Matriks (matematika): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Removing external link: *.jimmysie.com -- per m:User:COIBot/XWiki/jimmysie.com. Translate this summary. |
NikolasKHF (bicara | kontrib) k Perbaikan sedikit salah ketik. |
||
| (138 revisi perantara oleh 69 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{kegunaanlain
{{redirects|Teori matriks|topik fisika|Teori matriks string}}
[[Berkas:Matrix.svg|jmpl|247px|ka|Baris ''m'' adalah vertikal dan kolom ''n'' horizontal. Setiap elemen matriks sering dilambangkan menggunakan variabel dengan dua [[notasi indeks]]. Misalnya, ''a''<sub>2,1</sub> mewakili elemen pada baris kedua dan kolom pertama dari matriks '''A'''.]]
Dalam [[matematika]], '''matriks''' adalah [[wikt:susunan|susunan]]<ref>Secara ekuivalen, ''[[wikt:tabel|tabel]]''.</ref> [[bilangan]], [[simbol|simbol]], atau [[Ekspresi (matematika)|ekspresi]] yang disusun dalam [[wikt:baris|baris]] dan [[wikt:kolom|kolom]] sehingga membentuk suatu bangun [[persegi]].<ref>{{harvtxt|Anton|1987|p=23}}</ref><ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=56}}</ref> Sebagai contoh, matriks di bawah ini adalah matriks berukuran 2 × 3 (baca "dua kali tiga"):<math display="block">\begin{bmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 5 & -6 \end{bmatrix}</math>karena terdiri dari dua baris dan tiga kolom.
Setiap objek dalam matriks '''<math>\mathbf{A}</math>''' berdimensi <math>m \times n</math> sering dilambangkan dengan <math>a_{i,j}</math>, dimana nilai maksimum <math>i = m</math> dan nilai maksimum <math>j = n</math>. Objek dalam matriks disebut ''elemen'', ''entri'', atau ''anggota'' matriks.<ref>{{cite book|last1=Young|first1=Cynthia|title=Precalculus|publisher=Laurie Rosatone|page=727|accessdate=2015-02-06}}</ref>
Jika dua matriks memiliki dimensi yang sama (masing-masing matriks memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama), kedua matriks tersebut dapat dijumlahkan maupun dikurangkan secara elemen demi elemen. Namun, berdasarkan aturan [[perkalian matriks]], dua matriks hanya dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Perkalian ini akan menghasilkan matriks dengan ukuran jumlah baris matriks pertama dan jumlah kolom matriks kedua. Artinya, perkalian matriks <math>m \times \mathbf{n} </math> dengan matriks <math>\mathbf{n} \times p</math> menghasilkan matriks <math>m \times p</math>. Perkalian matriks tidak bersifat [[komutatif]].
Matriks umumnya digunakan untuk merepresentasikan [[transformasi linear]], yakni suatu generalisasi [[fungsi linear]] seperti <math>f(x) = 4x</math>. Sebagai contoh, efek [[Rotasi (matematika)|rotasi]] pada ruang [[dimensi]] tiga merupakan sebuah transformasi linear yang dapat dilambangkan dengan matriks rotasi <math>\mathbf{R}</math>. Jika <math>v</math> adalah sebuah [[Vektor (spasial)|vektor]] di dimensi tiga, hasil dari <math>\mathbf{R}v</math> menyatakan posisi titik tersebut setelah dirotasi. Hasil perkalian dari dua matriks adalah sebuah matriks yang melambangkan [[Komposisi (matematika)|komposisi]] dari dua transformasi linear. Salah satu aplikasi lain dari matriks adalah menemukan solusi [[persamaan linear|sistem persamaan linear]]. Jika matriks merupakan [[matriks persegi]], beberapa sifat dari matriks tersebut dapat diketahui dengan menghitung nilai [[determinan]]. Misalnya, matriks persegi memiliki [[Matriks invers|invers]] [[jika dan hanya jika]] nilai determinannya tidak sama dengan nol. Sisi [[geometri]] dari sebuah transformasi linear (dan beberapa hal lain) dapat diketahui dari ''eigenvalue'' dan ''eigenvector'' matriks.
Aplikasi dari matriks ditemukan pada banyak bidang sains. Pada bidang-bidang [[fisika]], contohnya [[mekanika klasik]], [[mekanika kuantum]], dan [[optika]], matriks digunakan untuk mempelajari keadaan fisis, seperti pergerakan planet. Dalam bidang [[grafika komputer]], matriks digunakan untuk memanipulasi [[model 3D]] dan memproyeksikannya ke sebuah layar dua dimensi. Pada bidang [[Peluang (matematika)|teori probabilitas]] dan [[statistika]], [[matriks stokastik]] digunakan untuk menjelaskan probabilitas keadaan; contohnya dalam algoritma [[PageRank]] dalam menentukan urutan halaman pada pencarian [[Google]]. [[Kalkulus matriks]] menggeneralisasi bentuk analitik klasik dari [[turunan]] dan [[Eksponensiasi|eksponensial]] ke dimensi yang lebih tinggi. Matriks juga digunakan dalam bidang [[ekonomi]] untuk menjelaskan sistem dari relasi ekonomi.
== Definisi ==
Matriks adalah susunan angka atau objek matematika lainnya yang disusun dalam bentuk baris dan kolom, dimana operasi seperti penjumlahan dan perkalian dapat didefinisikan. Umumnya, matriks di atas [[Medan (matematika)|medan]] <math>F</math> berisi elemen-elemen dari <math>F</math>. Sebagian besar artikel ini berfokus pada matriks riil dan kompleks, yaitu matriks yang masing-masing elemennya berupa [[bilangan riil]] atau [[bilangan kompleks]]. Jenis elemen matriks yang umum akan dibahas di bawah. Sebagai contoh, ini adalah sebuah matriks riil:
<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
-1.3 & 0.6 \\
20.4 & 5.5 \\
9.7 & -6.2
\end{bmatrix}. </math>
=== Ukuran ===
Ukuran matriks ditentukan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. Matriks dengan jumlah kolom <math>m</math> dan jumlah baris <math>n</math> disebut matriks <math>m \times n</math> atau matriks "m kali n", dimana <math>m</math> dan <math>n</math> adalah dimensinya. Sebagai contoh, matriks '''<math>\mathbf{A}</math>''' di atas adalah matriks <math>3 \times 2</math>. Matriks dengan satu baris disebut vektor baris, dan matriks dengan satu kolom disebut vektor kolom. Matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama disebut matriks persegi. Matriks dengan jumlah baris atau kolom yang tak terbatas (atau keduanya) disebut [[matriks tak terbatas]]. Dalam beberapa konteks, akan bermanfaat untuk mempertimbangkan sebuah matriks tanpa baris atau tanpa kolom, yang disebut [[matriks kosong]].
{| class="wikitable"
!Nama
!Ukuran
!Contoh
!Deskripsi
|-
|Vektor baris
|1 × ''n''
| style="text-align:center;" |<math>\begin{bmatrix}3 & 7 & 2 \end{bmatrix}</math>
|Sebuah matriks dengan satu baris, terkadang digunakan untuk melambangkan sebuah vektor
|-
|Vektor kolom
|''n'' × 1
| style="text-align:center;" |<math>\begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ 8 \end{bmatrix}</math>
|Sebuah matriks dengan satu kolom, terkadang digunakan untuk melambangkan sebuah vektor
|-
|Matriks persegi
|''n'' × ''n''
| style="text-align:center;" |<math>\begin{bmatrix}
9 & 13 & 5 \\
1 & 11 & 7 \\
2 & 6 & 3
\end{bmatrix}</math>
|Sebuah matriks dengan jumlah baris dan jumlah kolom yang sama, terkadang digunakan untuk melambangkan sebuah transformasi linear dari sebuah ruang vektor ke dirinya sendiri, seperti [[Refleksi (matematika)|refleksi]], [[Rotasi (matematika)|rotasi]], dan [[Shear (matematika)|shear]].
|}
== Notasi ==
Matriks pada umumnya ditulis dalam tanda kurung siku/kurung kurawal:<math display="block"> \mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix} =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}=\left(a_{ij}\right) \in \mathbb{R}^{m \times n}.
</math>Notasi simbolik untuk menyatakan suatu matriks sangat bervariasi, namun beberapa notasi lebih umum dipakai. Matriks biasanya dilambangkan dengan menggunakan huruf besar (seperti '''<math>\mathbf{A}</math>''' pada contoh di atas). Sedangkan huruf kecil yang sesuai, dengan dua indeks subskrip, misal <math>a_{1,1}</math>, untuk menyebutkan elemen matriks tersebut. Selain menggunakan huruf besar untuk melambangkan matriks, banyak penulis menggunakan gaya tipografi khusus, yang biasanya dicetak tebal tegak, untuk lebih membedakan matriks dari objek matematika lainnya. Notasi alternatif melibatkan penggunaan garis bawah ganda (''double-underline'') dengan nama variabel, dengan atau tanpa gaya cetak tebal (contohnya <math>\underline{\underline{A}}</math>).
Elemen baris ke-<math>i</math> dan kolom ke-<math>j</math> dari matriks '''<math>\mathbf{A}</math>''' terkadang dirujuk sebagai elemen ke <math>(i,\,j)</math> dari matriks, dan umumnya ditulis sebagai <math>a_{i,\,j}</math> atau <math>a_{ij}</math>. Alternatif notasi yang lain adalah <math>A[i,j]</math> atau <math>A_{i,j}</math>. Sebagai contoh, elemen ke <math>(1, 3)</math> dari matriks '''<math>\mathbf{A}</math>''' berikut dapat ditulis sebagai <math>a_{1,\,3
}</math>, <math>a_{13}</math>, <math>A[1,\, 3]</math> maupun <math>A_{1,\, 3}</math>.
<math>
\mathbf{A}=\begin{bmatrix}
4 & -7 & \color{red}{5} & 0 \\
-2 & 0 & 11 & 8 \\
19 & 1 & -3 & 12
\end{bmatrix}</math>
Terkadang, elemen dari sebuah matriks dapat didefinisikan dengan menggunakan suatu rumus <math>a_{i,j} = f(i,j)</math>. Sebagai contoh, setiap elemen dari matriks '''<math>\mathbf{A}</math>''' berikut didefinisikan sebagai <math>a_{i,j} = i-j</math>
: <math>\mathbf A = \begin{bmatrix}
0 & -1 & -2 & -3\\
1 & 0 & -1 & -2\\
2 & 1 & 0 & -1
\end{bmatrix}</math>.
Dalam kasus seperti ini, matriks tersebut juga dapat didefinisikan oleh rumus yang sama, dengan menggunakan kurung siku atau tanda kurung ganda. Pada contoh di atas, matriks dapat didefinisikan sebagai <math>\mathbf{A} = [i-j]</math> atau <math>\mathbf{A} = ((i-j))</math>.
Simbol bintang (asterisk) terkadang digunakan untuk merujuk sebuah baris atau sebuah kolom pada matriks. Sebagai contoh, <math>a_{i,\star}</math>merujuk pada baris ke-<math>i</math> dari matriks '''<math>\mathbf{A}</math>''', dan <math>a_{\star,j}</math> merujuk pada baris ke-<math>j</math> dari matriks <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span>. Himpunan semua matriks <math>m \times n</math> dilambangkan dengan <math>\mathbb{M}_{m\times n}</math>.
== Operasi dasar ==
Ada sejumlah operasi dasar yang dapat diterapkan untuk memodifikasi matriks. Operasi dasar pada matriks meliputi penambahan matriks, [[perkalian skalar]], transposisi, perkalian matriks, operasi baris, dan submatriks.
=== Penjumlahan dan pengurangan matriks ===
[[Penjumlahan matriks|Penjumlahan]] dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.
:<math>a_{ij} \pm b_{ij} = c_{ij}\!</math>
atau dalam representasi dekoratifnya
:<math>
\begin{align}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
Baris 29 ⟶ 108:
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
(a_{11} \pm b_{11}) & (a_{12} \pm b_{12}) & (a_{13} \pm b_{13}) \\
(a_{21} \pm b_{21}) & (a_{22} \pm b_{22}) & (a_{23} \pm b_{23}) \\
\end{bmatrix} \\
&=
\begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & c_{13} \\
c_{21} & c_{22} & c_{23} \\
\end{bmatrix}
\end{align}
\!</math>
=== Perkalian skalar ===
Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.
:<math>\lambda\cdot \mathbf{A}:= (\lambda\cdot a_{ij})_{i=1, \ldots, m; \ j=1, \ldots, n}</math>
Contoh perhitungan:
:<math>5 \cdot
\begin{pmatrix}
1 & -3 & 2 \\
1 & 2 & 7
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5 \cdot 1 & 5 \cdot (-3) & 5 \cdot 2 \\
5 \cdot 1 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 7
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5 & -15 & 10 \\
5 & 10 & 35
\end{pmatrix}
</math>
=== Perkalian matriks ===
{{main|Perkalian matriks}}
Matriks dapat dikalikan dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.
:<math> c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj}</math>
Contoh perhitungan:
:<math>
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
6 & -1 \\
3 & 2 \\
0 & -3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \cdot 6 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 &
1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) \\
4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 0 &
4 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 + 6 \cdot (-3) \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
12 & -6 \\
39 & -12
\end{pmatrix}
</math>
== Sifat-sifat matriks ==
Sifat-sifat matriks sebagai berikut:
:: 1.<math>A + B = B + A</math>
:: 2.<math>(A + B) + C = A + (B + C)</math>
:: 3.<math>k(AB) = (kA)B</math>
:: 4.<math>(AB)C = A(BC)</math>
:: 5.<math>A(B + C) = AB + AC</math>
:: 6.<math>(A + B)C = AC + BC</math>
:: 7.<math>A B \neq B A</math>
Untuk pembuktian sifat yang pertama, yaitu sifat komutatif pada pertambahan matriks, dapat dibuktikan dengan cara yang sederhana, kita asumsikan matriks <math>A</math> dan <math>B</math> secara berturut-turut sebagai
<math>A = \begin{bmatrix}a_{11}&&a_{12}&&\dotsc&&a_{1n}\\
a_{21}&&\ddots&&\cdots&&\vdots\\
\vdots&&\cdots&&\ddots&&\vdots\\
a_{n1}&&\dotsc&&\dotsc&&a_{nn} \end{bmatrix}</math> dan <math>B = \begin{bmatrix}b_{11}&&b_{12}&&\dotsc&&b_{1n}\\
b_{21}&&\ddots&&\cdots&&\vdots\\
\vdots&&\cdots&&\ddots&&\vdots\\
b_{n1}&&\dotsc&&\dotsc&&b_{nn} \end{bmatrix}</math>
Hasil pertambahan dua matriks tersebut yaitu <math display="block">A+B = \begin{bmatrix}a_{11} + b_{11}&&a_{12}+b_{12}&&\dotsc&&a_{1n} + b_{1n}\\
a_{21}+b_{21}&&\ddots&&\cdots&&\vdots\\
\vdots&&\cdots&&\ddots&&\vdots\\
a_{n1}+b_{n1}&&\dotsc&&\dotsc&&a_{nn}+b_{nn} \end{bmatrix}</math>
Perhatikan bahwa, elemen-elemen pada hasil operasi pertamahan matriks tersebut tidak lain merupakan penjumlahan pada suatu bilangan dan berlaku sifat komutatif, <math>a_{11}+b_{11} = b_{11} + a_{11}</math>, dengan demikian dapat dituliskan sebagai
<math>\left[\begin{matrix}b_{11} + a_{11}&&b_{12}+a_{12}&&\dotsc&&b_{1n} + a_{1n}\\
b_{21}+a_{21}&&\ddots&&\cdots&&\vdots\\
\vdots&&\cdots&&\ddots&&\vdots\\
b_{n1}+a_{n1}&&\dotsc&&\dotsc&&b_{nn}+a_{nn} \end{matrix}\right]</math>
Bentuk di atas tidak lain adalah bentuk dari pertambahan <math>B+A</math>. Dengan cara yang sama, yaitu dengan memperhatikan setiap elemen pada hasil operasi matriks, dapat dibuktikan juga untuk sifat-sifat yang lain.<ref>{{cite web|url=https://iseng-project.id/materi-matematika/sma/matriks/|title=Matriks}}</ref>
== Persamaan linear ==<!-- [[Pemisahan matriks]] ada di sini. Tolong jangan berubah. -->
{{Main|Persamaan linear|Sistem persamaan linear}}
Matriks dapat digunakan untuk menuliskan dan mengerjakan beberapa persamaan linear sekaligus secara lebih ringkas. Persamaan-persamaan ini disebut sebagai sistem persamaan linear. Sebagai contoh, misalkan '''<math>\mathbf{A}</math>''' adalah matriks berukuran <math>m \times n</math>, '''<math>\textbf{x}</math>''' adalah suatu vektor kolom (yaitu, matriks <math>n \times 1</math>) dari '' <math>n</math> ''variabel <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math>, dan ''' <math>\textbf{b}</math>''' adalah vektor <math>m \times 1
</math>, maka persamaan matriks
<math display="block">\mathbf{Ax} = \mathbf{b}</math>
setara dengan sistem persamaan linear<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=I.2.21 and 22}}</ref> <math display="block">\begin{align}
a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + &\cdots + a_{1,n}x_n = b_1 \\
&\ \ \vdots \\
a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 + &\cdots + a_{m,n}x_n = b_m.
\end{align}</math>
Dengan menggunakan matriks, sistem ini dapat diselesaikan secara lebih ringkas daripada yang mungkin dilakukan dengan menuliskan semua persamaan secara terpisah. Pada kasus ketika ''n'' = ''m'' dan semua persamaan bersifat independen (tidak dapat dinyatakan menggunakan persamaan-persamaan yang lain), solusi dari sistem persamaan dapat dituliskan sebagai<math display="block">\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{b},</math>dengan '''<math>\mathbf{A}^{-1}</math>''' merupakan [[matriks invers]] dari '''<math>\mathbf{A}</math>'''. Namun jika '''<math>\mathbf{A}</math>''' tidak memiliki invers, solusi dari sistem persamaan — jika ada — dapat ditemukan saat menggunakan [[invers umum]].
== Transformasi linear ==
{{Main|Transformasi linear|Matriks transformasi}}
[[Berkas:Area parallellogram as determinant.svg|thumb|right|Vektor-vektor (berupa titik sudut pada gambar ini) hasil perkalian dengan matriks 2<span id="linear_maps">×</span>2, analog dengan fungsi transformasi yang mengubah persegi satuan menjadi jajaran genjang.]]
Matriks dan operasi perkaliannya memiliki sifat penting dalam transformasi linear, yang juga dikenal sebagai ''peta linear''. <span id="linear_maps">Matriks (real) '''<math>\mathbf{A}</math>''' berukuran</span> <math>
m \times n</math> <span id="linear_maps">dapat dianggap sebagai suatu transformasi linear</span> dari ruang dimensi-''n'' ke ruang dimensi-''m'', dengan bahasa lain, <math>\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m</math>. Transformasi ini <span id="linear_maps">memetakan setiap vektor '''<math>\textbf{x}</math>''' dalam <math>\mathbb{R}^n</math> ke sebuah vektor '''<math>\textbf{Ax}</math>''' yang terletak dalam <math>\mathbb{R}^m</math>. Sebaliknya setiap transformasi linear <math>f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m</math>dapat dianggap sebagai efek perkalian dengan suatu matriks '''<math>\mathbf{A}</math>''' berukuran ''m×n''. Secara eksplisit, entri ke-</span><math>(i,\,j)</math> dari matriks <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span> adalah koordinat ke-''i'' dari hasil pemetaan <span id="linear_maps">'''<math>f(\textbf{e}_j)</math>'''</span>; vektor <math>\textbf{e}_j = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)</math> adalah <span id="linear_maps">[[vektor satuan]] dengan nilai 1 pada koordinat ke-''j'' dan bernilai 0 di koordinat-koordinat yang lain. Dari hubungan ini, matriks '''<math>\mathbf{A}</math>'''</span> adalah representasi (wakil) dari transformasi linear ''<span id="linear_maps">'''<math>f</math>'''</span>'', dan disebut sebagai ''matriks transformasi'' dari <span id="linear_maps">'''''<math>f</math>'''''</span>.
Sebagai contoh, matriks persegi berukuran 2<span id="linear_maps">×2</span><math display="block">\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & c\\b & d \end{bmatrix}</math>dapat dilihat sebagai fungsi yang mengubah persegi satuan menjadi suatu [[jajaran genjang]] dengan titik-titik sudut terletak di <math>(0,\,0)</math>, <math>(a,\,b)</math>, <math>(a + c,\,b + d)</math>, dan <math>(c,\,d)</math>. Jajar genjang yang digambarkan di sebelah kanan diperoleh masing-masing dari mengalikan '''<span id="linear_maps">''<math>\mathbf{A}</math>''</span>''' dengan vektor kolom <math>\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}</math>, dan <math>\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}</math>, secara berurutan. Vektor-vektor ini adalah lokasi titik-titik sudut dari persegi satuan.
Tabel berikut menunjukkan beberapa jenis transformasi linear di <span id="linear_maps"><math>\mathbb{R}^2</math></span> dan matriks 2<span id="linear_maps">×</span>2 dan mewakilinya . Setiap transformasi memetakan daerah asli yang berwarna biru menjadi daerah berwarna hijau. Titik asal <math>(0,\,0)</math> ditandai dengan titik berwarna hitam.
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
| [[Pemetaan geser|Penggeseran horizontal]] dengan ''m'' = 1,25
| [[Refleksi (matematika)|Refleksi]] terhadap sumbu vertikal
| Pemerasan (''squeezing'') dengan r = 3/2
| [[Penskalaan (geometri)|Penskalaan]] dengan faktor 3/2
|<span id="rotation_matrix">[[Matriks rotasi|Rotasi]] sebesar π/6 = 30°</span>
|-
| <math>\begin{bmatrix}
1 & 1,25 \\
0 & 1
\end{bmatrix}</math>
| <math>\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}</math>
| <math>\begin{bmatrix}
\frac{3}{2} & 0 \\
0 & \frac{2}{3}
\end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}
\frac{3}{2} & 0 \\
0 & \frac{3}{2}
\end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}
\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) & -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \\
\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) & \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)
\end{bmatrix}</math>
|-
| width="20%" | [[Berkas:VerticalShear m=1.25.svg|175px]]
| width="20%" | [[Berkas:Flip map.svg|150px]]
| width="20%" | [[Berkas:Squeeze r=1.5.svg|150px]]
| width="20%" | [[Berkas:Scaling by 1.5.svg|125px]]
| width="20%" | [[Berkas:Rotation by pi over 6.svg|125px]]
|}
Karena [[Bijeksi|korespodensi satu-satu]] antara matriks dan transformasi linear, operasi perkalian matriks berhubungan dengan operasi [[komposisi fungsi|komposisi]] fungsi:<ref>{{Harvard citations |last1=Greub |year=1975 |nb=yes |loc=Section III.2}}</ref> jika suatu matriks <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{B}</math>'''</span> berukuran ''k<span id="linear_maps">×</span>m'' mewakili suatu transformasi linear <span id="linear_maps"><math>g: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^k</math></span>, maka komposisi fungsi <span id="linear_maps"><math>g \circ f</math></span> dapat diwakili oleh perkalian matriks <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{BA}</math>'''</span> karena <span id="linear_maps"><math display="block">(g \circ f)(\mathbf{x}) = g(f(\mathbf{x})) = g(\mathbf{Ax}) = \mathbf{B}(\mathbf{Ax}) = (\mathbf{BA})x.</math></span>Persamaan yang terakhir adalah hasil dari sifat asosiatif perkalian matriks.
[[Rank (aljabar linear)|Rank]] dari matriks <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span> adalah banyak maksimum dari vektor-vektor baris matriks yang saling [[bebas linear]], dan nilainya sama dengan banyak maksimum vektor-vektor kolom yang saling bebas linear.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition II.3.3}}</ref> Nilai peringkat ini adalah [[dimensi]] dari [[Citra (matematika)|citra]] transformasi linear yang diwakili oleh <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span>.<ref>{{Harvard citations |last1=Greub |year=1975 |nb=yes |loc=Section III.1}}</ref> [[Teorema rank–nolitas]] menyatakan bahwa dimensi [[kernel (matriks)|kernel]] dari sebuah matriks jika ditambah dengan rank dari matriks tersebut, akan sama dengan banyak kolom dari matriks tersebut.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem II.3.22}}</ref>
== Matriks persegi ==
{{Main|Matriks persegi}}
Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama. Matriks berukuran <math>
n \times n</math> juga disebut sebagai matriks persegi berorde ''n.'' Dua matriks persegi dengan orde yang sama dapat ditambahkan maupun dikalikan. Entri-entri <math>a_{ii}</math> membentuk [[diagonal utama]] dari matriks persegi. Mereka terletak pada garis khayal yang membentang dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah matriks.
=== Bentuk-bentuk umum ===
Terdapat banyak macam matriks persegi. Sebagian besar dari mereka didefinisikan dari nilai entri-entri pada matriks, sedangkan yang lain didefinisikan dari sifat yang mereka lakukan atau penuhi. Berikut adalah penjelasan beberapa macam matriks persegi.
==== Matriks diagonal dan matriks segitiga ====
{| class="wikitable" style="float:right; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
|-
! Nama !! Contoh dengan ''n'' = 3
|-
| [[Matriks diagonal]] || style="text-align:center;" | <math>
\begin{bmatrix}
0 & 0 & a_{33} \\
\end{bmatrix}
</math>
|-
| [[Matriks segitiga bawah]] || style="text-align:center;" | <math>
\begin{bmatrix}
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{bmatrix}
|-
| [[Matriks segitiga atas]] || style="text-align:center;" | <math>
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & 0 & a_{33} \\
\end{bmatrix}
</math>
|}
Jika semua entri matriks persegi <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span> yang terletak di bawah diagonal utama bernilai nol, <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span> disebut ''[[matriks segitiga]] atas''. Demikian pula jika nilai semua entri ''<span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span>'' yang terletak di atas diagonal utama sama dengan nol, <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span> disebut ''matriks segitiga bawah''. Jika semua entri yang bukan diagonal utama adalah nol, <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span> disebut [[matriks diagonal]].
==== Matriks identitas dan matriks skalar ====
{{Main|Matriks identitas}}
Matriks identitas <math>\mathbf{I}_n</math> berorde ''n'' adalah matriks berukuran <math>
n \times n</math> yang semua elemen diagonal utamanya bernilai 1 sedangkan elemen-elemen lain bernilai 0. Sebagai contoh,
: <math>
\mathbf{I}_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix},
\ \mathbf{I}_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix},
\ \ldots ,
\ \mathbf{I}_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
</math>
Matriks ini dinamakan identitas karena tidak mengubah matriks lain ketika dikalikan:<math display="block">\mathbf{AI}_n = \mathbf{I}_m \mathbf{A} = \mathbf{A}</math>untuk sembarang matriks <span id="linear_maps"><math>\mathbf{A}</math> berukuran</span> <math>
m \times n
</math><span id="linear_maps">. Matriks ini adalah bentuk khusus dari [[matriks diagonal]]. Matriks berupa kelipatan skalar dari matriks identitas disebut ''matriks skalar''. Jika entri-entri matriks identitas diambil dari suatu [[Medan (matematika)|medan]], matriks skalar akan membentuk suatu [[Grup (matematika)|grup]] terhadap perkalian matriks, dan isomorfik ke grup multiplikatif dari elemen-elemen tak nol dari medan tersebut.</span>
==== Matriks simetrik dan variasinya ====
{{Main|Matriks simetrik}}
Matriks persegi <span id="linear_maps"><math>\mathbf{A}</math></span> yang sama dengan hasil [[transpos]]-nya, yakni matriks yang memenuhi <span id="linear_maps"><math>\mathbf{A}=\mathbf{A}^\mathsf{T}</math></span>, disebut sebagai [[matriks simetrik]]. Sedangkan matriks persegi yang sama dengan negatif dari hasil transposnya, yakni <span id="linear_maps"><math>\mathbf{A}=-\mathbf{A}^\mathsf{T}</math></span>, disebut ''matriks simetrik serong'' (''skew symetric matrix''). Pada matriks dengan entri-entri bilangan kompleks, konsep simetri sering digantikan dengan konsep [[matriks Hermite]]. Matriks ini adalah matriks yang memenuhi <span id="linear_maps"><math>\mathbf{A}=\mathbf{A}^*</math></span>, dengan [[Asterisk|asteris]] (tanda bintang) menyatakan [[transpos konjugat]] dari matriks. Berdasarkan [[teorema spektral]], matriks simetrik real dan matriks Hermite kompleks memiliki [[Nilai dan vektor eigen|basis eigen]]; artinya setiap vektor dapat dinyatakan sebagai [[kombinasi linear]] dari [[Nilai dan vektor eigen|vektor-vektor eigen]]. Pada kedua jenis matriks, semua nilai eigennya berupa bilangan real.<ref>{{Harvard citations|last1=Horn|last2=Johnson|year=1985|nb=yes|loc=Theorem 2.5.6}}</ref> Teorema tersebut dapat diperumum untuk situasi matriks yang memiliki tak hingga banyak kolom dan baris.
==== Matriks terbalikkan dan inversnya ====
{{Main|Matriks terbalikkan}}
Matriks persegi <span id="linear_maps"><math>\mathbf{A}</math></span> disebut [[Matriks terbalikkan|''terbalikkan'']], ''nonsingular'', atau ''invertibel'', jika ada suatu matriks <span id="linear_maps"><math>\mathbf{B}</math></span> yang memenuhi persamaan
<math display="block">\mathbf{AB} = \mathbf{BA} = \mathbf{I}_n, </math>dengan <math>\mathbf{I}_n</math> merupakan [[matriks identitas]] yang berukuran sama dengan <span id="linear_maps"><math>\mathbf{A}</math></span>.<ref>{{Harvard citations|last1=Brown|year=1991|nb=yes|loc=Definition I.2.28}}</ref><ref>{{Harvard citations|last1=Brown|year=1991|nb=yes|loc=Definition I.5.13}}</ref> Jika matriks <span id="linear_maps"><math>\mathbf{B}</math></span> ada, matriks ini unik dan disebut sebagai ''matriks invers'' dari <span id="linear_maps"><math>\mathbf{A}</math></span> dan dinotasikan sebagai <span id="linear_maps"><math>\mathbf{A}^{-1}</math></span>.
== Penerapan ==
[[Berkas:Markov chain.png|jmpl|Rantai Markov, dua kemungkinan keadaan. Bagan menunjukkan dua rantai berbeda (keduanya memiliki matriks transisi berbeda).]]
Terdapat banyak contoh penerapan dari matriks, baik dalam matematika maupun pada bidang-bidang ilmu lainnya. Sebagian dari mereka hanya menggunakannya untuk mendapatkan bentuk susunan bilangan-bilangan yang lebih ringkas. Sebagai contoh, dalam [[teori permainan]] dan [[ekonomi]], [[matriks imbalan]] merangkum semua imbalan yang dapat diperoleh dua pemain, tergantung pada himpunan (hingga) pilihan alternatif yang dapat dipilih masing-masing pemain.<ref>{{Harvard citations|last1=Fudenberg|last2=Tirole|year=1983|nb=yes|loc=Section 1.1.1}}</ref> Proses [[penambangan teks]] dan proses mengompilasi [[tesaurus]] menggunakan matriks khusus seperti [[Tf–idf|TF-IDF]] untuk mencatat frekuensi kemunculan kata-kata tertentu pada beberapa dokumen.<ref>{{Harvard citations|last1=Manning|year=1999|loc=Section 15.3.4|nb=yes}}</ref>
Matriks juga dapat digunakan untuk merepresentasikan bilangan kompleks, yakni lewat hubungan
<math display="block">a + ib \leftrightarrow \begin{bmatrix}
a & -b \\
b & a \end{bmatrix},</math>
dengan a dan b keduanya berupa [[bilangan real]] non-negatif. Hubungan ini memberikan cara pandang untuk melihat operasi perkalian dan penjumlahan pada matriks maupun pada bilangan kompleks. Sebagai contoh, perkalian dengan suatu matriks rotasi 2×2 merepresentasikan suatu perkalian dengan bilangan kompleks dengan [[Nilai absolut|modulus]] 1. Hubungan yang mirip juga didapatkan untuk [[Kuaternion|kuartenion]]<ref>{{Harvard citations|last1=Ward|year=1997|loc=Ch. 2.8|nb=yes}}</ref>.
Teknik-teknik [[enkripsi]] masa awal seperti [[sandi Hill]] juga menggunakan matriks. Malangnya, karena sifat kelinearan matriks, kode yang dihasilkan mudah diretas.<ref>{{Harvard citations|last1=Stinson|year=2005|loc=Ch. 1.1.5 and 1.2.4|nb=yes}}</ref> [[Grafika komputer]] menggunakan matriks untuk merepresentasikan dan mentransformasi objek-objek, contohnya ketika memproyeksikan benda 3D ke layar 2D.<ref>{{Harvard citations|last1=Association for Computing Machinery|year=1979|loc=Ch. 7|nb=yes}}</ref> Ilmu [[kimia]] menggunakan matriks dalam banyak cara, khususnya sejak [[teori kuantum]] digunakan untuk menjelaskan [[ikatan kimia]] dan [[spektroskopi]]. Beberapa contoh matriks yang dipakai adalah matriks ''overlap'' dan [[matriks Fock]] yang digunakan dalam [[persamaan Roothaan]] untuk mendapatkan [[orbital molekul]] dari [[Metode Hartree–Fock|metode Hartree-Fock]].
== Lihat pula ==
* [[Aljabar linear]]
== Referensi ==
{{reflist}}
== Bacaan lebih lanjut ==
* {{cite book|last= Kurnianingsih|first= Sri|authorlink=|coauthors=Kuntarti, Sulistiyono|title=Matematika SMA dan MA 3A Untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA|year= 2007|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-734-504-1 }} {{id icon}}
* {{cite book|last= Kurnianingsih|first= Sri|authorlink=|coauthors=Kuntarti, Sulistiyono|title=Matematika SMA dan MA 3A Untuk Kelas XII Semester 1 Program IPS|year= 2007|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-734-567-X }} {{id icon}}
== Pranala luar ==
{{Commons category}}
{{Wikibooks|Matematika/Aljabar linear|Matriks}}
{{Wikiversity|at=Linear algebra#Matrices|Matrices}}
; Artikel ensiklopedia
* {{springer|title=Matrix|id=p/m062780}}
; Sejarah
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html MacTutor: Matrices and determinants] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150308120526/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html |date=2015-03-08 }}
* [http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/matrices.htm Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages]
* [http://jeff560.tripod.com/matrices.html Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors]
; Buku daring
* {{Citation |last1=Kaw |first1=Autar K. |title=Introduction to Matrix Algebra |url=http://autarkaw.com/books/matrixalgebra/index.html |isbn=978-0-615-25126-4 }}
* {{Citation |title=The Matrix Cookbook |url=http://orion.uwaterloo.ca/~hwolkowi/matrixcookbook.pdf |accessdate=24 March 2014 |format=PDF }}
* {{Citation |last1=Brookes |first1=Mike |title=The Matrix Reference Manual |url=http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/intro.html |publisher=[[Imperial College]] |location=London |year=2005 |accessdate=10 Dec 2008 }}
; Kalkulator matriks daring
* {{Citation |title=matrixcalc (Matrix Calculator) |url=https://matrixcalc.org/en/ }}
* {{Citation |title=SimplyMath (Matrix Calculator) |url=http://simplemath.online/linear-algebra/matrix-and-vector.html }}
* {{Citation |title=Free C++ Library|url=https://github.com/nom-de-guerre/Matrices}}
* {{Citation |title=Matrix Calculator (DotNumerics) |url=http://www.dotnumerics.com/MatrixCalculator/ }}
* {{Citation |last1=Xiao |first1=Gang |title=Matrix calculator |url=http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/linear/matrix.en |accessdate=10 Dec 2008 }}
* {{Citation |title=Online matrix calculator |url=http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/ |accessdate=10 Dec 2008 |archive-date=2008-12-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20081212221215/http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/ |dead-url=yes }}
* {{Citation |title=Online matrix calculator (ZK framework) |url=http://matrixcalc.info/MatrixZK/ |accessdate=26 Nov 2009 |archive-date=2013-05-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130512101418/http://matrixcalc.info/MatrixZK/ |dead-url=yes }}
* {{Citation |title=MacAnova |url=http://www.stat.umn.edu/macanova/macanova.home.html |last1=Oehlert |first1=Gary W. |last2=Bingham |first2=Christopher |publisher=[[University of Minnesota]], School of Statistics |accessdate=10 Dec 2008 }}, a freeware package for matrix algebra and statistics
* {{Citation |title=Online matrix calculator |url=http://www.idomaths.com/matrix.php |accessdate=14 Dec 2009 }}
* [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/matreg.php?language=english Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)]
* [http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=7edcfb2d8f6a659ef4cd1e6c9b6d7079 Matrix operations widget in Wolfram|Alpha]
[[Kategori:Matriks]]
| |||