Relasi biner: Perbedaan antara revisi

 

== Definisi ==

== Relasi A×A ==

Sebuah relasi ''A''×''A'', yaitu relasi dari himpunan ''A'' kepada ''A'' sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:

Kita menyebut relasi ''R'' dari ''A'' kepada ''A'' sebagai relasi ''R'' dalam ''A''.

 

:<math>\forall_{a \in A}\quad (a,a) \in R </math>

atau

Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “''x'' selalu bersama ''y''.”, dengan ''x'' dan ''y'' adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

 

Relasi ''R'' dalam ''A'' disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen ''A'' tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

:<math>\forall_{a \in A}\quad (a,a) \notin R </math>

Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

 

Relasi ''R'' dalam ''A'' disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota ''A'' berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika ''a'' terhubung dengan ''b'', maka ''b'' juga terhubung dengan ''a''. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

:<math>\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R</math>

Sebuah relasi “<math>x+y</math> genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang ''x'' dan ''y'' yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai ''y'' dan ''x'', relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

 

Jika setiap ''a'' dan ''b'' yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi ''a'' dan ''b'' berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.

:<math>\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow ((a,b) \in R \rightarrow (b,a) \notin R)</math>

Relasi <math>\leq</math> bersifat anti-simetrik, karena <math>5 \leq 6</math> mengakibatkan <math>\lnot (6 \leq 5)</math>. Demikian juga jika ada ''p'' dan ''q'' yang terhadap mereka berlaku <math>p \leq q</math> dan <math>q \leq p</math> berarti <math>p = q</math>.

 

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika ''a'' berhubungan dengan ''b'', dan ''b'' berhubungan dengan ''c'', maka ''a'' berhubungan dengan ''c'' secara langsung.

 

atau

 

 

Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

 

== Relasi khusus ==

 

Orde parsial adalah relasi yang bersifat:

 

== Lihat pula ==

* [[Teori himpunan]]

* [[Himpunan]]

 

[[Kategori:Teori himpunan]]