Barisan Fibonacci: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Memperbaiki terjemahan; menambahkan konten alih bahasa dari artikel Wikipedia Bahasa Inggris en:Fibonacci_sequence (oldid 1245636428); Lihat sejarahnya untuk atribusi. |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
||
| (2 revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Short description|Barisan dengan setiap sukunya merupakan penjumlahan dari dua suku sebelumnya}}[[File:Fibonacci Squares.svg|thumb|Pengubinan dengan [[Persegi|persegi-persegi]] yang panjang sisi-sisinya adalah beberapa suku pertama barisan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 dan 21.]]Dalam [[matematika]], '''barisan Fibonacci''' adalah [[barisan]] yang setiap sukunya merupakan penjumlahan dari dua suku sebelumnya. Bilangan yang menjadi bagian dari barisan Fibonacci dikenal sebagai '''bilangan Fibonacci''', umumnya dinotasikan sebagai {{nowrap|{{math|''F<sub>n</sub>''}}{{space|hair}}}}. Barisan ini umumnya dimulai dari 0 dan 1, walau beberapa penulis memulainya dari 1 dan 1, atau terkadang (seperti Fibonacci sendiri) dari 1 dan 2. Memulai dari 0 dan 1, beberapa suku pertama barisan ini adalah<ref name="oeis">{{Cite OEIS|A000045|2=Fibonacci numbers: F(n) = F(n-1) + F(n-2) with F(0) = 0 and F(1) = 1|mode=cs2}}</ref>
: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ....
Bilangan Fibonacci pertama kali dideskripsikan dalam [[matematika India]] setidaknya sejak tahun 200 SM, dalam karya oleh [[Pingala]] terkait menghitung banyaknya pola puisi [[Bahasa Sanskerta|Sanskerta]] yang dibentuk dari dua suku kata.<ref name="GlobalScience">{{Citation|title=Toward a Global Science|first=Susantha|last=Goonatilake|publisher=Indiana University Press|year=1998|page=126|isbn=978-0-253-33388-9|url=https://books.google.com/books?id=SI5ip95BbgEC&pg=PA126}}</ref><ref name="HistoriaMathematica">{{Citation|first=Parmanand|last=Singh|title=The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India|journal=Historia Mathematica|volume=12|issue=3|pages=229–44|year=1985|doi=10.1016/0315-0860(85)90021-7|doi-access=free}}</ref><ref name="Donald Knuth 2006 50">{{Citation|title=The Art of Computer Programming|volume=4. Generating All Trees – History of Combinatorial Generation|first=Donald|last=Knuth|author-link=Donald Knuth|publisher=Addison–Wesley|year=2006|isbn=978-0-321-33570-8|page=50|url=https://books.google.com/books?id=56LNfE2QGtYC&q=rhythms&pg=PA50|quote=it was natural to consider the set of all sequences of [L] and [S] that have exactly m beats. ... there are exactly Fm+1 of them. For example the 21 sequences when {{math|1=''m'' = 7}} are: [gives list]. In this way Indian prosodists were led to discover the Fibonacci sequence, as we have observed in Section 1.2.8 (from v.1)}}</ref> Barisan ini diberi nama dengan nama matematikawan [[Italia]] Leonardo da Pisa, juga dikenal sebagai [[Fibonacci]], yang memperkenalkannya ke dunia matematika Eropa Barat lewat bukunya ''{{lang|la|[[Liber Abaci]]}}'' tahun 1202.{{Sfn|Sigler|2002|pp=404–05}}
Bilangan Fibonacci sering muncul secara tak diduga dalam matematika, sampai ada jurnal tersendiri yang didedikasikan untuk mempelajarinya, ''[[Fibonacci Quarterly]]''. Beberapa penerapan barisan Fibonacci diantaranya meliputi [[algoritma]] komputer [[teknik pencarian Fibonacci]] dan [[struktur data heap Fibonacci]]. Barisan Fibonacci juga muncul sebagai [[Pola di alam#Spiral|pola di alam]], seperti percabangan di pohon, [[Filotaksis|susunan daun pada batang]], tunas buah nanas, pembungaan di tanaman [[articok]], dan susunan dedaunan pohon cemara (meskipun tidak terjadi pada semua spesies).
Baris 76 ⟶ 75:
Pada akhir bulan ke-''n'', jumlah pasang kelinci sama dengan jumlah pasangan dewasa (yaitu jumlah pasangan di bulan {{math|''n'' – 2}}) ditambah jumlah dari pasangan yang hidup bulan lalu (bulan {{math|''n'' – 1}}). Jumlah pasangan bulan ke-{{mvar|n}} adalah bilangan Fibonacci ke-{{mvar|n}}.<ref>{{citation|last=Knott|first=Ron|title=Fibonacci's Rabbits|url=http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#Rabbits|publisher=[[University of Surrey]] Faculty of Engineering and Physical Sciences}}</ref>
Nama "barisan Fibonacci" pertama kali digunakan oleh ahli [[teori bilangan]] abad ke-19 [[Édouard Lucas]].<ref>{{Citation|first=Martin|last=Gardner|author-link=Martin Gardner|title=Mathematical Circus|publisher=The Mathematical Association of America|year=1996|isbn=978-0-88385-506-5|quote=It is ironic that Leonardo, who made valuable contributions to mathematics, is remembered today mainly because a 19th-century French number theorist, Édouard Lucas... attached the name Fibonacci to a number sequence that appears in a trivial problem in Liber abaci|page=153}}</ref>
▲== Relasi terhadap rasio emas ==
{{Main|Rasio emas}}
Baris 115 ⟶ 112:
=== Identifikasi ===
Rumus Binet memberikan bukti bahwa bilangan bulat positif <math>x</math> merupakan bilangan Fibonacci [[jika dan hanya jika]] setidaknya salah satu dari <math>5x^2+4</math> atau <math>5x^2-4</math> merupakan [[Bilangan persegi|kuadrat sempurna]].<ref>{{Citation|title=Fibonacci is a Square|last1=Gessel|first1=Ira|journal=[[The Fibonacci Quarterly]]|volume=10|issue=4|pages=417–19|date=October 1972|url=http://www.fq.math.ca/Scanned/10-4/advanced10-4.pdf|access-date=April 11, 2012}}</ref> Hal ini dapat terlihat mengalikan rumus Binet, yang dituliskan sebagai <math>F_n = (\varphi^n - (-1)^n \varphi^{-n}) / \sqrt{5}</math>, dengan <math>\sqrt{5} \varphi^n</math> lalu diselesaikan sebagai [[persamaan kuadrat]] dalam <math>\varphi^n</math> menggunakan [[Rumus kuadrat|rumus kuadratik]], menghasilkan:<math display="block">\varphi^n = \frac{F_n\sqrt{5} \pm \sqrt{5{F_n}^2 + 4(-1)^n}}{2}.</math>Membandingkan bentuk ini dengan <math>\varphi^n = F_n \varphi + F_{n-1} = (F_n\sqrt{5} + F_n + 2 F_{n-1})/2</math> didapatkan<math display="block">5{F_n}^2 + 4(-1)^n = (F_n + 2F_{n-1})^2\,.</math>yang menunjukkan ruas sisi kiri merupakan bilangan kuadrat sempurna.
== Identitas kombinatorial ==
=== Bukti kombinatorial ===
Banyak identitas terkait bilangan Fibonacci yang dapat dibuktikan menggunakan argumen kombinatorial, menggunakan fakta bahwa <math>F_n</math> dapat dianggap sebagai banyaknya (mungkin kosong) barisan berisi angka 1 dan 2 dengan jumlah total <math>n-1.</math> Hal ini dapat dipilih sebagai definisi dari <math>F_n</math>, dengan konvensi <math>F_0 = 0</math> yang mengartikan tidak ada barisan macam itu dengan total −1, dan <math>F_1 = 1</math> yang mengartikan ada satu barisan -- yakni barisan dengan panjang 0 -- dengan total 0. Menggunakan notasi <math>|{...}|</math> untuk menyatakan [[kardinalitas]] dari [[Himpunan (matematika)|himpunan]], berikut beberapa bilangan Fibonacci pertama:
: <math>F_0 = 0 = |\{\}|</math>
: <math>F_1 = 1 = |\{()\}|</math>
: <math>F_2 = 1 = |\{(1)\}|</math>
: <math>F_3 = 2 = |\{(1,1),(2)\}|</math>
: <math>F_4 = 3 = |\{(1,1,1),(1,2),(2,1)\}|</math>
: <math>F_5 = 5 = |\{(1,1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(2,2)\}|</math>
Dalam sudut pandang ini, hubungan perulangan <math display="inline">F_n = F_{n-1} + F_{n-2}</math> dapat dianggap sebagai memisahkan barisan-barisan penyusun <math>F_n</math> menjadi dua himpunan tidak-beririsan, yang masing-masing dimulai dari angka 1 atau 2:<math display="block">F_n = |\{(1,...),(1,...),...\}| + |\{(2,...),(2,...),...\}|</math>Mengabaikan suku pertama, jumlah total setiap suku barisan pada kedua himpunan tersebut masing-masing adalah <math>n-2</math> dan <math>n-3</math>. Nilai ini adalah kardinalitas dari <math>F_{n-1}</math> dan <math>F_{n-2}</math>, menunjukkan bahwa memang <math display="inline">F_n = F_{n-1} + F_{n-2}.</math>
Dengan cara yang mirip, dapat ditunjukkan bahwa jumlah dari <math>n</math> bilangan Fibonacci pertama sama dengan bilangan Fibonacci ke-<math>(n+2)</math> dikurang 1.{{Sfn|Lucas|1891|p=4}} Secara matematis:<math display="block">\sum_{i=1}^n F_i = F_{n+2} - 1</math>Identitas ini dapat dilihat sebagai memisahkan setiap barisan dengan total <math>n+1</math> berdasarkan letak angka 2 pertamanya. Hal ini akan menghasilkan himpunan-himpunan berisi barisan yang dimulai dengan suku <math>(2,...), (1,2,...), ..., </math> sampai dua himpunan terakhir <math>\{(1,1,...,1,2)\}</math> dan <math>\{(1,1,...,1)\}</math> yang masing-masing memiliki kardinalitas 1. Menggunakan logika yang sama seperti sebelumnya, dengan menghitung kardinalitas setiap himpunan yang dihasilkan kita dapatkan<math display="block">F_{n+2} = F_n + F_{n-1} + ... + |\{(1,1,...,1,2)\}| + |\{(1,1,...,1)\}|</math>dengan dua himpunan terakhir memiliki nilai <math>F_1 = 1</math>. Hubungan ini dapat ditulis sebagai <math display="inline">F_{n+2} = \sum_{i=1}^n F_n + 1</math>, yang sama dengan identitas tersebut.
Argumen yang mirip, kali ini dengan memisahkan barisan berdasarkan letak angka 1 pertamanya, menghasilkan dua identitas baru:<math display="block">\sum_{i=0}^{n-1} F_{2 i+1} = F_{2 n}</math> dan<math display="block">\sum_{i=1}^{n} F_{2 i} = F_{2 n+1}-1.</math>Dalam bentuk kalimat, jumlah dari <math>n-1</math> bilangan Fibonacci berindeks-ganjil pertama adalah bilangan Fibonacci ke-<math>2n</math>, dan jumlah dari <math>n</math> bilangan Fibonacci berindeks-genap pertama adalah bilangan Fibonacci ke-<math>(2n+1)</math> dikurang 1.<ref>{{Citation|title=Fibonacci Numbers|last1=Vorobiev|first1=Nikolaĭ Nikolaevich|first2=Mircea|last2=Martin|publisher=Birkhäuser|year=2002|isbn=978-3-7643-6135-8|chapter=Chapter 1|pages=5–6}}</ref>
[[Berkas:Fibonacci_Squares.svg|ka|nirbing|260x260px]]
Trik yang berbeda dapat digunakan untuk membuktikan<math display="block">\sum_{i=1}^n F_i^2 = F_n F_{n+1}</math>atau secara kalimat, jumlah dari kuadrat <math>n</math> bilangan Fibonacci pertama sama dengan hasil perkalian bilangan Fibonnaci ke-<math>n</math> dan ke-<math>(n+1).</math> Untuk melihat hubungan ini, mulai dengan membuat [[persegi panjang]] berukuran <math>F_n \times F_{n+1}</math> dan bagi menjadi persegi-persegi dengan panjang sisi <math>F_n, F_{n-1}, ..., F_1</math>; identitas terbukti dengan membandingkan luas keduanya.
== Identitas lain ==
Banyak
=== Identitas Cassini dan Catalan ===
{{Main|Identitas Cassini dan Catalan}}
Identitas Cassini menyatakan bahwa<math display="block">{F_n}^2 - F_{n+1}F_{n-1} = (-1)^{n-1}</math>Identitas Catalan
=== Identitas d'Ocagne ===
Identitas ini menyatakan bahwa<math display="block">F_m F_{n+1} - F_{m+1} F_n = (-1)^n F_{m-n}</math>
== Referensi ==
| |||