Integral: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Konten dalam edit ini adalah alih bahasa dari artikel Wikipedia Bahasa Inggris en:Integral (oldid 1241837287); Lihat sejarahnya untuk atribusi. |
Produk dot -> Perkalian titik | t=115 su=1 at=1 in=2 | edr=000-0011(!!!) ovr=010-1111 aft=000-0011 |
||
| (3 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Short description|Operasi dalam kalkulus}}
{{About|konsep integral tentu dalam kalkulus|integral taktentu|antiturunan|himpunan bilangan|bilangan bulat|Penggunaan lain|Integral (disambiguasi)}}
[[Berkas:Integral_example.svg|al=Definite integral example|jmpl|300x300px|Integral tentu dari suatu fungsi dapat diartikan sebagai [[luas bertanda]] dari daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi tersebut dan sumbu horizontal. Pada grafik di atas sebagai contoh, integral dari <math>f(x)</math> adalah luas berwarna biru (+) dikurangi oleh luas berwarna kuning (-).]]
{{Calculus|Integral}}
Dalam [[matematika]], '''integral''' adalah versi kontinu dari konsep [[penjumlahan]], yang digunakan untuk menghitung [[luas]], [[volume]], dan banyak perumumannya. Integrasi atau mengintegralkan, yakni proses menghitung suatu integral, adalah salah satu dari dua operasi penting dalam [[kalkulus]];<ref group="lower-alpha">Kalkulus integral adalah salah satu cabang matematika yang terkenal sehingga memiliki banyak sumber bacaan dan referensi. Lihat {{Harvnb|Apostol|1967}} dan {{Harvnb|Anton|Bivens|Davis|2016}}, sebagai contoh.</ref> operasi yang lain adalah [[turunan]]. Integrasi awalnya digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam matematika dan [[fisika]], seperti menghitung luas daerah dibawah suatu kurva atau menentukan besar perpindahan objek dari kecepatannya. Penggunaan integrasi selanjutnya meluas ke banyak bidang keilmuan.
'''Integral tentu''' dari
Walaupun cara menghitung luas dan volume sudah diketahui sejak [[Matematika Yunani|jaman Yunani kuno]], prinsip dari integrasi baru dirumuskan secara terpisah oleh [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] pada akhir abad ke-17. Keduanya menganggap luas daerah dibawah kurva sebagai penjumlahan takhingga dari persegi-persegi panjang dengan lebar [[infinitesimal]] (takhingga kecilnya). [[Bernhard Riemann]] kemudian memberikan definisi cermat (''rigorous'') dari integral, yang didasarkan pada suatu prosedur yang memprakirakan luas dari suatu daerah [[Koordinat kurvilinear|kurvilinear]] dengan memecah daerah tersebut menjadi plat-plat vertikal yang takhingga tipisnya. Pada awal abad ke-20, [[Henri Lebesgue]] memperumum metode Riemann dengan memperkenalkan hal yang sekarang disebut sebagai [[integral Lebesgue]]; integral ini lebih umum ketimbang Riemann dalam artian ada lebih banyak fungsi yang terintegralkan-Lebesgue.
Integral dapat diperumum tergantung jenis dari fungsi maupun [[Domain (analisis matematis)|domain]] atas integrasi dilakukan. Sebagai contoh, [[integral garis]] didefinisikan untuk fungsi dua-variabel atau lebih, dan [[Selang (matematika)|selang]] dari integrasi digantikan oleh suatu kurva yang menghubungkan dua titik di suatu ruang. Sedangkan pada [[integral permukaan]], kurva digantikan oleh sepotong [[Permukaan (matematika)|permukaan]] di [[ruang dimensi tiga]].
== Terminologi dan notasi ==
Secara umum, integral dari sebuah [[fungsi bernilai riil]] <math>f(x)</math> terhadap [[Bilangan riil|variabel riil]] <math>x</math> pada suatu [[Selang (matematika)|selang]] <math>[a,\,b]</math> dituliskan sebagai<math display="block">\int_{a}^{b} f(x) \,dx.</math>Simbol integral <math display="inline">\int</math> menandakan integrasi. Fungsi <math>f(x)</math> disebut ''integran''. Simbol <math>dx</math>, terkadang ditulis sebagai <math>\text{d}x</math>, disebut [[Diferensial (matematika)|diferensial]] dari variabel <math>x</math>, dan menandakan variabel dari integrasi adalah <math>x.</math> Titik <math>a</math> dan <math>b</math> disebut ''batas'' (atau ''limit'') dari integrasi, dan integrasi disebut dilakukan pada selang <math>[a,\,b]</math>.<ref name=":12">{{Harvnb|Apostol|1967|p=74}}.</ref> Sebuah fungsi disebut ''terintegralkan'' {{anchor|terintegralkan|Fungsi terintegralkan}}jika integral fungsi tersebut pada domainnya bernilai hingga. Jika batas integrasi disertakan, integral disebut ''integral tentu''.
Ketika batas integrasi tidak ada, misalnya seperti<math display="block">\int f(x) \,dx,</math>maka integral disebut sebagai ''integral taktentu''. Integral ini menyatakan suatu kelompok fungsi ([[Integral tak tentu|antiturunan]]) yang turunannya adalah integran.<ref>{{Harvnb|Anton|Bivens|Davis|2016|p=259}}.</ref> [[Teorema dasar kalkulus]] menyatakan hubungan antara integral tentu dengan integral taktentu. Terdapat beberapa perumuman notasi dari integral, masing-masing untuk mencakup integrasi yang dilakukan pada domain yang takterbatas dan/atau dimensi tinggi (lihat bagian Perumuman di artikel ini).
Dalam pembahasan tingkat lanjut, cukup umum untuk tidak menuliskan <math>dx</math> ketika hanya menggunakan integral Riemann yang sederhana, atau ketika integral dapat berlaku secara umum. Sebagai contoh, sifat linearitas dari integral dapat dituliskan <math display="inline">\int_a^b (c_1f+c_2g) = c_1\int_a^b f + c_2\int_a^b g </math>, simbol <math>dx</math> tidak dituliskan karena sifat tersebut berlaku bagi integral Riemann dan semua perumumannya.<ref group="lower-alpha">{{Harvnb|Apostol|1967|p=69}}.</ref>
== Interpretasi ==
[[Berkas:Integral approximations.svg|thumb|right|Hampiran integral <math>\sqrt{x}</math> pada nilai <math>x=0</math> hingga <math>x=1</math>, menggunakan 5 partisi titik akhir kanan (warna kuning) dan 12 partisi titik akhir kiri (warna hijau).|alt=Contoh perkiraan integral]]
Integrasi muncul dalam banyak masalah umum. Bila suatu [[kolam renang]] berbentuk kotak dengan dasar yang datar, maka dari panjang, lebar, dan kedalamannya kita dengan mudah dapat menentukan volume air yang dapat ditampungnya (untuk mengisinya), luas permukaannya (untuk menutupinya), dan panjang tepinya (untuk membuat pembatas). Namun jika kolam renang berbentuk oval dengan dasar yang melengkung, semua masalah tadi membutuhkan integral. Tentu perkiraan praktis mungkin cukup untuk contoh sederhana seperti itu, tetapi integral diperlukan dalam ilmu teknik yang membutuhkan ketelitian dan nilai yang presisi. Dalam masing-masing cara tadi, besaran yang ingin ditentukan (misal panjang pembatas) dapat dihitung dengan membaginya menjadi banyak bagian-bagian kecil (atau sampai [[infinitesimal]]), lalu menjumlahkan bagian-bagian tadi untuk mendapatkan perkiraan yang akurat.
Sebagai contoh lain, misal seseorang ingin menentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi <math display="inline">\sqrt{x}</math> pada selang <math>x=0</math> sampai <math>x=1</math>. Ia dapat memperkirakan luasnya dengan membagi selang menjadi lima bagian <math>(0,\, \tfrac{1}{5},\, \tfrac{2}{5},\, \cdots,\, 1)</math>, lalu membuat persegi-persegi panjang dengan tinggi nilai fungsi di batas kanan setiap subselang -- sehingga tinggi masing-masingnya adalah <math>\sqrt\tfrac{1}{5},\, \sqrt\tfrac{2}{5},\, \cdots,\, \sqrt\tfrac{5}{5}</math>, kemudian menjumlahkan semua persegi panjang tadi untuk mendapatkan hampiran<math display="block">\textstyle \sqrt{\frac{1}{5}}\left(\frac{1}{5}-0\right)+\sqrt{\frac{2}{5}}\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\sqrt{\frac{5}{5}}\left(\frac{5}{5}-\frac{4}{5}\right)\approx 0,7497,</math>yang lebih besar daripada nilai sebenarnya. Hampiran lain dapat dilakukan menggunakan batas kiri setiap subselang, namun nilai yang didapatkan lebih kecil daripada sebenarnya: dengan 12 subselang akan menghasilkan luas <math>0,6203</math>. Tetapi ketika banyak subselang diperbanyak sampai tak hingga, luas yang dihitung akan mencapai suatu limit yang sama dengan sama dengan luas daerah yang ingin dicari (dalam kasus ini bernilai <math display="inline">\tfrac{2}{3}</math>). Menggunakan notasi integral, ini ditulis sebagai<math display="block">\int_{0}^{1} \sqrt{x} \,dx = \frac{2}{3},</math>yang mengartikan <math display="inline">\tfrac{2}{3}</math> adalah jumlah berbobot dari nilai-nilai fungsi, <math>\sqrt x</math>, dikalikan dengan lebar yang infinitesimal, yang disimbolkan dengan <math>dx</math>, pada selang <math>[0,\,1]</math>.
Baris 31 ⟶ 30:
<!-- Parameter ekstra -->| header = Jumlah Darboux
| header_align = center
| header_background =
| footer =
| footer_align =
| footer_background =
| background color =
| image1 = Riemann Integration and Darboux Upper Sums.gif
| width1 = 300
Baris 53 ⟶ 52:
{{Main|Integral Riemann}}
Integral Riemann didefinisikan menggunakan [[jumlah Riemann]] dari fungsi terhadap ''partisi bertanda'' dari sebuah interval.<ref>{{MathWorld |title=Riemann Sum |id=RiemannSum}}</ref><ref>{{Harvnb|Anton|Bivens|Davis|2016|pp=286−287}}.</ref> Partisi bertanda dari sebuah [[Selang (matematika)|selang tertutup]] <math>[a,\,b]</math> pada garis riil adalah [[barisan]] terbatas<math display="block"> a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b . \,\!</math>Partisi ini memecah selang <math>[a,\,b]</math> menjadi <math>n</math> subselang <math>[x_{i-1},\,x_i]</math> yang diindeks oleh <math>i</math>, dan masing-masing "menandai" suatu titik <math>t_i \in [x_{i-1},\,x_i] </math>. ''Mesh'' dari partisi tersebut adalah subselang di partisi dengan lebar terbesar, <math display="inline">\max_{i=1,\cdots,n}\Delta_i</math>. Selanjutnya, ''jumlah Riemann'' dari sebuah fungsi <math>f</math> terhadap partisi bertanda tersebut didefinisikan sebagai<math display="block">\sum_{i=1}^n f(t_i) \, \Delta_i ; </math>sehingga setiap suku dalam penjumlahan menyatakan luas sebuah persegi panjang dengan tinggi sama dengan nilai fungsi pada suatu nilai di subselang tersebut, dan dengan lebar sama dengan lebar subselang, <math>\Delta_i = x_i - x_{i-1}</math>.
Akhirnya, ''integral Riemann'' dari sebuah fungsi <math>f</math> pada selang <math>[a,\,b]</math> didefinisikan sama dengan <math>S</math> jika:<ref>{{Harvnb|Krantz|1991|p=173}}.</ref>
Baris 73 ⟶ 72:
Folland menyampaikan konsep integral ini seperti berikut: "Untuk menghitung integral Riemann dari <math>f</math>, seseorang perlu mempartisi domain <math>[a,\,b]</math> sebagai sub-subselang, sedangkan dalam integral Lebesgue, dia mempartisi [rentang] nilai dari <math>f</math>."<ref>{{Harvnb|Folland|1999|pp=57–58}}.</ref> Definisi dari integral Lebesgue didasarkan dengan sebuah [[Ukuran (matematika)|ukuran]], <math>\mu</math>. Dalam kasus paling sederhana, [[ukuran Lebesgue]] <math>\mu(A)</math> dari selang <math>A = [a,\,b]</math> adalah lebarnya, <math>b-a</math>, sehingga hasil integral Lebesgue sama dengan integral Riemann ketika keduanya ada.<ref>{{Harvnb|Bourbaki|2004|p=IV.43}}.</ref> Pada kasus yang lebih rumit, ukuran dari himpunan dapat sangat terpecah-pecah, tanpa kekontinuan dan tidak memiliki kemiripan apapun dengan selang.
Menggunakan sudut pandang "mempartisi rentang nilai dari <math>f</math>", integral dari sebuah fungsi non-negatif <math>f:\R\to\R</math> akan menyatakan penjumlahan terhadap <math>t</math>, dari luas-luas (mungkin beberapa) strip horizontal tipis yang terletak di antara <math>y=t</math> dan <math>y=t+dt</math>. Luas dari strip ini adalah <math>\mu(\{x:f(x)>t\})dt</math>. Misalkan <math>f^*(t) = \mu(\{x:f(x)>t\})</math>. Integral Lebesgue dari <math>f</math> selanjutnya didefinisikan sebagai<math display="block">\int f = \int_0^\infty f^*(t)\,dt</math>dengan bentuk integral di ruas kanan adalah bentuk [[integral
Sebarang fungsi terukur <math>f</math> terintegralkan-Lebesgue jika jumlah dari nilai-nilai mutlak dari luas daerah diantara grafik fungsi <math>f</math> dan sumbu-<math>x</math> bernilai hingga; secara matematis:<ref>{{Harvnb|Folland|1999|p=53}}.</ref><math display="block">\int_E |f|\,d\mu < + \infty.</math>Dalam kasus tersebut, integralnya adalah selisih luas daerah diatas sumbu-<math>x</math> dengan luas dibawah sumbu-<math>x</math>; sama seperti integral Riemann. Dituliskan dalam bentuk matematis:<ref name=":3">{{Harvnb|Rudin|1987|p=25}}.</ref><math display="block">\int_E f \,d\mu = \int_E f^+ \,d\mu - \int_E f^- \,d\mu</math>dengan<math display="block">\begin{alignat}{3}
Baris 112 ⟶ 111:
* ''Batas bawah dan batas atas.'' Sebarang fungsi <math>f</math> yang terintegralkan pada <math>[a,\,b]</math> haruslah [[Fungsi terbatas|terbatas]] pada selang tersebut. Artinya, ada [[bilangan riil]] <math>m</math> dan <math>M</math> sehingga <math>m\leq f(x)\leq M</math> untuk sebarang <math>x\in [a,\, b].</math> Karena jumlah batas bawah dan batas atas dari <math>f</math> pada <math>[a,\,b]</math> secara berurutan sama dengan <math>m(b-a)</math> dan <math>M(b-a)</math>, dapat disimpulkan <math display="block"> m(b - a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b - a). </math>
* ''Pertidaksamaan antar fungsi.''<ref>{{Harvnb|Apostol|1967|p=81}}.</ref> Jika <math>f(x)\leq g(x)</math> untuk setiap <math>x\in [a,\, b],</math> maka jumlah batas bawah dan atas dari <math>f</math> dibatasi dari-atas masing-masing oleh jumlah batas bawah dan atas dari <math>g.</math> Akibatnya,<math display="block"> \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx. </math>Ini adalah perumuman dari pertidaksamaan sebelumnya, karena <math>M(b-a)</math> sama saja dengan integral dari [[fungsi konstan]] bernilai <math>M</math> pada <math>[a,\,b].</math> Lebih lanjut, jika pertidaksamaan antar fungsi bersifat tegas, maka pertidaksamaan antar integral juga tegas. Artinya, jika <math>f(x)< g(x)</math> untuk setiap <math>x\in [a,\, b],</math> berlaku<math display="block"> \int_a^b f(x) \, dx < \int_a^b g(x) \, dx. </math>
* ''Subselang.'' Jika <math>[c,\,d]</math> adalah subselang dari <math>[a,\,b],</math> dan <math>f(x)</math> bernilai non-negatif untuk <math>x\in [a,\, b],</math> maka<math display="block"> \int_c^d f(x) \, dx \leq \int_a^b f(x) \, dx. </math>
* ''Hasil kali dan nilai mutlak dari fungsi.'' Jika <math>f</math> dan <math>g</math> adalah fungsi, maka [[perkalian setitik]] (''pointwise products''), perpangkatan, dan [[Nilai absolut|nilai mutlak]] dari kedua fungsi tersebut dapat dituliskan sebagai: <math display="block">
Baris 168 ⟶ 167:
Cara lain yang baru dikembangkan belakangan ini adalah menggunakan [[Fungsi hingga-D|fungsi-fungsi hingga-D]] (''D-finite functions''), yang merupakan solusi dari [[persamaan diferensial linear]] dengan koefisien-koefisien polinomial. Sebagian besar dari fungsi-fungsi elementer dan spesial merupakan hingga-D, dan integral dari fungsi hingga-D juga merupakan fungsi hingga-D. Hal ini memberikan suatu algoritma untuk menyatakan antiturunan dari fungsi hingga-D sebagai solusi dari persamaan diferensial.
Sistem integrasi berbasis-aturan juga dapat membantu masalah integrasi. Rubi, sistem aljabar komputer menggunakan daftar pola yang mencocokan integral dengan lebih dari 6600 aturan integrasi simbol untuk banyak jenis integran.{{sfn|Rich|Scheibe|Abbasi|2018}}
=== Numerik ===
{{Main|
[[Berkas:Numerical_quadrature_4up.png|jmpl|Beberapa metode kuadratur numerik: metode persegi, metode jajargenjang, metode Romberg, dan kuadratur Gauss.|360x360px]]Nilai dari integral tentu dapat [[Penghampiran|dihampiri]] menggunakan beberapa metode [[integrasi numerik]]. [[Jumlah Riemann|Metode persegi panjang]] melakukan ini dengan membagi daerah dibawah fungsi menjadi suatu barisan persegi panjang yang bersesuian dengan nilai-nilai dari fungsi, lalu mengalikannya dengan lebar langkah (''step width'') dan menjumlahkannya untuk mendapatkan hasilnya. Nilai hampiran yang lebih baik adalah dengan menggunakan [[Aturan Trapesium Rekursif|aturan trapesium]], yang mengganti persegi panjang dengan trapesium.<ref>{{Harvnb|Dahlquist|Björck|2008|pp=519–520}}.</ref> Ide yang mendasar aturan trapesium, bangun yang lebih mirip dengan grafik akan menghasilkan taksiran integral yang lebih baik, dapat dikembangkan lebih lanjut: [[Kaidah Simpson|aturan Simpson]] menghampiri integran dengan potongan-potongan fungsi kuadratik.<ref>{{Harvnb|Dahlquist|Björck|2008|pp=522–524}}.</ref>
Jumlah Riemann, aturan trapesium, dan aturan Simpson adalah contoh dari kelompok aturan kuadratur yang disebut [[rumus Newton–Cotes]]. Rumus Newton–Cotes derajat <math>n</math> menghampiri kurva fungsi pada setiap subselang dengan sebuah [[polinomial]] derajat <math>n.</math> Polinomial tersebut dipilih sedemikian sehingga dapat menginterpolasi nilai-nilai fungsi pada selang integrasi.<ref>{{Harvnb|Kahaner|Moler|Nash|1989|p=144}}.</ref> Polinomial dengan derajat lebih tinggi dapat menghasilkan hampiran yang lebih akurat, tetapi juga memerlukan perhitungan fungsi yang lebih banyak, dan dapat mengalami ketakcermatan (''inaccuracy'') numerik akibat [[fenomena Runge]]. Salah satu solusi dari masalah tersebut adalah [[kuadratur Clenshaw–Curtis]], yang menghampiri integran dengan menjabarkannya dalam suku-suku berupa [[polinomial Chebyshev]].
[[Metode Romberg]] membagi lebar langkah menjadi setengahnya secara iteratif, pada setiap tahap menghasilkan hampiran trapesium <math>T(h_0),</math> <math>T(h_1),</math> dan seterusnya; dengan <math>h_{k+1} = \tfrac{1}{2} h_k.</math> Untuk setiap lebar langkah yang baru, hanya setengah dari nilai-nilai fungsi integran yang perlu dicari; sisanya menggunakan dari hasil perhitungan lebar langkah sebelumnya. Kemudian metode ini [[Interpolasi (matematika)|menginterpolasi]] sebuah polinomial berdasarkan hampiran-hampiran yang didapatkan, lalu mengekstrapolasi ke <math>T(0).</math> [[Kuadratur Gauss]] mengevaluasi integran di akar-akar dari suatu himpunan [[polinomial ortogonal]].<ref>{{Harvnb|Kahaner|Moler|Nash|1989|p=147}}.</ref> Metode Gauss <math>n</math>-titik tepat (''exact'') untuk polinomial sampai derajat <math>2n-1.</math>
Perhitungan integral dimensi tinggi (sebagai contoh, perhitungan volume) menggunakan alternatif lain seperti [[integrasi Monte Carlo]].<ref>{{Harvnb|Kahaner|Moler|Nash|1989|pp=139–140}}.</ref>
=== Mekanikal ===
Luas dari sebarang bangun dua dimensi dapat ditentukan menggunakan instrumen yang disebut [[planimeter]]. Volume dari objek yang tidak beraturan dapat diukur dengan teliti menggunakan banyaknya air yang dipindahkan ketika objek dicelupkan.
== Penerapan ==
Integral sering digunakan dalam banyak hal. Sebagai contoh, dalam [[teori peluang]], integral digunakan untuk menentukan peluang dari [[variabel acak]] berada di suatu rentang tertentu.<ref>{{Harvnb|Feller|1966|p=1}}.</ref> Lebih lanjut, integral dari keseluruhan [[Fungsi kepekatan probabilitas|fungsi kepadatan peluang]] harus bernilai 1, yang memberi cara mengecek apakah fungsi tanpa nilai negatif dapat menjadi fungsi kepadatan atau tidak.<ref>{{Harvnb|Feller|1966|p=3}}.</ref>
Dalam fisika, pada bidang seperti [[kinematika]], integral digunakan untuk mencari besaran seperti [[perpindahan]], [[waktu]], dan [[kecepatan]]. Sebagai contoh, dalam [[gerak lurus]], total perpindahan dari objek pada selang waktu <math>[a,b]</math> dapat dihitung dengan <math display="block">x(b)-x(a) = \int_a^b v(t) \,dt,</math>dengan <math>v(t)</math> menyatakan kecepatan sebagai fungsi terhadap waktu.<ref>{{Harvnb|Anton|Bivens|Davis|2016|p=306}}.</ref> Besar [[Usaha (fisika)|usaha]] <math>F(x)</math> yang digunakan (ditulis sebagai fungsi terhadap posisi) dari posisi <math>A</math> ke posisi tujuan <math>B</math> adalah:<ref>{{Harvnb|Apostol|1967|p=116}}.</ref> <math display="block">W_{A\rightarrow B} = \int_A^B F(x)\,dx.</math>Integral juga digunakan dalam [[termodinamika]], dengan [[integrasi termodinamika]] dipakai untuk menghitung selisih energi bebas diantara dua keadaan.
== Perumuman ==
===
{{Main|Integral takwajar}}
{{Lihat pula|Sejarah kalkulus}}▼
[[Berkas:Improper_integral.svg|ka|jmpl|Integral takwajar<math>\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}} = \pi</math> memiliki selang yang tak-terbatas untuk domain dan nilai dari fungsi.]]Integral Riemann "wajar" mengasumsikan integran terdefinisi dan bernilai hingga pada selang tertutup dan terbatas. Integral disebut ''takwajar'' jika satu atau lebih dari kondisi tersebut tidak terpenuhi. Dalam beberapa kasus, integral seperti itu dapat didefinisikan dengan menggunakan [[Limit (matematika)|limit]] dari [[barisan]] integral Riemann wajar dengan selang yang semakin besar.
Jika selang dari integrasi tidak terbatas, sebagai contoh batas atasnya, maka integral takwajar adalah limit integral ketika batas atas menuju tak hingga:<ref>{{Harvnb|Apostol|1967|p=416}}.</ref>
: <math>\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx.</math>
Jika integran hanya terdefinisi atau terhingga pada selang setengah-buka, misalnya <math>(a,\,b],</math> maka limit (mungkin) dapat menghasilkan solusi yang terhingga:<ref>{{Harvnb|Apostol|1967|p=418}}.</ref>
: <math>\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{a+\epsilon}^{b} f(x)\,dx.</math>
Dengan kata lain, integral takwajar adalah limit dari integral wajar dengan salah satu batas integrasi menuju suatu nilai riil tertentu, atau <math>\infty,</math> atau <math>- \infty.</math> Dalam kasus-kasus yang lebih rumit, limit diperlukan pada kedua batas integrasi, atau pada titik-titik interior.
=== Integral lipat ===
{{Main|Integral lipat}}
[[Berkas:Volume_under_surface.png|ka|jmpl|Integral lipat dua yang menghitung volume dibawah permukaan <math>z=f(x,y)</math>]]Sama seperti integral tentu dari fungsi positif satu-variabel merepresentasikan luas daerah di antara grafik fungsi dan sumbu-''x'', ''integral lipat'' dari fungsi positif dua-variabel merepresentasikan volume daerah di antara permukaan fungsi dan bidang dari domainya.<ref>{{Harvnb|Anton|Bivens|Davis|2016|p=895}}.</ref> Sebagai contoh, untuk sebuah fungsi <math>f</math> bernilai riil dengan dua variabel, <math>x</math> dan <math>y,</math> integral fungsi tersebut atas persegi panjang <math>R</math> yang dihasilkan dari [[Produk Cartesius|perkalian Kartesius]] kedua selang integrasinya, <math>R=[a,b]\times [c,d],</math> dapat dituliskan sebagai<math display="block">\int_R f(x,y)\,dA</math>
dengan diferensial <math>dA</math> menandakan integrasi dilakukan terhadap luas. Integral lipat-dua ini dapat didefinisikan menggunakan [[jumlah Riemann]], dan merepresentasikan volume (bertanda) dibawah grafik <math>z=f(x,\,y)</math> atas domain <math>R.</math><ref name=":2">{{Harvnb|Anton|Bivens|Davis|2016|p=896}}.</ref> Dalam kondisi yang cocok (misal, jika <math>f</math> [[Fungsi kontinu|kontinu]]), [[teorema Fubini]] menyatakan bahwa integral ini dapat dituliskan sebagai integral berulang<ref>{{Harvnb|Anton|Bivens|Davis|2016|p=897}}.</ref> <math display="block">\int_a^b\left[\int_c^d f(x,y)\,dy\right]\,dx.</math>Bentuk tersebut menyederhanakan masalah menghitung integral lipat-dua menjadi menghitung integral satu-dimensi (sebanyak dua kali). Oleh karena itu, notasi lain dari integrasi atas <math>R</math> menggunakan simbol integral ganda:<ref name=":2" /> <math display="block">\iint_R f(x,y) \, dA.</math>Integrasi atas domain yang lebih umum dapat dilakukan. Integral dari sebuah fungsi <math>f,</math> menurut terhadap volume, atas daerah dimensi-''n'' <math>D \subseteq \R^n</math> dapat dituliskan:<math display="block">\int_D f(\mathbf x) d^n\mathbf x \ = \int_D f\,dV.</math>
=== Integral garis dan integral permukaan ===
{{Main|Integral garis|Integral permukaan}}
[[Berkas:Line-Integral.gif|ka|jmpl|Integral garis menjumlahkan elemen-elemen (panah berwarna hijau) sepanjang kurva (berwarna biru).]]Konsep dari integral dapat diperluas ke domain integrasi yang lebih umum, seperti pada kurva yang berkelok dan permukaan di ruang dimensi tinggi. Integral semacam itu masing-masing dikenal sebagai integral garis dan integral permukaan. Keduanya memiliki penerapan yang penting dalam fisika, contohnya ketika berurusan dengan [[medan vektor]].
''Integral garis'' adalah integral dengan fungsi integran dievaluasi sepanjang sebuah [[kurva]].<ref>{{Harvnb|Anton|Bivens|Davis|2016|p=980}}.</ref> Ada banyak jenis integral garis; pada kasus kurva tertutup, integral ini juga disebut dengan ''integral kontur''.
Fungsi yang diintegrasi dapat berupa [[medan skalar]] atau [[medan vektor]]. Nilai dari integral garis adalah jumlah dari nilai-nilai medan di setiap titik pada kurva, dikalikan bobot yang didapatkan dari fungsi pada kurva (umumnya [[panjang busur]], sedangkan untuk medan vektor: [[perkalian skalar]] medan vektor dengan vektor diferensial pada kurva).<ref>{{Harvnb|Anton|Bivens|Davis|2016|p=981}}.</ref> Pembobotan ini membedakan integral garis dari integral-integral sederhana yang tedefinisi pada selang. Banyak rumus dalam fisika memiliki bentuk kontinu yang alami ketika dinyatakan sebagai integral garis. Sebagai contoh, [[Usaha (fisika)|usaha]] setara dengan perkalian [[Gaya (fisika)|gaya]] <math>\mathbf F</math> dengan besar perpindahan <math>\mathbf s,</math> yang dalam bentuk vektor dituliskan sebagai:<ref>{{Harvnb|Anton|Bivens|Davis|2016|p=697}}.</ref> <math display="block">W=\mathbf F\cdot\mathbf s.</math>Untuk suatu objek yang bergerak sepanjang lintasan <math>C</math> di dalam medan vektor <math>\mathbf F,</math> misalnya [[medan listrik]] atau [[medan gravitasi]], total usaha yang dikerjakn oleh medan pada objek didapatkan dengan menjumlahkan usaha diferensial ketika memindahkan objek dari <math>\mathbf s</math> ke <math>\mathbf s + d \mathbf s.</math> Hal ini memberikan integral garis<ref>{{Harvnb|Anton|Bivens|Davis|2016|p=991}}.</ref> <math display="block">W=\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf s.</math>
[[Berkas:Surface_integral_illustration.svg|ka|jmpl|Definisi dari integral permukaan didasarkan pada proses memotong permukaan menjadi elemen-elemen permukaan yang lebih kecil.]]''Integral permukaan'' memperumum integral lipat ke integrasi atas permukaan (yang mungkin berupa himpunan yang melengkung di suatu [[Ruang (matematika)|ruang]]). Fungsi integran dapat berupa [[medan skalar]] atau [[medan vektor]]. Nilai dari integral permukaan adalah hasil penjumlahan nilai-nilai medan pada semua titik di permukaan. Penjumlahan ini dapat dilakukan dengan memotong permukaan menjadi elemen-elemen permukaan, yang selanjutnya menghasilkan partisi untuk jumlah Riemann.<ref>{{Harvnb|Anton|Bivens|Davis|2016|p=1014}}.</ref>
A ''surface integral'' generalizes double integrals to integration over a [[Surface (mathematics)|surface]] (which may be a curved set in [[space]]); it can be thought of as the [[Multiple integral|double integral]] analog of the [[line integral]]. The function to be integrated may be a [[scalar field]] or a [[vector field]]. The value of the surface integral is the sum of the field at all points on the surface. This can be achieved by splitting the surface into surface elements, which provide the partitioning for Riemann sums.
Sebagai contoh dari penerapan integral permukaan, pertimbangkan sebuah medan vektor <math>\mathbf v</math> pada permukaan <math>S;</math> maksudnya, untuk setiap titik <math>p</math> di <math>S,</math> <math>\mathbf{v}(p)</math> berupa vektor. Bayangkan suatu [[fluida]] mengalir melalui <math>S,</math> sedemikian sehingga <math>\mathbf{v}(p)</math> menyatakan kecepatan fluida di titik <math>p.</math> [[Fluks]] didefinisikan sebagai banyaknya fluida yang mengalir melalui <math>S</math> per satuan waktu. Untuk menentukan nilai fluks, kita perlu menghitung hasil [[Perkalian titik|perkalian titik]] <math>\mathbf v</math> dengan [[vektor normal]] permukaan <math>S</math> pada setiap titik, yang selanjutnya menghasilkan bentuk integral atas permukaan:<ref>{{Harvnb|Anton|Bivens|Davis|2016|p=1024}}.</ref> <math display="block">\int_S {\mathbf v}\cdot \,d{\mathbf S}.</math>Fluks dalam contoh di atas dapat berupa fluida fisik seperti air dan udara, tetapi juga bisa berupa fluks elektrik atau magnetik. Integral permukaan banyak diterapkan dalam fisika, khususnya [[Fisika klasik|teori klasik]] [[Elektromagnetisme|elektromagnetik]].
== Sejarah ==
▲{{Lihat pula|Sejarah kalkulus}}{{Periksa terjemahan|en|Integral}}
===Integrasi pra-kalkulus===
Teknik sistematis terdokumentasi pertama yang mampu menentukan integral adalah [[metode penghabis]] dari [[Yunani kuno]] astronom [[Eudoksos dari Knidos|Eudoksos]] (''ca.'' 370 SM), yang berusaha untuk menemukan luas dan volume dengan memecahnya menjadi beberapa divisi yang luas atau volumenya diketahui. Metode tersebut dikembangkan lebih lanjut dan digunakan oleh [[Archimedes]] pada abad ke-3 SM dan digunakan untuk menghitung [[luas lingkaran]], [[luas permukaan]] dan [[volume]] [[bola]], luas [[elips]], luas di bawah [[parabola]], volume segmen revolusi [[paraboloid]], volume segmen [[hiperboloid]] revolusi, dan luas [[spiral]].<ref>{{Cite book|last=Heath|first=Thomas Little|year=1897|title=Karya Archimedes|location=Inggris|publisher=Cambridge University Publications|isbn=|pages=}}</ref>
Baris 194 ⟶ 230:
Metode serupa dikembangkan secara independen di Tiongkok sekitar abad ke-3 M oleh [[Liu Hui]], yang menggunakan untuk mencari luas lingkaran. Metode ini kemudian digunakan pada abad ke-5 oleh ahli matematika ayah dan anak Tionghoa [[Zu Chongzhi]] dan [[Zu Geng (matematikawan)|Zu Geng]] untuk mencari volume bola ({{harvnb|Shea | 2007}}; {{harvnb|Katz|2004|pp=125–126}}).
Di [[Timur Tengah]], Hasan Ibn al-Haytham, dalam bahasa Latin sebagai [[Alhazen]] ({{c.|lk=no|965|1040}} AD) menurunkan rumus untuk jumlah [[pangkat empat]] s. Dia menggunakan hasil untuk melakukan apa yang sekarang disebut integrasi fungsi ini, di mana rumus untuk jumlah kuadrat integral dan [[paraboloid]].<ref name="katz">Katz, V.J. 1995. "Ide Kalkulus dalam Islam dan India." ''Majalah Matematika'' (Asosiasi Matematika Amerika), 68(3):163–174.</ref>
Kemajuan signifikan berikutnya dalam kalkulus integral baru mulai muncul pada abad ke-17. Pada saat ini, karya [[Bonaventura Cavalieri|Cavalieri]] dengan [[metode Indivisibles]] miliknya, dan karya [[Pierre de Fermat|Fermat]], mulai meletakkan dasar-dasar kalkulus modern, dengan Cavalieri menghitung integral dari {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} dengan derajat nilai {{math|''n'' {{=}} 9}} dalam [[rumus kuadrat Cavalieri]]. Langkah selanjutnya dibuat pada awal abad ke-17 oleh [[Isaac Barrow|Barrow]] dan [[Evangelista Torricelli|Torricelli]], yang memberikan petunjuk pertama tentang hubungan antara integrasi. Barrow memberikan bukti pertama dari [[teorema fundamental kalkulus]]. [[John Wallis]] menggeneralisasi metode Cavalieri, menghitung integral dari nilai {{mvar|x}} menjadi kekuatan umum, termasuk kekuatan negatif dan kekuatan pecahan.
Baris 223 ⟶ 259:
== Catatan kaki ==
<references group="lower-alpha" />
== Referensi ==
<references responsive="" />
| |||