>{{Cite journal|last=[[Andi Hakim Nasution]]|date=1983|title=Bilangan dan Namanya Dalam Bahasa Indonesia|url=https://repositori.kemdikbud.go.id/3059/|journal=Kongres Bahasa Indonesia 3|location=Jakarta|publisher=Pusat Pembinaan dan Pengembangan Bahasa}}</ref>
▲== Istilah yang menyerupai ==
▲Dalam penggunaan sehari-hari, bilangan seringkali diartikan sebagai [[angka]] maupun [[nomor]], tetapi ketiga istilah tersebut secara definisi merupakan entitas yang berbeda. Angka adalah suatu tanda atau lambang yang digunakan untuk melambangkan bilangan. Contohnya, bilangan lima dapat dilambangkan menggunakan [[angka Arab|angka Hindu-Arab]] "5" (sistem angka berbasis 10), "101" (sistem angka biner), maupun menggunakan angka Romawi 'V'. Lambang "5", "1", "0", dan "V" yang digunakan untuk melambangkan bilangan lima disebut sebagai angka. Nomor biasanya menunjuk pada satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yang berurutan. Misalnya kata 'nomor 3' menunjuk salah satu posisi urutan dalam barisan bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, ..., dst. Kata "nomor" sangat erat terkait dengan pengertian [[urutan]].
'''Nomor''' bisa menunjuk pada satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yang berurutan. Misalnya kata 'nomor 3' menunjuk salah satu posisi urutan dalam barisan bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, ..., dst. Kata "nomor" erat terkait dengan pengertian [[urutan]]. Nomor juga bisa menunjuk pada angka yang digunakan untuk melabeli suatu barang tanpa membawa maksud besaran atau ukuran apapun, seperti nomor telepon [[Nomor Induk Kependudukan]].
Sejarah permulaan munculnya bilangan (matematika) berasal dari bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai seperti [[Bangsa Mesir]] di aliran [[sungai Nil]], [[Babilonia|Bangsa Babilonia]] yang menghuni pinggiran sungai [[Sungai Tigris|Tigris]] dan [[Sungai Efrat|Efrat]], Bangsa Hindu India di sepanjang sungai [[Sungai Indus|Indus]] dan [[Sungai Gangga|Gangga]], Serta Bangsa Cina di sepanjang aliran sungai Huang Ho dan [[Sungai Panjang|Yang Tze]]. Matematika sangat dibutuhkan oleh bangsa-bangsa tersebut untuk perhitungan berbagai kebutuhan sehari-hari yang melibatkan bilangan seperti halnya perhitungan perdagangan, penanggalan, perhitungan perubahan musim, pengukuran luas tanah dan lain-lain. Pada perkembangan peradaban manusia, matematika semakin diperlukan dalam perdagangan, keuangan, dan pemungutan pajak. Sistem bilangan yang digunakan oleh bangsa-bangsa zaman dahulu bermacam-macam hingga akhirnya berkembang menjadi bilangan yang sekarang digunakan yaitu sistem bilangan Hindu-Arab.<ref>{{Cite book|last=|first=|date=2013|url=l|title=Matematika SMP/MTS Kelas VII Semester 1|location=Jakarta|publisher=Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud|isbn=978-602-282-351-3|pages=254|url-status=live}}</ref>▼
== Jenis
Sepanjang [[sejarah matematika]], berbagai sistem bilangan dikembangkan dari sistem bilangan yang sudah ada sedemikian rupa sehingga sistem bilangan baru tersebut dalam menyelesaikan masalah matematis secara lebih umum, lepas dari batasan sistem bilangan sebelumnya.{{Classification of numbers}}
Setiap bentuk rasio ''p/q'' antara dua bilangan bulat ''p'' dan bilangan bulat bukan nol ''q'' disebut [[bilangan rasional]] atau [[pecahan]]. Himpunan semua bilangan rasional ditandai dengan '''Q'''.▼
=== Bilangan asli ===
== Konsep terhitung dan tak terhitung ==▼
[[Bilangan asli]] dilambangkan dengan huruf N atau ''Natural Numbers'' adalah bilangan bulat yang bernilai positif. Contohnya yaitu {1, 2, 3, 4 ...}<ref name=":0">{{Cite web|title=Types of numbers {{!}} Assessment Resource Banks|url=https://arbs.nzcer.org.nz/types-numbers|website=arbs.nzcer.org.nz|access-date=2020-08-28}}</ref> [[Bilangan cacah]] disimbolkan dengan huruf W atau ''Whole Numbers'' adalah bilangan nol (0) dan bilangan bulat positif. Contohnya yaitu {0,1,2,3,4, ...}<ref name=":0" />▼
Unsur-unsur ketiga himpunan '''N''', '''Z''' dan '''Q''' di atas masih bisa 'diurutkan' (''enumerated'') tanpa ada satu pun yg tersisa atau tercecer. Himpunan berukuran tak hingga yg bisa diurutkan ini disebut himpunan [[terhitung]] (''countable'').▼
Himpunan semua bilangan alami (''real numbers''), yaitu semua bilangan rasional digabung dengan semua bilangan ''tak rasional'' (atau ''irasional''), dinyatakan dengan lambang '''R'''. Himpunan ini selain berukuran tak hingga, juga himpunan tak terhitung sebab bisa dibuktikan secara matematis, setiap usaha untuk mengurutkannya selalu gagal, karena menyisakan bilangan alami.<ref>{{Cite web |url=http://planetmath.org/encyclopedia/CantorsDiagonalArgument.html |title=Planet Math |access-date=2006-06-29 |archive-date=2006-08-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20060813121445/http://planetmath.org/encyclopedia/CantorsDiagonalArgument.html |dead-url=yes }}</ref>▼
▲[[Bilangan asli]] dilambangkan dengan huruf N atau ''Natural Numbers'' adalah bilangan bulat yang bernilai positif. Contohnya yaitu {1, 2, 3, 4 ...}<ref name=":0">{{Cite web|title=Types of numbers {{!}} Assessment Resource Banks|url=https://arbs.nzcer.org.nz/types-numbers|website=arbs.nzcer.org.nz|access-date=2020-08-28}}</ref>
=== Bilangan prima ===
Bilangan prima adalah bilangan yang lebih besar dari 1 yang hanya bisa dibagi dengan angka 1 dan bilangan itu sendiri serta tidak dapat dibagi dengan bilangan lainnya. Contohnya yaitu {2,3,5,7,11,13,17,19...}<ref>{{Cite web|title=Types of Numbers {{!}} GCSE Maths Revision|url=http://gcse-math.co.uk/number/types-of-numbers|language=en-US|access-date=2020-08-28}}</ref>
Bilangan komposit adalah bilangan yang lebih besar dari 1 namun bisa dibagi dengan angka 1 dan bilangan asli yang lain. Contohnya yaitu {4,6,8,9,10...}
=== Bilangan bulat ===
Himpunan semua bilangan bulat dalam buku-buku teks aljabar biasanya dinyatakan dengan lambang '''Z'''
[[Bilangan bulat]] dilambangkan dengan huruf Z atau ''Integers'' yaitu semua bilangan yang bernilai positif dan negatif termasuk angka nol (0) yang bukan desimal. Contohnya yaitu {… , -2, -1, 0, 1, 2, …}<ref name=":0" /> Bilangan bulat sendiri terbagi menjadi tiga jenis yaitu bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan nol.
[[Bilangan cacah]] adalah himpunan bilangan bulat yang bukan negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0.
=== Bilangan rasional ===
▲Setiap bentuk rasio ''p/q'' antara dua bilangan bulat ''p'' dan bilangan bulat bukan nol ''q'' disebut [[bilangan rasional]] atau [[pecahan]]. Himpunan semua bilangan rasional ditandai dengan '''Q'''.
Bilangan rasional adalah bilangan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan dengan pembilang bilangan bulat dan penyebut bilangan bulat positif. Penyebut negatif diperbolehkan tetapi umumnya dihindari, karena setiap bilangan rasional sama dengan pecahan dengan penyebut positif. Pecahan ditulis sebagai dua bilangan bulat, pembilang dan penyebut, dengan garis pemisah di antaranya. Contohnya yaitu <math display="inline">{-\frac{2}{3}, -\frac{1}{4},...}</math>
=== Bilangan riil ===
=== Bilangan kompleks ===
Bilangan kompleks. Contohnya yaitu <math display="inline">{-2i, 0, e -\frac{1}{4}i, \sqrt{2}+\pi i}</math>
▲Sejarah permulaan munculnya bilangan (matematika) berasal dari bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai seperti [[Bangsa Mesir]] di aliran [[sungai Nil]], [[Babilonia|Bangsa Babilonia]] yang menghuni pinggiran sungai [[Sungai Tigris|Tigris]] dan [[Sungai Efrat|Efrat]], Bangsa Hindu India di sepanjang sungai [[Sungai Indus|Indus]] dan [[Sungai Gangga|Gangga]], Serta Bangsa Cina di sepanjang aliran sungai Huang Ho dan [[Sungai Panjang|Yang Tze]]. Matematika sangat dibutuhkan oleh bangsa-bangsa tersebut untuk perhitungan berbagai kebutuhan sehari-hari yang melibatkan bilangan seperti halnya perhitungan perdagangan, penanggalan, perhitungan perubahan musim, pengukuran luas tanah dan lain-lain. Pada perkembangan peradaban manusia, matematika semakin diperlukan dalam perdagangan, keuangan, dan pemungutan pajak. Sistem bilangan yang digunakan oleh bangsa-bangsa zaman dahulu bermacam-macam hingga akhirnya berkembang menjadi bilangan yang sekarang digunakan yaitu sistem bilangan Hindu-Arab.<ref>{{Cite book|last=|first=|date=2013|url=l|title=Matematika SMP/MTS Kelas VII Semester 1|location=Jakarta|publisher=Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud|isbn=978-602-282-351-3|pages=254|url-status=live}}</ref>
▲== Konsep terhitung dan tak terhitung ==
▲Unsur-unsur ketiga himpunan '''N''', '''Z''' dan '''Q''' di atas masih bisa 'diurutkan' (''enumerated'') tanpa ada satu pun yg tersisa atau tercecer. Himpunan berukuran tak hingga yg bisa diurutkan ini disebut himpunan [[terhitung]] (''countable'').
▲Himpunan semua bilangan alami (''real numbers''), yaitu semua bilangan rasional digabung dengan semua bilangan ''tak rasional'' (atau ''irasional''), dinyatakan dengan lambang '''R'''. Himpunan ini selain berukuran tak hingga, juga himpunan tak terhitung sebab bisa dibuktikan secara matematis, setiap usaha untuk mengurutkannya selalu gagal, karena menyisakan bilangan alami.<ref>{{Cite web |url=http://planetmath.org/encyclopedia/CantorsDiagonalArgument.html |title=Planet Math |access-date=2006-06-29 |archive-date=2006-08-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20060813121445/http://planetmath.org/encyclopedia/CantorsDiagonalArgument.html |dead-url=yes }}</ref>
== Kegunaan ==
| |||