Persamaan kuadrat: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k ubah tata letak gambar |
Perbaikan tata bahasa Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan aplikasi seluler Suntingan aplikasi Android App select source |
||
| (196 revisi perantara oleh 75 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{About|persamaan aljabar derajat dua dan solusi|rumus yang digunakan untuk mencari solusi persamaan tersebut|Rumus kuadrat|fungsi yang ditentukan oleh polinomial derajat dua|Fungsi kuadrat}}
{{Side_box
|text=<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a}</math>
|below=[[Rumus kuadrat]] untuk akar dari persamaan kuadrat umum
}}
'''Persamaan kuadrat''' adalah suatu persamaan berorde dua. Bentuk umum dari [[persamaan]] [[kuadrat]] adalah
<math>y = ax^2 + bx + c \,\!</math>
dengan cara
<math>a \ne 0 \,\!</math>
Baris 9 ⟶ 16:
Huruf-huruf ''a'', ''b'' dan ''c'' disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat ''a'' adalah koefisien dari <math>x^2</math>, koefisien linier ''b'' adalah koefisien dari ''x'', dan ''c'' adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.
== Arti nilai a, b, dan c ==
{|-
| [[Berkas:Kuadrat-a.png|Variasi nilai a|jmpl|200px]]
| [[Berkas:Kuadrat-b.png|Variasi nilai b|jmpl|200px]]
| [[Berkas:Kuadrat-c.png|Variasi nilai c|jmpl|200px]]
|}
Nilai-nilai ''a'', ''b'' dan ''c'' menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang ''xy''.
Baris 18 ⟶ 29:
* ''c'' menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu ''y'' atau saat ''x = 0''.
Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan berbagai variasi nilai ''a''. ''b'' dan ''c'' dapat dilihat pada gambar
== Rumus
[[Berkas:Kuadrat-akar.png|jmpl|300px|y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)]]
Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama '''rumus abc''' karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai ''a'', ''b'' dan ''c'' suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk
<math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>
Baris 50 ⟶ 60:
Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.
<!--<math>x_1 - x_2 = \pm \frac{\sqrt{D}}{a} \,\!</math>-->
; Sifat akar persamaan kuadrat
{| class="wikitable"
|+
|-
! Hubungan !! Syarat
|-
| rowspan=3| Kedua akar real tandanya positif || <math>D \ge 0</math>
|-
| <math>x_1 + x_2 > 0</math>
|-
| <math>x_1 \cdot x_2 > 0</math>
|-
| rowspan=3| Kedua akar real tandanya negatif || <math>D \ge 0</math>
|-
| <math>x_1 + x_2 < 0</math>
|-
| <math>x_1 \cdot x_2 > 0</math>
|-
| rowspan=2| Kedua akar real tandanya berlainan || <math>D \ge 0</math>
|-
| <math>x_1 \cdot x_2 < 0</math>
|-
| rowspan=2| Kedua akar real sama || <math>D \ge 0</math>
|-
| <math>x_1 \cdot x_2 > 0</math>
|-
| rowspan=2| Kedua akar real berkebalikan || <math>D > 0</math>
|-
| <math>x_1 + x_2 = 0</math>
|-
| rowspan=2| Kedua akar real berlawanan || <math>D > 0</math>
|-
| <math>x_1 \cdot x_2 = 1</math>
|-
| Akar tidak real (imajiner) || <math>D < 0</math>
|}
== Persamaan kuadrat baru ==
Pokok umum persamaan kuadrat baru yaitu <math>x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0</math>
{| class="wikitable"
|+
|-
! Persamaan kuadrat lama !! Persamaan kuadrat baru
|-
| <math>x_1 + n {dan} x_2 + n</math> || <math>a(x-n)^2 + b(x-n) + c = 0</math>
|-
| <math>x_1 - n {dan} x_2 - n</math> || <math>a(x+n)^2 + b(x+n) + c = 0</math>
|-
| <math>n \cdot x_1 {dan} n \cdot x_2</math> || <math>a(\frac{x}{n})^2 + b(\frac{x}{n}) + c = 0</math>
|-
| <math>\frac{x_1}{n} {dan} \frac{x_2}{n}</math> || <math>a (n x)^2 + b (n x) + c = 0</math>
|-
| <math>{x_1}^2 {dan} {x_2}^2</math> || <math>a^2 x^2 + (2ac - b^2)x + c^2 = 0</math>
|-
| <math>\sqrt{x_1} {dan} \sqrt{x_2}</math> || <math>ax^4 + bx^2 + c = 0</math>
|-
| <math>\frac{1}{x_1} {dan} \frac{1}{x_2}</math> || <math>cx^2 + bx + a = 0</math>
|-
| <math>- x_1 {dan} - x_2</math> || <math>ax^2 - bx + c = 0</math>
|}
== Pembuktian rumus persamaan kuadrat ==
Dari bentuk umum persamaan kuadrat,
:<math>ax^2 + bx + c = 0 \,\!</math>
bagi kedua ruas untuk mendapatkan <math>a = 1</math>
:<math>x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0,\,\!</math>
Pindahkan <math>\frac{c}{a}</math> ke ruas kanan
:<math>x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \,\!</math>
sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.
:<math>\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} \,\!</math>
Pindahkan <math>-\frac{b^2}{4ac}</math> ke ruas kanan
:<math>\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a} \,\!</math>
lalu samakan penyebut di ruas kanan.
:<math>\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \,\!</math>
Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.
:<math>x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}</math>
Pindahkan <math>-\frac{b}{2a}</math> ke ruas kanan
:<math>x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}</math>
sehingga didapat rumus kuadrat
:<math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}</math> atau <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}</math>
== Diskriminan/determinan ==
[[Berkas:Diskriminan.png|jmpl|Akar-akar dan nilai D.]]
Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:
Baris 56 ⟶ 168:
:<math> b^2 - 4ac,\,\!</math>
yang disebut sebagai ''[[diskriminan]]'' atau juga sering disebut ''[[determinan]]'' suatu persamaan kuadrat. Kadang dinotasikan dengan huruf ''D''.
Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien ''riil'' dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah [[akar]] yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk [[bilangan riil]] atau [[bilangan kompleks|kompleks]]. Dalam hal ini diskriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:
* Jika diskriminan bersifat [[positif]], akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya merupakan bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa [[bilangan bulat]], apabila diskriminan merupakan suatu [[kuadrat sempurna]], maka akar-akarnya merupakan [[bilangan rasional]]—sebaliknya dapat pula merupakan [[bilangan irrasional kuadrat]].
* Jika diskriminan bernilai [[nol]], terdapat [[eksak]] satu akar, dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai [[akar ganda]], di mana nilainya adalah:
Baris 71 ⟶ 182:
|-
|<math>x_+ = \frac{-b}{2a} + i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right )</math>
| style="width:100px" align="center" |
|<math>x_- = \frac{-b}{2a} - i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right )</math>
|}
Jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai [[tidak sama dengan nol]], dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan bernilai [[tidak negatif]].
== Akar riil dan kompleks ==
Persamaan kuadrat dapat memiliki sebuah akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai [[titik
=== Titik potong dengan garis ''y = d'' ===
Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat digunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat (<math>y_1 = ax^2 + bx + c\!</math>) dengan suatu garis mendatar (<math>y_2 = d\!</math>). Hal ini dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan kuadrat tersebut dengan persamaan garis yang titik potong antar keduanya ingin dicari dan menyamakannya dengan nol.
<math>
\!</math>
Intepretasi yang sama pun berlaku, yaitu bila:
* diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara <math>y_1\!</math> dan <math>y_2\!</math>,
* diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara <math>y_1\!</math> dan <math>y_2\!</math>, dan
* diskriminan negatif, tidak terdapat titik potong antara kedua kurva, <math>y_1\!</math> dan <math>y_2\!</math>.
=== Nilai-nilai ''y'' ===
Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang ''x'' di mana nilai-nilai ''y'' berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan oleh nilai konstanta kuadrat ''a'':
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ '''Harga-harga ''y'''''
| rowspan="2" |
| colspan="3" | <math>a > 0\!</math>
| colspan="3" | <math>a < 0\!</math>
|-
| <math>x < x_1\!</math>
| <math>x_1 < x < x_2\!</math>
| <math>x > x_2\!</math>
| <math>x < x_1\!</math>
| <math>x_1 < x < x_2\!</math>
| <math>x > x_2\!</math>
|-
| <math>D > 0\!</math>
| <math>y > 0\!</math>
| <math>y < 0\!</math>
| <math>y > 0\!</math>
| <math>y < 0\!</math>
| <math>y > 0\!</math>
| <math>y < 0\!</math>
|-
| <math>D = 0\!</math>
| <math>y > 0\!</math>
| <math>-\!</math>
| <math>y > 0\!</math>
| <math>y < 0\!</math>
| <math>-\!</math>
| <math>y < 0\!</math>
|-
| <math>D < 0\!</math>
| <math>y > 0\!</math>
| <math>-\!</math>
| <math>y > 0\!</math>
| <math>y < 0\!</math>
| <math>-\!</math>
| <math>y < 0\!</math>
|-
|}
dengan <math>x_1 < x_2 \!</math> merupakan akar-akar persamaan kuadrat. Dalam tabel di atas, apabila <math>x, x_1, x_2\!</math> bersifat kompleks, maka yang dimaksud adalah <math>\Re\ x</math> (nilai riil)-nya.
== Geometri ==
[[Berkas:Polynomialdeg2.png|jmpl|ka|200px|Untuk [[fungsi kuadrat]]: {{br}} ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> − ''x'' − 2 = (''x'' + 1)(''x'' − 2), dengan variabel ''x'' adalah [[bilangan riil]]. [[koordinat]]-''x'' dari titik-titik di mana kurva menyentuh sumbu-''x'', ''x'' = −1 dan ''x'' = 2, adalah [[akar|akar-akar]] dari persamaan kuadrat: ''x''<sup>2</sup> − ''x'' − 2 = 0.]]
Akar-akar dari persamaan kuadrat adalah juga [[pembuat nol]] dari fungsi kuadrat tersebut:
: <math>f(x) = ax^2+bx+c,\,</math>
dikarenakan akar-akar tersebut merupakan nilai <math>x\,\!</math> yang memberikan
: <math>f(x) = 0.\, </math>
Jika ''a'', ''b'', dan ''c'' adalah [[bilangan riil]], dan [[domain]] dari <math>f\,\!</math> adalah himpunan bilangan riil, maka pembuat nol dari <math>f\,\!</math> adalah eksak [[koordinat]]-''x'' di saat titik-titik tersebut menyentuh [[sumbu-x]].
Mengikuti pernyataan di atas, bahwa jika diskriminan berharga positif, [[kurva]] persamaan kuadrat akan menyentuh sumbu-x pada dua buah titik (dua buah [[titik potong]]), jika berharga nol, akan menyentuh di satu titik dan jika berharga negatif, kurva tidak akan menyentuh sumbu-x.
== Rumus fungsi kuadrat ==
Persamaan fungsi kuadrat: <math>f(x) = ax^2+bx+c \,</math>
dimana f(x) = y maka titik balik (harga ekstrem/titik puncak) fungsi kuadrat adalah (<math>-\frac{b}{2a} \,</math>, <math>-\frac{D}{4a} \,</math>).
; Pembuktian:
Dari bentuk umum persamaan kuadrat,
:<math>ax^2 + bx + c = y \!</math>
:<math> a(x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) = y \!</math>
:<math> a(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}) = y \!</math>
anggapan bahwa <math> (x + \frac{b}{2a})^2 </math> adalah 0 maka:
:<math> (x + \frac{b}{2a})^2 = 0 </math>
:<math> x=-\frac{b}{2a} </math>
:<math> a(-\frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}) = y \!</math>
:<math> a(-\frac{b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{a^2}) = y \!</math>
:<math> -\frac{b^2-4ac}{4a} = y \!</math> atau <math> -\frac{D}{4a} = y \!</math>
maka titik balik adalah (<math>-\frac{b}{2a} \,</math>, <math>-\frac{D}{4a} \,</math>).
== Topik lanjutan ==
=== Metode alternatif penghitungan akar ===
==== Rumus Vieta ====
{{Main|Rumus Vieta}}
[[Berkas:Excel quadratic error.PNG|thumb|350px|Gambar 5. Grafik perbedaan antara pendekatan Vieta untuk akar persamaan kuadrat yang lebih kecil {{math|''x''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' {{=}} 0}} dibandingkan dengan nilai yang dihitung menggunakan rumus kuadrat. Perkiraan Vieta tidak akurat untuk yang kecil {{math|''b''}} tetapi akurat untuk ukuran besar {{math|''b''}}. Evaluasi langsung menggunakan rumus kuadrat akurat untuk yang kecil {{math|''b''}} dengan akar dari nilai yang sebanding tetapi mengalami hilangnya kesalahan signifikansi yang besar {{math|''b''}} dan akar berjarak lebar. Perbedaan antara perkiraan Vieta ''versus'' penghitungan langsung mencapai minimum pada titik-titik besar, dan pembulatan menyebabkan coretan di kurva melebihi minimum ini.|alt=Gambar 5. Grafik perbedaan antara pendekatan Vieta untuk akar persamaan kuadrat yang lebih kecil x kuadrat plus b x plus c sama dengan nol dibandingkan dengan nilai yang dihitung menggunakan rumus kuadrat. Selisihnya diplot sebagai fungsi dari b untuk dua nilai c yang berbeda, c sama dengan 4, dan c sama dengan 400.000. Grafik adalah grafik log log, dengan sumbu vertikal, perbedaannya, mulai dari sepuluh hingga. Sumbu horizontal, b, berkisar dari 10 di kiri hingga sepuluh hingga kedelapan di kanan. Pendekatan Vieta untuk akar yang lebih kecil tidak akurat untuk b kecil tetapi akurat untuk b besar. Evaluasi langsung dari akar yang lebih kecil menggunakan rumus kuadrat akurat untuk b kecil dengan nilai akar yang sebanding, tetapi mengalami hilangnya kesalahan signifikansi untuk b besar dan spasi lebar. Ketika c sama dengan 4, pendekatan Vieta dimulai dengan buruk di sebelah kiri, tetapi menjadi lebih baik dengan b yang lebih besar, perbedaan antara pendekatan Vieta dan rumus kuadrat mencapai minimum pada perkiraan. Perkiraan Vieta dan rumus kuadrat kemudian mulai divergen lagi karena rumus kuadrat mengalami error loss of signifikan. Jika c sama dengan empat ratus ribu, perbedaan antara pendekatan Vieta dan rumus kuadrat mencapai minimum pada kira-kira b sama dengan sepuluh pangkat tujuh. Kedua kurva tersebut lurus ke kiri minimum, menunjukkan hubungan kekuatan monomial sederhana antara selisih dan b. Demikian juga, kedua kurva tersebut kira-kira lurus ke kanan minimum, yang menunjukkan hubungan kekuatan, kecuali bahwa garis lurus memiliki coretan di dalamnya karena hilangnya signifikansi]]
[[Rumus Vieta]] memberikan hubungan sederhana antara akar polinomial dan koefisiennya. Dalam kasus polinomial kuadrat, mereka mengambil bentuk berikut:
:<math> x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} </math>
dan
:<math> x_1 x_2 = \frac{c}{a}.</math>
Hasil ini langsung mengikuti dari relasi:
:<math>\left( x - x_1 \right) \left( x-x_2 \right ) = x^2 - \left( x_1+x_2 \right)x +x_1 x_2 = 0,</math>
yang dapat dibandingkan istilah demi istilah dengan
:<math> x^2 + (b/a)x +c/a = 0.</math>
Rumus pertama di atas menghasilkan ekspresi yang sesuai saat membuat grafik fungsi kuadrat. Karena grafiknya simetris terhadap garis vertikal melalui [[Fungsi kuadrat#Puncak|simpul]], ketika ada dua akar nyata, koordinat {{math|''x''}} titik koordinat terletak di av. Jadi {{math|''x''}} koordinat dari simpul diberikan oleh ekspresi
:<math> x_V = \frac {x_1 + x_2} {2} = -\frac{b}{2a}.</math>
{{math|''y''}} koordinat dapat diperoleh dengan mensubstitusi hasil di atas ke dalam persamaan kuadrat yang diberikan, memberikan
:<math> y_V = - \frac{b^2}{4a} + c = - \frac{ b^2 - 4ac} {4a}.</math>
Sebagai masalah praktis, rumus Vieta menyediakan metode yang berguna untuk menemukan [[akar kuadrat]] dalam kasus di mana satu akar jauh lebih kecil dari yang lain. Bila {{math|{{!}} ''x'' <sub>2</sub>{{!}} << {{!}} ''x'' <sub>1</sub>{{!}}}}, maka {{math|''x'' <sub>1</sub> + ''x'' <sub>2</sub> ≈ ''x'' <sub>1</sub>}}, dan kami memiliki perkiraan:
:<math> x_1 \approx -\frac{b}{a} .</math>
Rumus Vieta kedua kemudian memberikan:
:<math>x_2 = \frac{c}{a x_1} \approx -\frac{c}{b} .</math>
Rumus-rumus ini jauh lebih mudah untuk dievaluasi daripada rumus kuadrat dengan syarat satu akar besar dan satu akar kecil, karena rumus kuadrat mengevaluasi akar kecil sebagai selisih {{math|''b''}}), yang menyebabkan [[kesalahan pembulatan]] dalam evaluasi numerik. Gambar 5 menunjukkan perbedaan antara (i) evaluasi langsung menggunakan rumus kuadrat (akurat ketika akar memiliki nilai yang berdekatan) dan (ii) evaluasi berdasarkan perkiraan rumus Vieta di atas (akurat ketika akar berjarak lebar). Sebagai koefisien linear {{math|''b''}} meningkat, awalnya rumus kuadrat akurat, dan rumus perkiraan meningkatkan keakuratannya, yang mengarah ke perbedaan yang lebih kecil antara metode sebagai {{math|''b''}} meningkat. Namun, pada titik tertentu rumus kuadrat mulai kehilangan akurasinya karena kesalahan pembulatan, sedangkan metode perkiraan terus ditingkatkan. Akibatnya, perbedaan antara metode-metode tersebut mulai meningkat karena rumus kuadrat menjadi semakin buruk.
Situasi ini umumnya muncul dalam desain amplifier, di mana akar yang terpisah jauh diinginkan untuk memastikan operasi yang stabil (lihat [[respons langkah]]).
==== Solusi trigonometri ====
Pada hari-hari sebelum kalkulator, orang akan menggunakan [[tabel matematika]] daftar angka yang menunjukkan hasil kalkulasi dengan berbagai argumen untuk menyederhanakan dan mempercepat. Tabel logaritma dan [[Fungsi trigonometrik|fungsi trigonometri]] biasa ditemukan dalam buku teks matematika dan sains. Tabel khusus diterbitkan untuk aplikasi seperti astronomi, navigasi angkasa, dan statistik. Ada metode perkiraan numerik, yang disebut [[prosthaphaeresis]], yang menawarkan jalan pintas di sekitar operasi yang memakan waktu seperti perkalian dan pengambilan kekuatan dan akar.<ref name=Ballew2007>{{cite web|last=Ballew|first=Pat|title=Memecahkan Persamaan Kuadrat - Dengan metode analitik dan grafik; Termasuk beberapa metode yang mungkin belum pernah Anda lihat|url=http://www.pballew.net/quadsol.pdf|accessdate=18 April 2013|archive-url=https://web.archive.org/web/20110409173024/http://www.pballew.net/quadsol.pdf|archive-date=9 April 2011|url-status=dead}}</ref> Para astronom, khususnya, prihatin dengan metode yang dapat mempercepat rangkaian panjang penghitungan yang terlibat dalam penghitungan [[mekanika angkasa]].
Dalam konteks inilah kita dapat memahami perkembangan cara memecahkan persamaan kuadrat dengan bantuan substitusi trigonometri. Pertimbangkan bentuk alternatif kuadrat berikut,
'''[1]''' <math>ax^2 + bx \pm c = 0 ,</math>
dimana lambang ± dipilih sehingga {{math|''a''}} dengan {{math|''c''}} mungkin keduanya positif. Dengan mengganti
'''[2]''' <math>x = \sqrt{c/a} \tan\theta </math>
dan kemudian mengalikannya dengan {{math|cos<sup>2</sup>''θ''}}, kami dapatkan
'''[3]''' <math>\sin^2\theta + \frac{b}{\sqrt {ac}} \sin\theta \cos\theta \pm \cos^2\theta = 0 .</math>
Memperkenalkan fungsi {{math|2''θ''}} dan mengatur ulang, kami dapatkan
'''[4]''' <math> \tan 2 \theta_n = + 2 \frac{\sqrt{ac}}{b} ,</math>
'''[5]''' <math> \sin 2 \theta_p = - 2 \frac{\sqrt{ac}}{b} ,</math>
Dimana tulisan di bawah garis {{math|''n''}} and {{math|''p''}} sesuai, masing-masing, dengan penggunaan tanda negatif atau positif dalam persamaan '''[1]'''. Mengganti nilai dua {{math|''θ''<sub>n</sub>}} atau {{math|''θ''<sub>p</sub>}} ditemukan dari persamaan '''[4]''' atau '''[5]''' menjadi '''[2]''' memberikan akar yang dibutuhkan '''[1]'''. Akar kompleks terjadi dalam solusi berdasarkan persamaan '''[5]''' bila nilai absolut {{math|sin 2''θ''<sub>p</sub>}} melebihi persatuan. Jumlah upaya yang terlibat dalam menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan strategi pencarian tabel trigonometri dan logaritmik campuran ini adalah dua pertiga dari upaya menggunakan tabel logaritmik juga..<ref name=Seares1945>{{cite journal|last=Seares|first=F. H.|title=Solusi Trigonometri dari Persamaan Kuadrat|journal=Publikasi Astronomical Society of the Pacific |year=1945 |volume=57 |issue=339 |page=307–309 |doi=10.1086/125759 |bibcode=1945PASP...57..307S|doi-access=free }}</ref> Menghitung akar kompleks akan membutuhkan penggunaan bentuk trigonometri yang berbeda.<ref name=Aude1938>{{cite journal |last=Aude |first=H. T. R. |title=Solusi dari Persamaan Kuadrat yang Diperoleh dengan Bantuan Trigonometri |journal=National Mathematics Magazine |year=1938 |volume=13 |issue=3 |pages=118–121 |doi=10.2307/3028750 |jstor=3028750}}</ref>
:Untuk mengilustrasikan, mari kita asumsikan bahwa kita memiliki tabel logaritma tujuh tempat dan tabel trigonometri yang tersedia, dan ingin menyelesaikan hal-hal berikut ini untuk akurasi enam angka penting:
:::<math>4.16130x^2 + 9.15933x - 11.4207 = 0</math>
#Tabel pemeta tujuh tempat mungkin hanya memiliki 100.000 entri, dan menghitung hasil antara ke tujuh tempat umumnya akan memerlukan interpolasi antara entri yang berdekatan.
#<math>\log a = 0.6192290, \log b = 0.9618637, \log c = 1.0576927</math>
#<math>2 \sqrt{ac}/b = 2 \times 10^{(0.6192290 + 1.0576927)/2 - 0.9618637} = 1.505314 </math>
#<math>\theta = (\tan^{-1}1.505314) / 2 = 28.20169^{\circ} \text{ or } -61.79831^{\circ} </math>
#<math>\log | \tan \theta | = -0.2706462 \text{ or } 0.2706462</math>
#<math> \log\sqrt{c/a} = (1.0576927 - 0.6192290) / 2 = 0.2192318</math>
#<math>x_1 = 10^{0.2192318 - 0.2706462} = 0.888353</math> (dibulatkan menjadi enam angka penting)
::<math>x_2 = -10^{0.2192318 + 0.2706462} = -3.08943</math>
==== Solusi untuk akar kompleks di koordinat polar ====
Jika persamaan kuadrat <math>ax^2+bx+c=0</math> dengan koefisien nyata memiliki dua akar kompleks dalam kasus di mana <math>b^2-4ac<0,</math> membutuhkan ''a'' dan ''c'' untuk memiliki tanda yang sama pada solusi untuk akar dapat diekspresikan dalam bentuk polar sebagai<ref>Simons, Stuart, "Pendekatan alternatif untuk akar kompleks dari persamaan kuadrat nyata", ''Mathematical Gazette'' 93, Maret 2009, 91–92.</ref>
:<math>x_1, \, x_2=r(\cos \theta \pm i\sin \theta), </math>
dimana <math>r=\sqrt{\tfrac{c}{a}}</math> and <math>\theta =\cos ^{-1}\left(\tfrac{-b}{2\sqrt{ac}}\right).</math>
==== Solusi geometris ====
[[Berkas:LillsQuadratic.svg|thumb|180px|Gambar 6. Solusi geometris {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' {{=}} 0}} menggunakan metode Lill. Solusinya adalah −AX1/SA, −AX2/SA|alt=Gambar 6. Solusi geometris eh x kuadrat ditambah b x ditambah c = 0 menggunakan metode Lill. Konstruksi geometrisnya adalah sebagai berikut: Gambarlah sebuah trapesium S Eh B C. Garis S Eh dengan panjang eh adalah sisi kiri vertikal dari trapesium. Garis Eh B dengan panjang b adalah alas trapesium secara horizontal. Garis B C panjang c adalah sisi kanan vertikal trapesium. Garis C S melengkapi trapesium. Dari titik tengah garis C S, gambarlah sebuah lingkaran yang melewati titik C dan S. Tergantung pada panjang relatif dari eh, b, dan c, lingkaran tersebut bisa atau tidak memotong garis Eh B. Jika ya, maka persamaan tersebut memiliki solusi. Jika kita sebut titik potong X 1 dan X 2, maka kedua penyelesaian diberikan oleh negatif Eh X 1 dibagi S Eh, dan negatif Eh X 2 dibagi S Eh.]]
Persamaan kuadrat dapat diselesaikan secara geometris dengan beberapa cara. Salah satunya adalah melalui [[metode Lill]]. Tiga koefisien {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}} digambar dengan sudut siku-siku antara keduanya seperti pada SA, AB, dan BC pada Gambar 6. Sebuah lingkaran digambar dengan titik awal dan akhir SC sebagai diameter. Jika ini memotong garis tengah AB dari ketiganya maka persamaan tersebut memiliki solusi, dan solusi diberikan dengan jarak negatif sepanjang garis ini dari A dibagi dengan koefisien pertama {{math|''a''}} atau SA. Bila {{math|''a''}} ialah {{math|1}} koefisien dapat dibaca secara langsung. Jadi solusi dalam diagram adalah −AX1/SA dan −AX2/SA.<ref>{{Citation |title=Metode Grafis untuk menemukan dengan mudah Akar Real dari Persamaan Numerik Derajat Apa Pun |first=William Herbert |last=Bixby |year=1879 |publisher=West Point N. Y.}}</ref>
[[Berkas:CarlyleCircle.svg|thumb|300px|left|Lingkaran Carlyle dari persamaan kuadrat ''x''<sup>2</sup> − ''sx'' + ''p'' = 0.]]
[[Lingkaran Carlyle]], dinamai [[Thomas Carlyle]], memiliki sifat bahwa solusi dari persamaan kuadrat adalah koordinat horizontal dari perpotongan lingkaran dengan [[horizontal]].<ref name=Wolfram>{{cite web|last=Weisstein|first=Eric W|title=Lingkaran Carlyle|url=http://mathworld.wolfram.com/CarlyleCircle.html|work=From MathWorld—A Wolfram Web Resource|accessdate=21 Mei 2013}}</ref> Lingkaran Carlyle telah digunakan untuk mengembangkan [[konstruksi penggaris-dan-kompas]] dari [[poligon beraturan]].
<!--===Generalization of quadratic equation===
The formula and its derivation remain correct if the coefficients {{math|''a''}}, {{math|''b''}} and {{math|''c''}} are [[complex number]]s, or more generally members of any [[field (mathematics)|field]] whose [[characteristic (algebra)|characteristic]] is not {{math|2}}. (In a field of characteristic 2, the element {{math|2''a''}} is zero and it is impossible to divide by it.)
The symbol
:<math>\pm \sqrt {b^2-4ac}</math>
in the formula should be understood as "either of the two elements whose square is {{math|''b''<sup>2</sup> − 4''ac''}}, if such elements exist". In some fields, some elements have no square roots and some have two; only zero has just one square root, except in fields of characteristic {{math|2}}. Even if a field does not contain a square root of some number, there is always a quadratic [[extension field]] which does, so the quadratic formula will always make sense as a formula in that extension field.
====Characteristic 2====
In a field of characteristic {{math|2}}, the quadratic formula, which relies on {{math|2}} being a [[unit (ring theory)|unit]], does not hold. Consider the [[monic polynomial|monic]] quadratic polynomial
:<math>x^{2} + bx + c</math>
over a field of characteristic {{math|2}}. If {{math|''b'' {{=}} 0}}, then the solution reduces to extracting a square root, so the solution is
:<math>x = \sqrt{c}</math>
and there is only one root since
:<math>-\sqrt{c} = -\sqrt{c} + 2\sqrt{c} = \sqrt{c}.</math>
In summary,
:<math>\displaystyle x^{2} + c = (x + \sqrt{c})^{2}.</math>
See [[quadratic residue]] for more information about extracting square roots in finite fields.
In the case that {{math|''b'' ≠ 0}}, there are two distinct roots, but if the polynomial is [[irreducible polynomial|irreducible]], they cannot be expressed in terms of square roots of numbers in the coefficient field. Instead, define the '''2-root''' {{math|''R''(''c'')}} of {{math|''c''}} to be a root of the polynomial {{math|''x''<sup>2</sup> + ''x'' + ''c''}}, an element of the [[splitting field]] of that polynomial. One verifies that {{math|''R''(''c'') + 1}} is also a root. In terms of the 2-root operation, the two roots of the (non-monic) quadratic {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}} are
:<math>\frac{b}{a}R\left(\frac{ac}{b^2}\right)</math>
and
:<math>\frac{b}{a}\left(R\left(\frac{ac}{b^2}\right)+1\right).</math>
For example, let {{math|''a''}} denote a multiplicative generator of the group of units of {{math|''F''<sub>4</sub>}}, the [[Galois field]] of order four (thus {{math|''a''}} and {{math|''a'' + 1}} are roots of {{math|''x''<sup>2</sup> + ''x'' + 1}} over {{math|''F''<sub>4</sub>}}. Because {{math|(''a'' + 1)<sup>2</sup> {{=}} ''a''}}, {{math|''a'' + 1}} is the unique solution of the quadratic equation {{math|''x''<sup>2</sup> + ''a'' {{=}} 0}}. On the other hand, the polynomial {{math|''x''<sup>2</sup> + ''ax'' + 1}} is irreducible over {{math|''F''<sub>4</sub>}}, but it splits over {{math|''F''<sub>16</sub>}}, where it has the two roots {{math|''ab''}} and {{math|''ab'' + ''a''}}, where {{math|''b''}} is a root of {{math|''x''<sup>2</sup> + ''x'' + ''a''}} in {{math|''F''<sub>16</sub>}}.
This is a special case of [[Artin–Schreier theory]].
==Faktorisasi kudrat==
Baris 101 ⟶ 418:
-->
== Lihat pula ==
* [[Memecahkan persamaan kuadrat dengan pecahan lanjutan]]
* [[Persamaan linier]]
* [[Fungsi kubik]]
* [[Persamaan kuartik]]
* [[Persamaan kuintik]]
* [[Teorema dasar aljabar]]
== Referensi ==
{{Reflist}}
== Bacaan lebih lanjut ==
* {{cite book|last= Kurnianingsih|first= Sri|authorlink=|coauthors=Kuntarti, Sulistiyono|title=Matematika SMA dan MA 1A Untuk Kelas X Semester 1|year= 2007|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-734-500-9 }} {{id icon}}
* {{cite book|last= Junaidi|first= Syamsul|authorlink=|coauthors=Eko Siswono|title=Matematika SMP Untuk Kelas IX|year= 2004|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-308-232-1 }} {{id icon}}
== Pranala luar ==
Persamaan kuadrat
* {{id}} [http://www.nusinau.com/program-untuk-mencari-akar-persamaan-kuadrat/ Program untuk Mencari Akar Persamaan Kuadrat].
* {{id}} [http://free.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0361%20Mat%201-2a.htm Menyelesaikan persamaan kuadrat] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080430162845/http://free.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0361%20Mat%201-2a.htm |date=2008-04-30 }}.
* {{id}} [http://ft.uns.ac.id/ts/kul_ol/numerik/numerik02_akar.htm Penentuan akar persamaan kuadrat (root finding)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070109145138/http://ft.uns.ac.id/ts/kul_ol/numerik/numerik02_akar.htm |date=2007-01-09 }}. Di sini metode pencarian akar untuk fungsi yang lebih umum, bukan hanya persamaan kuadrat.
* {{id}} [http://digilib.brawijaya.ac.id/virtual_library/mlg_warintek/ristek-pdii-lipi/Sponsor/_Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0366%20Mat%201-2f.htm Menyusun persamaan kuadrat] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061012215648/http://digilib.brawijaya.ac.id/virtual_library/mlg_warintek/ristek-pdii-lipi/Sponsor/_Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0366%20Mat%201-2f.htm |date=2006-10-12 }}.
* {{id}} [http://ikc.cbn.net.id/berseri/eko-java/ifelse.php Contoh program Java menyelesaiakan persamaan kuadrat] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060721111816/http://ikc.cbn.net.id/berseri/eko-java/ifelse.php |date=2006-07-21 }}. Lihat bagian Langkah.
* {{id}} [http://matkita.com/tampilan_latihan_persamaan_kuadrat.php Saol latihan persamaan kuadrat].
* {{en}} [http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html QuadraticEquation].
* {{en}} [http://www.akiti.ca/Quad2Deg.html Quadratic equation solver, plus solvers for cubic and quartic equations].
* {{en}} [http://www.mathsisfun.com/quadratic-equation-solver.html Quadratic equation solver].
* {{en}} [http://www.algebra.com/algebra/homework/quadratic/ Solve quadratic equations, see work shown and draw graphs].
* {{en}} 101 uses of a quadratic equation [http://plus.maths.org/issue29/features/quadratic/index-gifd.html part I] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071110232247/http://plus.maths.org/issue29/features/quadratic/index-gifd.html |date=2007-11-10 }} [http://plus.maths.org/issue30/features/quadratic/index-gifd.html Part II] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071022022143/http://plus.maths.org/issue30/features/quadratic/index-gifd.html |date=2007-10-22 }}.
* {{en}} [http://www.mathopenref.com/quadraticexplorer.html Quadratic graphical explorer] Applet interaktif. Ubah-ubah nilai a, b, c untuk melihat efeknya pada sebuah grafik.
* {{en}} [http://www.phy.ilstu.edu/~mnorton/Quadratic.txt Kode FORTRAN untuk menyelesaikan persamaan kuadrat] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061117235854/http://www.phy.ilstu.edu/~mnorton/Quadratic.txt |date=2006-11-17 }}.
Pertidaksamaan kuadrat
* {{id}} [http://bebas.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0370%20Mat%201-3d.htm Jenis-jenis pertidaksamaan] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071118070531/http://bebas.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0370%20Mat%201-3d.htm |date=2007-11-18 }}
* {{id}} [http://matematika.brawijaya.ac.id/applet/SMA/PertidaksamaanKuadrat.html Aplikasi sederhana untuk memahami pertidaksamaan kuadrat] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071117163750/http://matematika.brawijaya.ac.id/applet/SMA/PertidaksamaanKuadrat.html |date=2007-11-17 }}
{{Polinomial}}
{{Irisan kerucut}}
[[Kategori:Persamaan matematika|Kuadrat]]
[[Kategori:Persamaan|Kuadrat]]
| |||