Fungsi (matematika): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
-range (istilah gaul) |
||
| (193 revisi antara oleh lebih dari 100 100 pengguna tak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{pp-vandalism|small=yes}}
{{referensi}}
{{Redirect|f(x)|grup musik|F(x) (grup musik)}}
[[Berkas:Graph of example function.svg|jmpl|250px|Grafik contoh sebuah fungsi,<br /> <math>\begin{align}&\scriptstyle \\ &\textstyle f(x) = \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}</math><br /> Baik domain maupun kisaran dalam gambar adalah himpunan bilangan riil di antara -1 dan 1,5]]
'''Fungsi''' dalam istilah [[matematika]] merupakan pemetaan setiap anggota sebuah [[himpunan]] (dinamakan sebagai [[domain fungsi|domain]] atau variabel bebas) kepada anggota [[himpunan]] yang lain (dinamakan sebagai [[kodomain fungsi|kodomain]] atau variabel terikat) yang dapat dinyatakan dengan lambang <math>y= f(x)</math>, atau dapat menggunakan lambang <math>g(x)</math>, <math>P(x)</math>.<ref>{{Cite web|title=function {{!}} Definition, Types, Examples, & Facts|url=https://www.britannica.com/science/function-mathematics|website=Encyclopedia Britannica|language=en|access-date=2020-08-20|archive-date=2023-05-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20230513044036/https://www.britannica.com/science/function-mathematics|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Function|url=https://mathworld.wolfram.com/Function.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2020-08-20|archive-date=2023-07-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20230713163126/https://mathworld.wolfram.com/Function.html|dead-url=no}}</ref> Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya ber''fungsi'' dengan baik.” [[Konsep]] fungsi adalah salah satu konsep dasar dari [[matematika]] dan setiap [[ilmu]] kuantitatif. Istilah "''fungsi''", "''pemetaan''", "''peta''", "''transformasi''", dan "''operator''" biasanya dipakai secara [[sinonim]].<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Map|url=https://mathworld.wolfram.com/Map.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2020-08-20|archive-date=2023-06-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20230604073453/https://mathworld.wolfram.com/Map.html|dead-url=no}}</ref>
Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti [[bilangan riil]].<ref
== Notasi ==
Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.
:<math>f
Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi ''f'' yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi ''f'' yang memetakan dua himpunan, ''A'' kepada ''B''. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.
:<math>x \in A</math>
:<math>f
atau
:<math>f(x) =\, x^2</math><ref>{{Cite web|title=What is a Function|url=https://www.mathsisfun.com/sets/function.html|website=www.mathsisfun.com|access-date=2020-08-20|archive-date=2023-06-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20230609204925/https://www.mathsisfun.com/sets/function.html|dead-url=no}}</ref>
== Fungsi sebagai relasi ==
Sebuah fungsi ''f'' dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.
== Himpunan masukan, ranah, bayangan, kodomain ==
[[Berkas:Codomain.SVG|
Misal diketahui fungsi f : A → B
Himpuan A disebut domain (daerah asal), himpunan B adalah kodomain (daerah kawan), dan anggota himpunan B yang memiliki pasangan di A disebut baynagan (daerah hasil).
== Sifat-sifat fungsi ==
=== Fungsi injektif ===
[[Fungsi]] f: A → B disebut '''fungsi satu-satu''' atau '''fungsi injektif''' jika dan hanya jika untuk sembarang a<sub>1</sub> dan a<sub>2</sub> <math> \in A</math> dengan ''a<sub>1</sub>'' tidak sama dengan ''a<sub>2</sub>'' berlaku ''f''(''a<sub>1</sub>'') tidak sama dengan ''f''(''a<sub>2</sub>''). Dengan kata lain, bila ''a<sub>1</sub>'' = ''a<sub>2</sub>'' maka ''f''(''a<sub>1</sub>'') sama dengan ''f''(''a<sub>2</sub>'').
Contoh:
A = {1, 2, 3}<br>
B = {a, b, c}<br>
F: A => B {(1,a), (2,a), (3,b)}
=== Fungsi surjektif ===
Fungsi f: A → B disebut '''fungsi kepada''', '''fungsi onto''' atau '''fungsi surjektif''' jika dan hanya jika untuk
Contoh:
A = {1, 2, 3}<br>
B = {a, b}<br>
F: A => B {(1,a), (2,a), (3,b)}
=== Fungsi bijektif ===
[[Berkas:Bijection.svg|jmpl|250px|Fungsi bijektif]]
Fungsi f: A → B disebut '''fungsi korespondensi satu-satu''', '''fungsi into''', '''fungsi bijektif''' jika dan hanya jika untuk sebarang ''b'' dalam kodomain ''B'' terdapat tepat satu ''a'' dalam domain ''A'' sehingga ''f''(''a'') = ''b'', dan tidak ada anggota ''A'' yang tidak terpetakan dalam ''B''. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.<ref name=":0" />
Contoh:
A = {1, 2, 3}<br>
B = {a, b, c}<br>
F: A => B {(1,a), (2,b), (3,c)}
==
Rumus fungsi ganjil dan genap yaitu <math>f(-x) = - f(x)</math> untuk fungsi ganjil dan <math>f(-x) = f(x)</math> untuk fungsi genap.
== Fungsi eksplisit dan implisit ==
# Fungsi eksplisit
Contoh: <math>y = 2x + 3</math>, <math>y = \sqrt{4x^2 + 5}</math>, <math>y = -2x + \sqrt{2}</math>
# Fungsi implisit
Ada dua jenis yaitu:
## implisit eksplisit
adalah fungsi yang dapat diubah menjadi fungsi eksplisit.
Contoh: <math>5x + 7y = 8</math>, <math>3x^2 + 2y^2 = 7</math>, <math>x^2 + 4xy + 4y^2 = 5</math>
## implisit noneksplisit
adalah fungsi yang dapat tidak diubah menjadi fungsi eksplisit.
Contoh: <math>2x^2 + xy + 3y^2 = 8</math>
== Gambar fungsi pecahan ==
Fungsi pecahan terdiri dari
;# <math>y = \frac{ax+b}{px+q}</math> dengan p ≠ 0.
Langkah untuk gambar:
# Titik sumbu x (y = 0)
# Titik sumbu y (x = 0)
# Asimtot datar <math>y = \frac{a}{p}</math>
# Asimtot tegak <math>x = \frac{-q}{p}</math>
# Titik-titik lain
;# <math>y = \frac{ax+b}{px^2+qx+r}</math> dengan {p, q} ≠ 0.
Langkah untuk gambar:
# Titik sumbu x (y = 0)
# Titik sumbu y (x = 0)
# Asimtot datar y = 0
# Asimtot tegak penyebut = 0 dengan cari x
# Harga Ekstrem/Titik balik
<math>y = \frac{ax+b}{px^2+qx+r}</math> diubah menjadi <math>ypx^2+(yq-a)x+(yr-b) = 0</math> lalu cari y dengan menggunakan diskriminan (<math>D = b^2-4ac</math>) lalu cari x dengan menggunakan (<math>x = - \frac{b}{2a}</math>)
# Titik-titik lain
;# <math>y = \frac{ax^2+bx+c}{px+q}</math> dengan {a, p} ≠ 0.
Langkah untuk gambar:
# Titik sumbu x (y = 0)
# Titik sumbu y (x = 0)
# Asimtot tegak <math>x = \frac{-q}{p}</math>
# Asimtot miring dimana pembilang dibagi penyebut yaitu <math>y = mx + n + \frac{l}{px+q}</math> jadi ambil y = mx + n saja
# Harga Ekstrem/Titik balik
<math>y = \frac{ax^2+bx+c}{px+q}</math> diubah menjadi <math>ax^2+(b-yp)x+(c-yq) = 0</math> lalu cari y dengan menggunakan diskriminan (<math>D = b^2-4ac</math>) lalu cari x dengan menggunakan (<math>x = - \frac{b}{2a}</math>)
# Titik-titik lain
;# <math>y = \frac{ax^2+bx+c}{px^2+qx+r}</math> dengan {a, p, q} ≠ 0.
Langkah untuk gambar:
# Titik sumbu x (y = 0)
# Titik sumbu y (x = 0)
# Asimtot datar <math>y = \frac{a}{p}</math>
# Asimtot tegak penyebut = 0 dengan cari x
# Harga Ekstrem/Titik balik
<math>y = \frac{ax^2+bx+c}{px^2+qx+r}</math> diubah menjadi <math>(yp-a)x^2+(yq-b)x+(yr-c) = 0</math> lalu cari y dengan menggunakan diskriminan (<math>D = b^2-4ac</math>) lalu cari x dengan menggunakan (<math>x = - \frac{b}{2a}</math>)
# Titik potong dengan asimtot datar untuk mencari x dimana y adalah asimtot datar
# Titik-titik lain
== Komposisi fungsi ==
{{utama|Komposisi fungsi}}
=== Contoh ===
* Tentukan <math>f(x) \circ g(x)</math> dan <math>g(x) \circ f(x)</math> dari <math>f(x)= 2x + 3</math> dan <math>g(x) = 4x + 7</math>!
: <math>f (x) \circ g (x) = f(g(x))</math>
: <math>f(g(x)) = f(4x + 7)</math>
: <math>f(g(x)) = 2(4x + 7) + 3</math>
: <math>f(g(x)) = 8x + 17</math>
: <math>g (x) \circ f (x) = g(f(x))</math>
: <math>g(f(x)) = g(2x + 3)</math>
: <math>g(f(x)) = 4(2x + 3) + 7</math>
: <math>g(f(x)) = 8x + 19</math>
* Tentukan <math>f(x)</math> dari <math>g(x) = 4x + 7</math>
;a <math>f(g(x)) = 8x + 17</math>!
;b <math>g(f(x)) = 8x + 19</math>!
a
: <math>f(g(x)) = 8x + 17</math>
: <math>f(4x + 7) = 8x + 17</math>
: <math>f(\frac{4x + 7 - 7}{4}) = 8(\frac{x - 7}{4}) + 17</math>
: <math>f(x) = 2x - 14 + 17</math>
: <math>f(x) = 2x + 3</math>
b
: <math>g(f(x)) = 8x + 19</math>
: <math>4 f(x) + 7 = 8x + 19</math>
: <math>\frac{4 f(x) + 7 - 7}{4}= \frac{8x + 19 - 7}{4}</math>
: <math>f(x) = 2x + 3</math>
* Tentukan <math>f(x) \circ g(x)</math> dan <math>g(x) \circ f(x)</math> dari <math>f(x)= 5x + 3</math> dan <math>g(x) = x^2 + 4x + 7</math>!
: <math>f (x) \circ g (x) = f(g(x))</math>
: <math>f(g(x)) = f(x^2 + 4x + 7)</math>
: <math>f(g(x)) = 5(x^2 + 4x + 7) + 3</math>
: <math>f(g(x)) = 5x^2 + 20x + 38</math>
: <math>g (x) \circ f (x) = (f(x))</math>
: <math>g(f(x)) = g(5x + 3)</math>
: <math>g(f(x)) = (5x + 3)^2 + 4(5x + 3) + 7</math>
: <math>g(f(x)) = 25x^2 + 30x + 9 + 20x + 12 + 7</math>
: <math>g(f(x)) = 25x^2 + 50x + 28</math>
* Tentukan <math>g(x)</math> dari <math>f(x)= 5x + 3</math>
;a <math>f(g(x)) = 5x^2 + 20x + 38</math>!
;b <math>g(f(x)) = 25x^2 + 50x + 28</math>!
a
: <math>f(g(x)) = 5x^2 + 20x + 38</math>
: <math>5 g(x) + 3 = 5x^2 + 20x + 38</math>
: <math>\frac{5 g(x) + 3 - 3}{5} = \frac{5x^2 + 20x + 38 - 3}{5}</math>
: <math>g(x) = x^2 + 4x + 7</math>
b
: <math>g(f(x)) = 25x^2 + 50x + 28</math>
: <math>g(5x + 3) = 25x^2 + 50x + 28</math>
: <math>g(\frac{5x + 3 - 3}{5}) = 25(\frac{x - 3}{5})^2 + 50(\frac{x - 3}{5}) + 28</math>
: <math>g(x) = 25(\frac{x^2 - 6x +9}{25}) + 10x - 30 + 28</math>
: <math>g(x) = x^2 + 4x + 7</math>
* Tentukan <math>f(x)</math> dari <math>g(x) = x^2 + 4x + 7</math>
;a <math>f(g(x)) = 5x^2 + 20x + 38</math>!
;b <math>g(f(x)) = 25x^2 + 50x + 28</math>!
a
: <math>f(g(x)) = 5x^2 + 20x + 38</math>
: <math>f(x^2 + 4x + 7) = 5x^2 + 20x + 38</math>
: <math>f(x^2 + 4x + 7) = 5x^2 + 20x + 35 - 35 + 38</math>
: <math>f(x^2 + 4x + 7) = 5(x^2 + 4x + 7) + 3</math>
: <math>f(x) = 5x + 3</math>
b
: <math>g(f(x)) = 25x^2 + 50x + 28</math>
: <math>(f(x))^2 + 4 f(x) + 7 = 25x^2 + 50x + 28</math>
: <math>(f(x))^2 + 4 f(x) + 4 - 4 + 7 = 25x^2 + 50x + 25 - 25 + 28</math>
: <math>(f(x) + 2)^2 + 3 = (5x + 5)^2 + 3</math>
: <math>f(x) + 2 = 5x + 5</math>
: <math>f(x) = 5x + 3</math>
== Referensi ==
<references />
== Lihat pula ==
{{commons|Functions}}
* [[Fungsi invers]]
* [[Komposisi fungsi]]
* [[Himpunan]]
* [[Relasi biner]]
[[Kategori:Fungsi matematika]]
| |||