Teorema dasar aljabar: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k v2.05b - Perbaikan untuk PW:CW (Referensi sebelum tanda baca) |
Fitur saranan suntingan: 2 pranala ditambahkan. |
||
| (Satu revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan) | |||
Baris 22:
Pada akhir abad ke-18, dua bukti baru diterbitkan yang tidak mengasumsikan keberadaan akar, tetapi tidak ada yang lengkap. Salah satunya, oleh [[James Wood (matematikawan)|James Wood]] dengan bukti yang bersifat aljabar, diterbitkan pada tahun 1798 dan dianggap valid tanpa celah awalnya. Namun, beberapa tahun kemudian, bukti Wood didapati memiliki celah aljabar.<ref>Mengenai bukti Wood, lihat artikel '' Makalah yang terlupakan tentang teorema dasar aljabar '', oleh Frank Smithies.</ref> Bukti lainnya diterbitkan oleh [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] pada tahun 1799 dengan bukti yang bersifat geometris, tetapi memiliki celah topologi, yang dilengkapi oleh [[Alexander Ostrowski]] pada tahun 1920, seperti yang dibahas di Smale.<ref>[http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183547848 Smale writes], "...Saya ingin menunjukkan betapa besarnya celah yang terkandung dalam bukti Gauss. Bahkan sekarang ini adalah titik halus bahwa kurva bidang aljabar nyata tidak dapat memasuki cakram tanpa keluar. Faktanya, meskipun Gauss memperbaiki bukti ini 50 tahun kemudian, kesenjangan tetap ada. Baru pada tahun 1920 pembuktian Gauss selesai. Dalam referensi Gauss. Ostrowski memiliki makalah yang melakukan ini dan memberikan diskusi yang sangat baik tentang masalahnya juga..."</ref> Bukti formal pertama diterbitkan oleh [[Jean-Robert Argand|Argand]] pada 1806 (dan ditinjau kembali pada 1813);<ref>{{MacTutor Biography|id=Argand|title=Jean-Robert Argand}}</ref> Di sinilah, untuk pertama kalinya, teorema dasar aljabar dinyatakan untuk polinomial dengan koefisien bilangan kompleks, bukan hanya koefisien bilangan riil. Gauss menghasilkan dua bukti lain pada tahun 1816 dan versi tidak lengkap yang lain dari bukti aslinya pada tahun 1849.
Buku teks pertama yang berisi bukti teorema dasar aljabar adalah buku karangan [[Cauchy
Tak satu pun dari bukti yang disebutkan sejauh ini adalah [[Konstruktivisme (matematika)|konstruktif]]. Hal ini pertama kali disinggung oleh [[Weierstrass]] pada pertengahan abad ke-19. Pada 1891, dia mempresentasikan bukti konstuktifnya, yang pada saat ini dikenal sebagai kombinasi dari [[metode Durand–Kerner]] dengan prinsip [[kelanjutan homotopi]]. Bukti lain yang konstruktif diberikan oleh [[Hellmuth Kneser]] pada tahun 1940 dan disederhanakan oleh putranya [[Martin Kneser]] pada tahun 1981.
Baris 66:
Apabila <math>r</math> cukup dekat dengan <math>0</math>, argumen di atas mengakibatkan batas atas dari <math>|p(z)|</math> lebih kecil daripada <math>|a|</math>, kontradiksi dengan asumsi <math>z_0</math> merupakan titik global minimum dari <math>|p(z)|</math> pada himpunan <math>D</math>. Secara geometris, argumen ini memberikan arah eksplisit <math>\theta_0</math> sedemikian sehingga jika <math>z</math> mendekati <math>z_0</math> dari arah tersebut, maka <math>|p(z)|<|p(z_0)|</math> untuk <math>r</math> yang cukup dekat dengan 0.
Bukti analitik lain dapat diperoleh dengan mengamati bahwa <math>|p(z)|>|p(z_0)|</math> di luar <math>D</math> mengakibatkan nilai minimum <math>|p(z)|</math> di seluruh bidang kompleks dicapai di <math>z_0</math>. Jika <math>|p(z_0)|>0</math>, maka <math>1/p(z)</math> adalah [[fungsi holomorfik]] terbatas di seluruh bidang kompleks, karena <math>|1/p(z)| \leq |1/p(z_0)|</math> untuk setiap bilangan kompleks <math>z</math>. Namun, [[Teorema Liouville (analisis kompleks)|Teorema Liouville]] menyatakan bahwa fungsi holomorfik yang terbatas pada <math>\mathbb{C}</math> haruslah merupakan [[fungsi konstan]]. Hal ini mengakibatkan <math>1/p(z)</math> adalah fungsi konstan, yang merupakan kontradiksi. Maka, <math>p(z_0)=0</math>.<ref>{{Cite book|last=Ahlfors|first=Lars|title=Complex Analysis (2nd ed.)|publisher=McGraw-Hill Book Company|pages=122|url-status=live}}</ref>
Bukti analitik lain mengandalkan [[prinsip argumen]]. Misalkan <math>R</math> adalah bilangan real positif yang cukup besar sehingga setiap akar dari <math>p(z)</math> memiliki [[nilai absolut]] lebih kecil dari <math>R</math>''. ''Bilangan <math>R</math> yang memenuhi sifat ini haruslah ada karena setiap fungsi polinomial tak konstan berderajat <math>n</math> memiliki paling banyak <math>n</math> akar. Untuk setiap <math>r>R</math>, tinjau bilangan<math display="block">N=\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{p'(z)}{p(z)}\,dz,</math>dimana <math>c(r)</math> adalah lingkaran yang berpusat pada titik asal dengan jari-jari <math>r</math> berorientasi berlawanan arah jarum jam. Dari [[prinsip argumen]], <math>N</math> merepresentasikan banyaknya akar dari <math>p(z)</math> (memperhitungkan multiplisitas aljabar) di dalam bola buka berpusat di <math>0</math> dengan radius <math>r</math>. Karena <math>r>R</math>, maka bilangan <math>N</math> sama dengan banyaknya pembuat nol di <math>\mathbb{C}</math>. Di sisi lain, hasil dari pembagian integral dari <math>n/z</math> sepanjang kontur <math>c(r)</math> oleh <math>2\pi i</math> sama dengan <math>n</math>. Namun, selisih dari kedua angka tersebut adalah<math display="block">\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\left(\frac{p'(z)}{p(z)}-\frac{n}{z}\right)dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{zp'(z)-np(z)}{zp(z)}\,dz.</math>
Baris 108:
==== Dengan teori Galois ====
Metode lain untuk membuktikan teorema dasar ini adalah dengan menggunakan [[teori Galois]], cukup dengan menunjukkan bahwa <math>\mathbb{C}</math> tidak memiliki perluasan lapangan sejati. Misalkan <math>K/\mathbb{C}</math> adalah perluasan berhingga. Karena penutup normal dari <math>K</math> atas lapangan <math>\mathbb{R}</math> berderajat hingga atas lapangan <math>\mathbb{C}</math> (atau <math>\mathbb{R}</math>), tanpa mengurangi keumuman, asumsikan <math>K</math> adalah perluasan normal dari <math>\mathbb{R}</math> (sehingga merupakan perluasan Galois, mengingat setiap perluasan aljabar dari lapangan dengan karakteristik 0 bersifat terpisahkan). Misalkan <math>G</math> adalah [[grup Galois]] dari perluasan <math>K/\mathbb{R}</math>, dan <math>H</math> adalah subgrup-2 Sylow dari <math>G</math>, sehingga orde dari <math>H</math> adalah perpangkatan dari bilangan 2 dan indeks subgrup <math>H</math> di <math>G</math> bernilai ganjil. Dari teorema dasar teori Galois, terdapat subperluasan <math>L</math> dari <math>K/\mathbb{R}</math> sedemikian sehingga <math>\mathrm{Gal}(K/L)=H</math>. Karena <math>[L:\mathbb{R}]=[G:H]</math> bernilai ganjil dan tidak ada polinomial real nonlinear berderajat ganjil yang tidak dapat direduksi, maka <math>L=\mathbb{R}</math> , sehingga <math>[K:\mathbb{R}]</math> dan <math>[K:\mathbb{C}]</math> adalah perpangkatan dari bilangan 2. Dengan metode kontradiksi, asumsikan bahwa <math>[K:\mathbb{C}]>1</math>, sehingga orde dari grup <math>\mathrm{Gal}(K/C)</math> adalah perpangkatan dari bilangan 2, maka terdapat subperluasan <math>M</math> dari <math>K/\mathbb{C}</math> yang memiliki derajat 2. Akan tetapi, lapangan <math>\mathbb{C}</math> tidak memiliki perluasan berderajat 2, sebab setiap polinomial kompleks kuadrat memiliki akar kompleks, sebagaimana yang telah disebutkan di atas. Ini menunjukkan bahwa <math>[K:\mathbb{C}]=1</math>, sehingga <math>K=C</math>. Dengan demikian, bukti ini selesai.<!-- [Bagian ini belum Diterjemahkan]
If ''k'' = 0, then ''n'' is odd, and therefore ''p''(''z'') has a real root. Now, suppose that ''n'' = 2''<sup>k</sup>m'' (with ''m'' odd and ''k'' > 0) and that the theorem is already proved when the degree of the polynomial has the form 2<sup>''k'' − 1</sup>''m''′ with ''m''′ odd. For a real number ''t'', define:
| |||