|
Bilangan {{Mvar|e}} diungkapkan sebagai [[Limit (matematika)|limit]]
<math display= block>\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac 1n\right)^n,</math>
ungkapan yang diperoleh saat mempelajarimenghitung [[Bunga majemuk (keuangan)|bunga majemuk]]
Selain itu, bilangan tersebut juga diungkapkan sebagai [[deret takhingga]]
<math display ="block">e = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \cdots.</math>Bilangan tersebut adalah angka positif khusus {{mvar|a}} padayang menjadikan fungsi {{math|1=''y'' = ''a''<sup>''x''</sup>}} yang menjadikan fungsi tersebut [[Kemiringan|bergradien]] 1 di titik {{math|1=''x'' = 0}}.
Lebih lanjut, bilangan tersebut juga diungkapkan sebagai <math display="block">e=\exp(1),</math> dengan <math>\exp</math> [[Fungsi eksponensial|fungsi eksponesial]], fungsi yang [[Turunan|turunannya]] sama dengan dirinya sendiri dan memiliki nilai <math>\exp(0)=1.</math> Oleh karena fungsi eksponensial sering dituliskan dengan <math>x\mapsto e^x,</math> ungkapan tersebut ditulis ulang sebagai
<math display="block">e=e^1.</math>
Fungsi [[logaritma]] berbasis {{mvar|b}} didefinisikan sebagai [[Fungsi invers|invers]] atas fungsi {{Math|<math>x\mapsto b^x.</math>}} Sebagai contoh, persamaan {{Math|<math>b=b^1</math>}} memiliki invers <math>\log_b b= 1.</math> Dengan demikian, persamaan <math>e=e^1</math> mengartikan bahwa {{mvar|e}} adalah basis logaritma natural.
Untuk bentuk lainnya, terdapat pada {{slink||Representasi}}
==Sejarah==
ReferensiPembahasan pertamamengenai untuk konstantabilangan <math>e</math> pertama kali diterbitkan pada tahun 1618 dalam tabel lampiran dari karya tentang logaritma oleh [[John Napier]] dalam karyanya mengenai tabel lampiran logaritma.<ref name="OConnor" /> Namun, tabel tersebut tidak berisi konstantabilangan itu sendiri, tetapi hanya daftar nilai logaritma yang dihitung dari konstantaberbasis <math>e</math>. DiasumsikanTabel bahwatersebut tabelsendiri tersebutdipercayai ditulissebagai olehtulisan [[William Oughtred]].
PenemuanBilangan konstanta<math>e</math> itupertama sendirikali dikreditkandiperkenalkan keoleh [[Jacob Bernoulli]] pada tahun 1683, <ref name = "Bernoulli, 1690">Jacob Bernoulli mempertimbangkan masalah peracikan bunga yang terus-menerus, yang menyebabkan ekspresi seri untuk ''e''. Lihat: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Beberapa pertanyaan tentang minat, dengan solusi masalah tentang permainan peluang, diusulkan dalam ''Journal des Savants'' (''Ephemerides Eruditorum Gallicanæ''), pada tahun (anno) 1685.**), ''Acta eruditorum'', hal 219–23. [https://books.google.com/books?id=s4pw4GyHTRcC&pg=PA222#v=onepage&q&f=false On page 222], Bernoulli poses the question: ''"Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?"'' (Ini adalah masalah jenis lain: Pertanyaannya adalah, jika beberapa pemberi pinjaman menginvestasikan [sebuah] sejumlah uang [dengan] bunga, biarlah itu menumpuk, sehingga setiap saat menerima bagian proporsional dari bunga tahunannya; berapa dia akan terutang [pada] akhir tahun?) Bernoulli menyusun deret pangkat untuk menghitung jawabannya, dan kemudian menulis: ''" … quæ nostra serie [ekspresi matematika untuk deret geometri] &c. major est. … si ''a''=''b'', debebitur plu quam 2½''a'' & minus quam 3''a''."'' (… yang deret kami [deret geometri] lebih besar [dari]. … jika ''a''=''b'', [pemberi pinjaman] akan berutang lebih dari 2½''a'' dan kurang dari 3''a''.) Jika ''a''=''b'', deret geometri direduksi menjadi deret untuk ''a'' × ''e'', jadi 2.5 < ''e'' < 3. (** Referensinya adalah pada masalah yang diajukan oleh Jacob Bernoulli dan yang muncul dalam "Journal des Sçavans" tahun 1685 di bagian bawah [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56536t/f307.image.langEN page 314.])</ref><ref>{{cite book|author1=Carl Boyer|author2=Uta Merzbach|author2-link= Uta Merzbach |title=A History of Mathematics|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye|url-access=registration|page=[https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/419 419]|publisher=Wiley|year=1991|isbn=9780471543978|edition=2nd}}</ref> yang mencoba mencari nilai dari ekspresi berikut (yang sama dengan <math>e</math>):
:<math>\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n.</math>
| 