Pangkat dua: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler |
Produk dot -> Perkalian titik | t=149 su=5 at=5 in=6 | edr=000-0011(!!!) ovr=010-1111 aft=000-0011 |
||
| (2 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{redirect3|²|Merupakan bilangan "[[2 (angka)|2]]" [[superskrip]]}}
[[Berkas:Five_Squared.svg|ka|jmpl|168px<!-- at 160px and 200px lines render with unequal widths
-->|{{math|5⋅5}}, atau {{math|5<sup>2</sup>}} (5 kuadrat atau 5 pangkat 2), dapat ditunjukkan dalam bentuk grafik menggunakan suatu [[bujursangkar]]. Setiap blok mewakili satu unit, {{math|1⋅1}}, dan seluruh bujursangkar mewakili {{math|5⋅5}}, atau luas bujursangkar.]]
'''Pangkat dua''' atau '''bilangan kuadrat''' ({{lang-en|square}}) dalam [[matematika]] adalah hasil [[perkalian]] antara suatu [[bilangan]] dengan bilangan itu sendiri. Kata kerja "memangkatkan dua" atau "mengkuadratkan" merujuk kepada operasi ini. Dalam pelaksanaannya operasi ini sama dengan [[Eksponen|memangkatkan]] dengan bilangan [[2 (angka)|2]], dan dilambangkan dengan angka 2 dalam posisi [[superskrip]]. Misalnya kuadrat dari 3 dapat ditulis 3<sup>2</sup>, yang sama dengan bilangan 9. Dalam sejumlah kasus di mana penayangan superskrip tidak dimungkinkan, misalnya pada [[bahasa pemrograman]] atau [[teks biasa]], notasi <kbd>''x''^2</kbd> atau <kbd>''x''**2</kbd> dapat digunakan untuk menggantikan <kbd>''x''<sup>2</sup></kbd>.
Hasil pangkat dua suatu [[bilangan bulat]] dapat
Salah satu sifat penting dari kuadrat, pada semua bilangan maupun pada banyak sistem matematika lainnya, adalah bahwa untuk setiap {{mvar|x}} (dapat berupa bilangan atau objek matematika lainnya), pangkat dua dari {{mvar|x}} memiliki hasil yang sama dengan pangkat dua dari [[Invers aditif|invers aditifnya]], {{math|−''x''}}. Dengan kata lain, fungsi kuadrat memenuhi persamaan {{math|1=''x''<sup>2</sup> = (−''x'')<sup>2</sup>}}. Hal ini mengartikan fungsi kuadrat merupakan suatu [[fungsi genap]].
Baris 11:
== Dalam sistem bilangan bulat ==
[[Berkas:The_sum_of_the_first_n_odd_integers_is_n²._1+3+5+...+(2n-1)=n²..gif|jmpl|Hasil penjumlahan ''n'' bilangan ganjil positif pertama adalah ''n''<sup>2</sup>. {{nowrap|1 + 3 + 5 + ... + (2''n'' − 1) {{=}} ''n''<sup>2</sup>}}. Visualisasi bukti secara 3D pada sebuah tetrahedron.]]
Bilangan ''kuadrat sempurna'' adalah bilangan bulat yang merupakan kuadrat dari suatu bilangan bulat lainnya. Sebagai contoh, 9 adalah kuadrat sempurna karena bernilai sama dengan <math>3^2</math>, dan dapat ditulis sebagai <math>3\times3</math>. Pada sistem bilangan real, definisi lain untuk kuadrat sempurna adalah bilangan yang akar kuadratnya merupakan bilangan bulat. Sebagai contoh, 9 adalah bilangan kuadrat karena <math>\sqrt{9} = 3</math> merupakan bilangan bulat.
Bilangan bulat positif yang tidak memiliki pembagi berupa bilangan kuadrat selain 1, disebut sebagai bilangan ''bebas kuadrat''.
Baris 52:
Konsep pengkuadratan berperan penting dalam [[Medan hingga|lapangan hingga]] <math>\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}</math>, yang dibentuk dari bilangan-bilangan bulat [[Operasi modulus|modulo]] [[bilangan prima]] ganjil <math>p</math>. Elemen tak-nol dari lapangan ini disebut ''[[residu kuadratik]]'' jika ia merupakan kuadrat di <math>\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}</math>, dan selain itu disebut ''nonresidu kuadratik''. Nol, walau merupakan kuadrat, tidak dianggap sebagai residu kuadratik. Setiap lapangan hingga jenis ini memiliki tepat <math>(p-1)/2</math> residu kuadratik dan tepat <math>(p-1)/2</math> nonresidu kuadratik. Residu-residu kuadratik membentuk sebuah [[Grup (matematika)|grup]] terhadap perkalian. Sifat-sifat dari residu kuadrat banyak digunakan dalam [[teori bilangan]].
Fungsi kuadrat terdefinisi di sembarang [[Lapangan (matematika)|lapangan]] maupun [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]]. Elemen dari hasil pemetaan dari fungsi ini disebut ''kuadrat'', sedangkan [[elemen invers]] pemetaannya disebut [[Akar kuadrat|''akar kuadrat'']]. Lebih umum, fungsi kuadrat pada gelanggang yang berbeda dapat memiliki sifat-sifat yang berbeda, yang dapat digunakan untuk mengklasifikasikan gelanggang.
Elemen nol mungkin merupakan kuadrat dari suatu elemen tak-nol. [[Gelanggang komutatif]] yang setiap kuadrat elemen tak-nolnya tidak bernilai nol, disebut dengan [[gelanggang tereduksi]]. Secara umum, [[ideal radikal]] adalah [[Ideal (teori gelanggang)|ideal]] <math>I</math> yang memenuhi sifat: <math>x^2 \in I</math> mengakibatkan <math>x \in I</math>.
Elemen gelanggang yang bernilai sama dengan kuadratnya sendiri disebut [[idempoten]]. Pada sembarang gelanggang, 0 dan 1 bersifat idempoten. Selain dua elemen tersebut, tidak ada idempoten lain pada lapangan (dan secara umum pada [[Ranah integral|domain integral]]). Tapi, pada gelanggang dari bilangan-bilangan bulat modulo <math>n</math> akan terdapat sebanyak <math>2^k</math> idempoten, dengan <math>k</math> adalah banyaknya faktor prima unik dari <math>n</math>. Gelanggang komutatif yang setiap elemennya sama dengan kuadratnya disebut dengan [[gelanggang Boolean]].
Baris 76:
Fungsi kuadrat memiliki hubungan dengan besaran [[Jarak Euklides|jarak]] lewat [[teorema Pythagoras]] dan perumumannya, [[hukum jajaran genjang]].
[[
Terdapat tak hingga banyaknya [[tripel Pythagoras]], yakni pasangan tiga bilangan bulat positif yang kuadrat bilangan terbesarnya sama dengan jumlah dari kuadrat dua bilangan yang lain. Setiap tripel ini menghasilkan [[segitiga siku-siku]] yang panjang setiap sisinya berupa bilangan bulat.
== Penggunaan lainnya ==
Konsep pengkuadratan berperan penting dalam aljabar maupun hampir di semua bidang matematika lainnya, juga dalam [[fisika]]. Bilangan kuadrat dapat diperumum ke beberapa sistem bilangan lainnya. Pada sistem [[bilangan rasional]], bilangan kuadrat dapat didefinisikan sebagai bilangan yang dapat dituliskan sebagai rasio dari dua bilangan bulat kuadrat; sebagai contoh, <math>\textstyle \frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2</math>.
Dalam [[analisis regresi]], metode [[kuadrat terkecil]] umum dipakai dalam sistem ''overdetermined'' (sistem yang memiliki lebih banyak persamaan ketimbang variabel).
| |||