Ukuran pemusatan data: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
|||
| (82 revisi perantara oleh 14 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Normal-data.jpg|jmpl|Data menyebar normal sehingga Median, Mean dan Modus relatif sama]]
[[Berkas:Menjulur Ke Kanan.jpg|jmpl|Data menjulur ke kanan sehingga Median, Mean dan Modus berbeda-beda]]
'''Ukuran pemusatan data''' adalah sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang terkecil.<ref name="walpole">Ronald E.Walpole. ''Pengantar Statistika, halaman 22-27". 1993. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama. ISBN 979-403-313-8''</ref> Salah satu kegunaan dari ukuran pemusatan data adalah untuk membandingkan dua ([[Populasi (statistika)|populasi]]) atau contoh, karena sangat sulit untuk membandingkan masing-masing anggota dari masing-masing anggota populasi atau masing-masing anggota data contoh.<ref name="dajan">Anton Dajan. ''Pengantar Metode Statistik Jilid I halaman 100-146". 1981. Jakarta: Lembaga Penelitian, Pendidikan dan Penerangan Ekonomi dan Sosial</ref> Nilai ukuran pemusatan ini dibuat sedemikian sehingga cukup mewakili seluruh nilai pada data yang bersangkutan.<ref name="dajan"/>
Ukuran pemusatan yang paling banyak digunakan adalah [[median]], [[mean]], dan [[modus (statistika)|modus]].<ref name="walpole"/> Masing-masing dari ukuran pemusatan data tersebut memiliki kekurangan.<ref name="walpole"/> Nilai tengah akan sangat dipengaruh nilai [[pencilan]].<ref name="walpole"/> Median terlalu bervariasi untuk dijadikan [[parameter (statistika)|parameter]] populasi.<ref name="walpole"/> Sedangkan modus hanya dapat diterapkan dalam data dengan ukuran yang besar.<ref name="walpole"/>
== Jenis-jenis ukuran pemusatan data ==
=== Data tunggal ===
* Mean
merupakan rata-rata hitung
: <math display="block">\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n}{n} = \sum\limits_{i=0}^{n}\frac{x_i}{n}</math>
* Median
merupakan nilai tengah setelah diurutkan
: bila ganjil maka terambil di tengah setelah diurutkan. bila genap terambil dua di tengah dibagi rata-rata setelah diurutkan
: <math>Me = x_{\frac{n + 1}{2}}</math> bila n ganjil
: <math>Me = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{(\frac{n}{2} + 1)}}{2}</math> bila n genap
* Modus
merupakan nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi
: terambil jumlahnya paling banyak setelah diurutkan
* Kuartil
merupakan membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak
: <math> Q_i = \frac {i (n + 1)}{4}</math>
terdiri dari tiga jenis yaitu kuartil bawah, tengah dan atas.
{| class="wikitable"
|-
! rowspan=2| Kuartil !! colspan=2| Ganjil !! colspan=2| Genap
|-
! n+1 tidak habis dibagi 4 !! n+1 habis dibagi 4 !! n tidak habis dibagi 4 !! n habis dibagi 4
|-
| Kuartil bawah (Q1) || <math>\frac{x_{\frac{n-1}{4}} + x_{(\frac{n-1}{4} + 1)}}{2}</math> || <math>x_{\frac{n+1}{4}}</math> || <math>x_{\frac{n+2}{4}}</math> || <math>\frac{x_{\frac{n}{4}} + x_{(\frac{n}{4} + 1)}}{2}</math>
|-
| Kuartil tengah (Q2) || colspan=2| <math>x_{\frac{n + 1}{2}}</math> || colspan=2| <math>\frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{(\frac{n}{2} + 1)}}{2}</math>
|-
| Kuartil atas (Q3) || <math>\frac{x_{\frac{3n+1}{4}} + x_{(\frac{3n+1}{4} + 1)}}{2}</math> || <math>x_{\frac{3(n+1)}{4}}</math> || <math>x_{\frac{3n+2}{4}}</math> || <math>\frac{x_{\frac{3n}{4}} + x_{(\frac{3n}{4} + 1)}}{2}</math>
|}
atau
{| class="wikitable"
|-
! Kuartil !! Ganjil !! Genap
|-
| Kuartil bawah (Q1) || <math>\frac{n+1}{4}</math> || <math>\frac{n+2}{4}</math>
|-
| Kuartil tengah (Q2) || <math>\frac{n+1}{2}</math> || <math>\frac{X_{\frac{n}{2}+ X_{(\frac{n}{2}+1)}}}{2}</math>
|-
| Kuartil atas (Q3) || <math>\frac{3 \cdot (n+1)}{4} </math> || <math>\frac{3n+2}{4}</math>
|}
* Desil
merupakan membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak
: <math> D_i = \frac {i (n + 1)}{10}</math>
terdiri dari tiga jenis yaitu desil bawah, tengah dan atas. untuk menentukan rumusnya sama dengan tabel yang dibuat data kuartil.
* Persentil
merupakan membagi data menjadi seratus bagian yang sama banyak
: <math> P_i = \frac {i (n + 1)}{100}</math>
terdiri dari tiga jenis yaitu presentil bawah, tengah dan atas. untuk menentukan rumusnya sama dengan tabel yang dibuat data kuartil.
=== Data berkelompok ===
Dalam data berkelompok terdiri dari tabel, [[diagram]] garis, diagram batang serta diagram lingkaran.
* Mean
: <math>\bar{x} = \frac{f_1 x_1 + f_2 x_2 + f_3 x_3 + \cdots + f_n x_n}{f_1 + f_2 + f_3 + \cdots + f_n} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i x_i}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}</math>
: <math>\bar{x} = \bar{x_s} + \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i d_i}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}</math>
: <math>\bar{x} = \bar{x_s} + (\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i u}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}) c</math>
; keterangan
# <math>f_i </math> = frekuensi untuk nilai i
# <math>x_i</math> = data ke-i (untuk data tunggal) atau titik tengah rentang tertentu ke-i (data kelompok)
# <math>x_s</math>= titik tengah rataan sementara
# <math>d_i</math> = panjang interval antar rentang tertentu pada <math>x_i</math> (jika <math>x_s</math> maka d adalah nol. Di atasnya bernilai min dan dibawahnya bernilai plus)
# u = [[bilangan bulat]] (jika <math>x_s</math> maka u adalah nol. diatasnya min serta dibawahnya plus)
# c = panjang interval kelas
* Median
: <math>Me = L_2 + (\frac{\frac{n}{2} - (\sum{f})_2}{f_{Me}}) c</math>
; keterangan
# <math>L_2</math> = tepi bawah kelas median
# n = banyak data
# <math>(\sum{f})_2</math> = jumlah frekuensi sebelum kelas median
# <math>f_{Me}</math> = frekuensi kelas median
# c = panjang interval kelas
* Modus
: <math>Mo = L_o + (\frac{d_1}{d_1 + d_2}) c</math>
keterangan
# <math>L_o</math> = tepi bawah kelas modus
# <math>d_1</math> = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum modus
# <math>d_2</math> = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah modus
# c = panjang interval kelas
* Kuartil
: <math>Q_i = L_i + (\frac{\frac{i n}{4} - (\sum{f})_i}{f_{Q_i}})c</math>
; keterangan
# i = 1, 2 atau 3
# <math>L_i</math> = tepi bawah kelas kuartil ke-i
# n = banyak data
# <math>(\sum{f})_i</math> = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i
# <math>f_{Q_i}</math> = frekuensi kelas kuartil ke-i
# c = panjang interval kelas
* Desil
: <math>D_i = L_i + (\frac{\frac{i n}{10} - (\sum{f})_i}{f_{D_i}})c</math>
; keterangan
# i = 1, 2, 3, ....., 9
# <math>L_i</math> = tepi bawah kelas desil ke-i
# n = banyak data
# <math>(\sum{f})_i</math> = jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i
# <math>f_{Q_i}</math> = frekuensi kelas desil ke-i
# c = panjang interval kelas
* Persentil
: <math>P_i = L_i + (\frac{\frac{i n}{100} - (\sum{f})_i}{f_{P_i}})c</math>
; keterangan
# i = 1, 2, 3, ....., 99
# <math>L_i</math> = tepi bawah kelas persentil ke-i
# n = banyak data
# <math>(\sum{f})_i</math> = jumlah frekuensi sebelum kelas persentil ke-i
# <math>f_{Q_i}</math> = frekuensi kelas persentil ke-i
# c = panjang interval kelas
== Jenis-jenis ukuran penyebaran data ==
{{main|Ukuran penyebaran data}}
* Lima serangkai
{|
|-
| <math>x_{min}</math> || <math>Q_1</math> || <math>Q_2</math> || <math>Q_3</math> || <math>x_{max}</math>
|}
* Rataan dua
: <math>R_2 = \frac{Q_1 + Q_3}{2}</math>
* Rataan tiga
: <math>R_3 = \frac{Q_1 + 2 Q_2 + Q_3}{2}</math>
* Jangkauan atau Range
: <math>J = x_{max} - x_{min} </math>
* Jangkauan kuartil atau Hamparan
: <math>H = Q_3 -Q_1</math>
* Jangkauan semi kuartil atau Simpangan kuartil
: <math>Q_d = \frac{Q_3 -Q_1}{2}</math>
* Simpangan rata-rata
; Data tunggal
: <math>SR = \frac{\sum {| x_i - \bar{x} |}}{n}</math>
; Data berkelompok
: <math>SR = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i | x_i - \bar{x} |}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}</math>
* Ragam atau Varian
; Data tunggal
: <math>V = \frac{\sum {| x_i - \bar{x} |^2}}{n}</math>
; Data berkelompok
: <math>V = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i | x_i - \bar{x} |^2}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}</math>
* [[Simpangan baku]] atau deviasi
: <math>SB = \sqrt{V}</math>
; Data tunggal
: <math>S = \sqrt{\frac{\sum {| x_i - \bar{x} |^2}}{n}}</math>
; Data berkelompok
: <math>S = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i | x_i - \bar{x} |^2}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f_i}}}</math>
== Lihat pula ==
* [[Ukuran penyebaran data]]
* [[Probabilitas]]
* [[Statistika matematika]]
== Rujukan ==
{{reflist}}
[[Kategori:Statistika]]
| |||