Bola (geometri): Perbedaan antara revisi

Dalam geometri analitik, bola dengan pusat {{<math|>(''x''₀x_0, ''y''₀y_0, ''z''<sub>0z_0)</submath>)}} dan jari -jari {{mvar|<math>r}}</math> adalah lokus titik {{<math|>(''x'', ''y'', ''z'')}}</math> sedemikian rupa sehingga

tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika <math>\rho < 0</math> dan disebut persamaan '''bola imajiner'''. Jika <math>\rho = 0</math>, satu-satunya solusi <math>f(x,y,z) = 0</math> adalah intinyatitik tengah bolah <math>P_0 = (x_0,y_0,z_0)</math> dan persamaannya disebut persamaan '''titik bola'''. AkhirnyaTerakhir, dalam kasus ini <math>\rho > 0</math>, <math>f(x,y,z) = 0</math> adalah persamaan bola yang pusatnya adalah <math>P_0</math> dan yang radiusnya adalah <math>\sqrt \rho</math>.<ref name=Albert54 />

Jika {{mvar|<math>a}}</math> dalam persamaan di atas adalah nol maka {{<math|1=''>f''(''x'', ''y'', ''z'') = 0}}</math> adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah pesawatbidang dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.<ref name=Woods266>{{harvnb|Woods|1961|loc=p. 266}}.</ref>

[[Keliling]] <math> \theta </math> dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah ''<math>z''</math> positif- sumbu melalui pusat ke radius-vektor radius, dan keliling <math> \varphi </math> dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah <math>x- positif</math> positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada bidang ''xy<math display="inline">x</math>-<math display="inline">y</math>'' plane.

Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik,{{ <math|>(''x'', ''y'', ''z'')}}</math> dan {{<math|>(''dx'', ''dy'', ''dz'')}}</math>, yang berjalan di bola selalu ortogonal satu sama lain.

Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar [[lingkaran]] tentang semua [[diameter]]nya . Karena lingkaran adalah jenis [[elips]] khusus , maka bola adalah jenis elips khusus revolusi . Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya , bentuknya menjadi [[spheroid prolate]] ; jika diputar tentangterhadap sumbu minor, bentuknya akan menjadi sebuah [[spheroid oblate]].<ref>{{harvnb|Albert|2016|loc=p. 60}}.</ref>

[[Archimedes]] pertama kali memperoleh rumus ini<ref name=MathWorld_Sphere>{{MathWorld |title=Sphere |id=Sphere}}</ref> dari fakta bahwa proyeksi ke permukaan lateral dari silinder yang dibatasi adalah pengawet area.<ref>{{harvnb|Steinhaus|1969|loc=p. 221}}.</ref> Pendekatan lain untuk memperoleh rumus berasal dari fakta bahwa rumus tersebut sama dengan turunan rumus untuk volume sehubungan dengan <math>r</math> karena volume total di dalam bola jari-jari <math>r</math> dapat dianggap sebagai penjumlahan dari luas permukaan jumlah yang tidak terbatas dari cangkang bola dengan ketebalan sangat kecil yang ditumpuk secara konseptual di dalam satu sama lain dari jari jari <math>0</math> hingga jari jari <math>r</math>. Pada ketebalan sangat kecil perbedaan antara luas permukaan bagian dalam dan luar setiap shellcangkang yang diberikan sangat kecil, dan volume unsur pada jari-jari <math>r</math> hanyalah produk dari luas permukaan pada jari-jari <math>r</math> dan ketebalan sangat kecil.

Pada jari-jari tertentu <math>r</math>, volume tambahan {{math|''(<math>\delta δV V</math>)''}} sama dengan produk dari luas permukaan pada jari-jari {{(<math|''r >L( A ( r )''}}</math>) dan ketebalan cangkang {{math|''(<math>\delta δr r</math>)''}}:

:<math>\delta V \approx AL(r) \cdot \delta r. </math>

:<math>V \approx \sum AL(r) \cdot \delta r.</math>

Dalam batas ketika {{mvar|''approachesr''}}ketebalan cangkang <math>\delta r</math> mendekati nol <ref name="delta">{{cite book

:<math>V = \int_0^r AL(r) \, dr.</math>

:<math>\frac43\pi r^3 = \int_0^r AL(r) \, dr.</math>

MembedakanMengambil turunan dari kedua sisi persamaan ini sehubunganberdasarkan dengan <math>r</math> akan menghasilkan <math>L</math> sebagai fungsi <math>r</math>:

di mana <math>r</math> sekarang dianggap sebagai jari-jari bola yang tetap.

Pada setiap <math>x</math> yang diberikan , volume tambahan {{math|''(<math>\delta δV V</math>)''}} sama dengan produk dari luas penampang disk pada <math>x</math> dan ketebalannya {{math|''(<math>\delta δx x</math>)''}}:

Dalam batas ketika {{<math|''δx''}}>\delta x</math> mendekati nol,<ref name="delta"/> [[persamaan]] ini menjadi:

Pada setiap ''<math>x''</math> yang diberikan , [[segitiga siku-siku]] menghubungkan ''<math>x'' </math>, ''<math>y''</math> dan ''<math>r''</math> ke titik asal; karenanya, dengan menerapkan [[Teorema Pythagoras]] akan menghasilkan:

Untuk tujuan paling praktis, volume di dalam bola yang tertulis dalam kubus dapat diperkirakan sekitar 52,4% dari volume kubus, karena {{<math|1 display=''"inline">V'' = \frac{{sfrac|{{\pi}}|{6}} ''d''<sup>^3</supmath>}}, di mana <math>d</math> adalah diameter bola dan juga panjang sisi kubus dan <math display="inline">\frac{\pi}{6} \approx 0,5236</math>. Sebagai contoh, bola dengan diameter 1 m memiliki 52,4% volume kubus dengan panjang tepi 1 m, atau sekitar 0,524 m3

maka akan mendapat [[Clélie|kurva Clelia]], jika sudut-sudutnya dihubungkan dengan persamaan <math>\varphi=c\;\theta \;, \ c>0\;.</math>

Bola secara unik ditentukan oleh empat titik yang bukan [[koplanar]]. Secara lebih umum, bola secara unik ditentukan oleh empat kondisi seperti melewati suatu titik, bersinggungan dengan bidang, dlldan lain-lain.<ref>{{harvnb|Albert|2016|loc=p. 55}}.</ref> Sifat ini analog dengan properti bahwa tiga titik [[kollinear|non-kollinear]] menentukan lingkaran unik dalam sebuah bidang.

Jika {{<math|1 display=''"inline">f''(''x'', ''y'', ''z'') = 0}}</math> dan {{<math|1 display=''"inline">g''(''x'', ''y'', ''z'') = 0}} </math>adalah persamaan dari dua bidang yang berbeda

juga persamaan bola untuk nilai arbitrer dari parameter {{mvar|<math>s}}</math> dan {{mvar|<math display="inline">t}}</math>. Himpunan semua bola memenuhi persamaan ini disebut '''pensil bola''' yang ditentukan oleh dua bola asli. Dalam definisi ini bola dijadikan menjadi bidang (jari-jari tak hingga, berpusat pada tak hingga) dan jika kedua bola asli adalah bidang maka semua bidang pensil adalah bidang, jika tidak, hanya ada satu bidang (bidang akar) dalam pensil.<ref name=Woods266 />

Bola dapat digeneralisasikan ke ruang dengan jumlah [[dimensi]] berapa pun. Untuk [[bilangan asli]] {{mvar|<math display="inline">n}}</math>, sebuah "{{mvar|<math display="inline">n}}</math>-bola," sering kali ditulis sebagai {{math|''S''<supmath display="inline">''S^n''</supmath>}}, adalah Titititik himpunan dalam (dimensi-{{(<math|''n'' display="inline">n+ 1}}</math>)). Ruang Euklides yang berada pada jarak tetap {{mvar|<math display="inline">r}}</math> dari titik pusat ruang itu, dimana {{mvar|<math display="inline">r}}</math>, seperti sebelumnya, adalah bilangan riil positif. Khususnya:

* {{math|''S''<supmath display="inline">S^0</supmath>}}: bola 0 adalah sepasang titik akhir dari sebuah interval {{<math| display="inline">[−''-r'', ''r'']}}</math> dari garis sebenarnya

* {{math|''S''<supmath display="inline">S^1</supmath>}}: 1 bola adalah [[lingkaran]] dengan jari-jari ''<math display="inline">r''</math>

* {{math|''S''<supmath display="inline">S^2</supmath>}}: 2-bola adalah bola biasa

* {{math|''S''<supmath display="inline">S^3</supmath>}}: [[3-bola]] adalah bola dalam ruang Euclidean 4-dimensi.

Bola untuk {{<math|''n'' display="inline">n> 2}}</math> terkadang disebut [[hiperbola]].

{{Mvar|<math display="inline">n}}</math>-bola dengan radius unit yang berpusat di titik asal dilambangkan {{math|''S''<supmath display="inline">''S^n''</supmath>}} dan sering disebut sebagai {{mvar|<math display="inline">n}}</math>-bola. Perhatikan bahwa bola biasa adalah bola 2, karena permukaannya 2 dimensi yang tertanam dalam ruang 3 dimensi.

Luas permukaan unit ({{<math|'' display="inline">n''-1}}</math>)-bola adalah

dimana {{<math|Γ display="inline">\Gamma (''z'')}}</math> adalah [[fungsi gamma]] Euler.

\displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^{n-1}}{2 \cdot 4 \cdots (n-2)}, & \text{ifjika } n \text{ is evengenap}; \\ \\

\displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1 \cdot 3 \cdots (n-2)}, & \text{ifjika } n \text{ is oddganjil}.

dan volume adalah kali luas permukaan {{<math| display="inline">\frac{r}{sfrac|''r''|''n''}}}}</math> atau

\displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}, & \text{ifjika } n \text{ is evengenap}; \\ \\

\displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}, & \text{ifjika } n \text{ is oddganjil}.

Secara lebih umum, dalam [[ruang metrik]] {{<math| display="inline">(''E'',''d'')}}</math>, bola pusat {{mvar|<math display="inline">x}}</math> dan jari-jari {{<math|''r'' display="inline">r> 0}}</math> adalah titik himpunan {{mvar|<math display="inline">y}}</math> sedemikian rupa maka {{<math|1 display=''"inline">d''(''x'',''y'') = ''r''}}</math>.

Jika pusatnya adalah titik dibedakan yang dianggap sebagai asal dari {{mvar|<math display="inline">E}}</math>, seperti dalam ruang [[norma (matematika)|norma]], itu tidak disebutkan dalam definisi dan notasi. Hal yang sama berlaku untuk jari-jari jika dianggap sama dengan satu, seperti dalam kasus [[bola unit]].

Tidak dengan [[bola (matematika)|bola]], bahkan sebuah bola besar dapat berupa himpunan kosong. Misalnya, dalam {{math|'''Z'''<supmath display="inline">''\bold{Z}^n''</supmath>}} dengan [[metrik Eullides]], radius radius {{<math|'' display="inline">r''}}</math> tidak kosong hanya jika {{math|''r''<supmath display="inline">r^2</supmath>}} bisa ditulis sebagai jumlah dari {{<math|'' display="inline">n''}}</math> kuadrat dari [[bilangan bulat]].

Elemen dasar geometri bidang Euclidean adalah titik dan garis . Di bola, titik didefinisikan dalam arti biasa. Analog dari "garis" adalah geodesik , yang merupakan lingkaran besar ; ciri utama dari lingkaran besar adalah bahwa bidang yang berisi semua titiknya juga melewati pusat bola. Mengukur dengan panjang busur menunjukkan bahwa jalur terpendek antara dua titik yang terletak di bola adalah segmen yang lebih pendek dari lingkaran besar yang mencakup titik-titik tersebut.

Banyak teorema dari geometri klasik juga berlaku untuk [[geometri bola]], tetapi tidak semua melakukannya karena bola gagal memenuhi beberapa postulat geometri klasik , termasuk postulat paralel . Dalam trigonometri bola , sudut didefinisikan antara lingkaran besar. [[Trigonometri]] bola berbeda dari trigonometri biasa dalam banyak hal. Misalnya, jumlah sudut interior segitiga bulat selalu melebihi 180 derajat. Juga, dua segitiga bundar yang serupa adalah kongruen.

'''•''' <math display="inline">m=1,2</math> = 1,2 - untuk [[tetrahedron]] reguler,

'''•''' <math display="inline">m</math> = 1,2,3 -</math> untuk [[oktahedron]] dan [[kubus]],

'''•''' <math display="inline">m</math> = 1,2,3,4,5 -</math> untuk [[ikosahedron]] dan [[dodekahedron]].